Экономичный объем заказа

Модель планирования производства

Экономичный объем заказа ( EOQ ), также известный как финансовый объем закупки или экономический объем закупки , ^{[ требуется ссылка ]} — это объем заказа, который минимизирует общие затраты на хранение и затраты на заказ в управлении запасами . Это одна из старейших классических моделей планирования производства . Модель была разработана Фордом У. Харрисом в 1913 году, но консультант Р. Х. Уилсон широко применял ее, и ему и К. Андлеру приписывают их глубокий анализ. ^[1]

Обзор

EOQ указывает оптимальное количество единиц товара для заказа, чтобы минимизировать общие затраты, связанные с закупкой, доставкой и хранением продукта.

EOQ применяется только тогда, когда спрос на продукт постоянен в течение определенного периода времени (например, года) и каждый новый заказ доставляется в полном объеме, когда запасы достигают нуля. Существует фиксированная стоимость для каждого размещенного заказа, независимо от количества заказанных товаров; предполагается, что заказ содержит только один тип товара. Существует также стоимость для каждой единицы, хранящейся на складе, обычно называемая стоимостью хранения , иногда выражаемая в процентах от стоимости покупки товара. Хотя формулировка EOQ проста, такие факторы, как транспортные тарифы и скидки за количество, влияют на ее применение в реальном мире.

Необходимые параметры для решения — это общий спрос за год, стоимость покупки каждого товара, фиксированная стоимость размещения заказа на один товар и стоимость хранения каждого товара в год. Обратите внимание, что количество размещений заказа также повлияет на общую стоимость, хотя это число можно определить из других параметров.

Переменные

• ${\displaystyle T}$= общая годовая стоимость инвентаря
• ${\displaystyle P}$= цена покупки единицы, себестоимость единицы продукции
• ${\displaystyle Q}$= количество заказа
• ${\displaystyle Q^{*}}$= оптимальный объем заказа
• ${\displaystyle D}$= годовой объем спроса
• ${\displaystyle K}$= фиксированная стоимость за заказ, стоимость настройки ( не за единицу, обычно стоимость заказа, доставки и обработки. Это не стоимость товара)
• ${\displaystyle h}$= годовые затраты на хранение на единицу, также известные как затраты на поддержание или хранение (капитальные затраты, складские площади, охлаждение, страхование, альтернативные издержки (цена x процент) и т. д., обычно не связанные с себестоимостью единицы продукции)

Функция общей стоимости и вывод формулы EOQ

Формула EOQ для одного элемента находит минимальную точку следующей функции затрат:

Общая стоимость = стоимость покупки или себестоимость производства + стоимость заказа + стоимость хранения

Где:

• Стоимость покупки: Это переменная стоимость товара: цена покупки единицы товара × годовой объем спроса. Это . ${\displaystyle P\times D}$
• Стоимость заказа: Это стоимость размещения заказов: каждый заказ имеет фиксированную стоимость , и нам нужно заказывать раз в год. Это ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D/Q}$ ${\displaystyle KD/Q}$
• Стоимость хранения: среднее количество на складе (между полностью заполненным и пустым) составляет , поэтому эта стоимость составляет ${\displaystyle Q/2}$ ${\displaystyle hQ/2}$

${\displaystyle T=PD+K{\frac {D}{Q}}+h{\frac {Q}{2}}}$.

Чтобы определить минимальную точку кривой общих затрат, вычислим производную общих затрат по Q (предположим, что все остальные переменные постоянны) и установим ее равной 0:

${\displaystyle {0}=-{\frac {DK}{Q^{2}}}+{\frac {h}{2}}}$

Решение для Q дает Q* (оптимальный объем заказа):

${\displaystyle Q^{*2}={\frac {2DK}{h}}}$

Поэтому:

Экономичный объем заказа

${\displaystyle Q^{*}={\sqrt {\frac {2DK}{h}}}}$

Q* не зависит от P; это функция только K, D, h.

Оптимальное значение Q* также можно найти, признав, что

${\displaystyle T={\frac {DK}{Q}}+{\frac {hQ}{2}}+PD={\frac {h}{2Q}}(Q-{\sqrt {2DK/h}})^{2}+{\sqrt {2hDK}}+PD,}$

где неотрицательный квадратичный член исчезает, что обеспечивает минимум стоимости ${\textstyle Q={\sqrt {2DK/h}},}$ ${\displaystyle T_{min}={\sqrt {2hDK}}+PD.}$

Пример

• Годовой объем потребности (D) = 10000 единиц
• Стоимость заказа (К) = 40
• Стоимость за единицу (P)= 50
• Годовая стоимость хранения на единицу = 4
• Рыночный интерес = 2%

Экономичный объем заказа = 400 единиц ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2D\cdot K}{h}}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{4+50\cdot 2\%}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{5}}}}$

Количество заказов в год (на основе EOQ) ${\displaystyle ={\frac {10000}{400}}=25}$

Общая стоимость ${\displaystyle =P\cdot D+K(D/EOQ)+h(EOQ/2)}$

Общая стоимость ${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/400)+5\cdot (400/2)=502000}$

Если мы проверим общую стоимость для любого количества заказа, отличного от 400 (=EOQ), мы увидим, что стоимость выше. Например, предположим, что 500 единиц в заказе, тогда

Общая стоимость ${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/500)+5\cdot (500/2)=502050}$

Аналогично, если мы выберем 300 для количества заказа, то

Общая стоимость ${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/300)+5\cdot (300/2)=502083.33}$

Это показывает, что экономичный размер заказа всегда отвечает интересам фирмы.

Расширения модели EOQ

Скидки за количество

Важным расширением модели EOQ является возможность использования скидок за количество. Существует два основных типа скидок за количество: (1) на все единицы и (2) инкрементные. ^{[2] [3]} Вот числовой пример:

• Скидка за единицу приращения: единицы 1–100 стоят $30 каждая; единицы 101–199 стоят $28 каждая; единицы 200 и выше стоят $26 каждая. Таким образом, при заказе 150 единиц общая стоимость составляет $30*100 + $28*50.
• Скидка на все единицы: заказ от 1 до 1000 единиц стоит $50 за единицу; заказ от 1001 до 5000 единиц стоит $45 за единицу; заказ более 5000 единиц стоит $40 за единицу. Таким образом, при заказе 1500 единиц общая стоимость составляет $45*1500.

Чтобы найти оптимальный размер заказа при различных схемах скидок за количество, следует использовать алгоритмы; эти алгоритмы разработаны в предположении, что политика EOQ по-прежнему оптимальна при скидках за количество. Перера и др. (2017) ^[4] устанавливают эту оптимальность и полностью характеризуют оптимальность (s,S) в рамках настройки EOQ при общих структурах затрат.

Разработка оптимального графика скидок по количеству

При наличии стратегического клиента, который оптимально реагирует на графики скидок, разработка оптимальной схемы скидок за количество поставщиком является сложной и должна быть выполнена осторожно. Это особенно актуально, когда спрос у клиента сам по себе неопределен. Интересный эффект, называемый «обратным кнутом», имеет место, когда увеличение неопределенности потребительского спроса фактически снижает неопределенность количества заказа у поставщика. ^[5]

Расходы на отложенный заказ и несколько позиций

Несколько расширений могут быть сделаны для модели EOQ, включая расходы на отложенные заказы ^[6] и множественные товары. В случае, если отложенные заказы разрешены, расходы на поддержание запасов за цикл составляют: ^[7]

${\displaystyle IC\int \limits _{0}^{T_{1}}(Q-s-\lambda t)\,dt={\frac {IC}{2\lambda }}(Q-s)^{2},}$

где s — количество невыполненных заказов при доставке объема заказа Q, а — скорость спроса. Стоимость невыполненного заказа за цикл составляет: ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \pi s+{\hat {\pi }}\int \limits _{0}^{T_{2}}\lambda tdt=\pi s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}\lambda T_{2}^{2}=\pi s+{\frac {{\hat {\pi }}s^{2}}{2\lambda }},}$

где и — издержки на невыполненный заказ, , T — длина цикла, а . Средние годовые переменные издержки представляют собой сумму издержек на заказ, издержек на хранение запасов и издержек на невыполненный заказ: ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}}$ ${\displaystyle T_{2}=T-T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}=(Q-s)/\lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\frac {\lambda }{Q}}A+{\frac {1}{2Q}}IC(Q-s)^{2}+{\frac {1}{Q}}[\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}]}$

Для минимизации приравняем частные производные к нулю: ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=-{\frac {1}{Q^{2}}}\left[{\lambda }A+{\frac {1}{2}}IC(Q-s)^{2}+\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}\right]+{\frac {IC}{Q}}(Q-s)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial s}}=-{\frac {IC}{Q}}(Q-s)+{\frac {1}{Q}}\pi \lambda +{\frac {1}{Q}}{\hat {\pi }}s=0}$

Подстановка второго уравнения в первое дает следующее квадратное уравнение :

${\displaystyle [{\hat {\pi }}^{2}+{\hat {\pi }}IC]s^{2}+2\pi {\hat {\pi }}\lambda s+(\pi \lambda )^{2}-2\lambda AIC=0}$

Если s=0 или является оптимальным. В первом случае оптимальный лот задается классической формулой EOQ, во втором случае заказ никогда не размещается, а минимальная годовая стоимость задается . Если или является оптимальным, если то не должно быть никакой системы инвентаризации. Если решение предыдущего квадратного уравнения дает: ${\displaystyle {\hat {\pi }}=0}$ ${\displaystyle s=\infty }$ ${\displaystyle \pi \lambda }$ ${\displaystyle \pi >{\sqrt {\frac {2AIC}{\lambda }}}=\delta }$ ${\displaystyle \pi \lambda >K_{w}}$ ${\displaystyle s^{*}=0}$ ${\displaystyle \pi <\delta }$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}\neq 0}$

${\displaystyle s^{*}=[{\hat {\pi }}+IC]^{-1}\left(-\pi \lambda +\left[(2\lambda AIC)\left(1+{\frac {IC}{\hat {\pi }}}\right)-{\frac {IC}{\hat {\pi }}}(\pi \lambda )^{2}\right]^{1/2}\right)}$

${\displaystyle Q^{*}=\left[{\frac {{\hat {\pi }}+IC}{\hat {\pi }}}\right]^{1/2}\left[{\frac {2\lambda A}{IC}}-{\frac {(\pi \lambda )^{2}}{IC({\hat {\pi }}+IC)}}\right]^{1/2}}$

Если имеются невыполненные заказы , точка повторного заказа равна: ; где m — наибольшее целое число , а μ — спрос за время выполнения заказа. ${\displaystyle r_{h}^{*}=\mu -mQ^{*}-s^{*}}$ ${\displaystyle m\leq {\frac {\tau }{T}}}$

Кроме того, из EOQ можно определить экономичный интервал заказа ^{[8] , а модель} экономичного объема производства (которая определяет оптимальный объем производства) можно определить аналогичным образом.

Версия модели, модель Баумоля-Тобина , также использовалась для определения функции спроса на деньги , где остатки денег у человека можно рассматривать параллельно с запасами запасов фирмы. ^[9]

Малакути (2013) ^[10] представил многокритериальные модели EOQ, где критериями могут быть минимизация общей стоимости, объема заказа (запасов) и дефицита.

Версия, учитывающая временную стоимость денег, была разработана Триппи и Левином. ^[11]

Неидеальное качество

Другим важным расширением модели EOQ является рассмотрение товаров с несовершенным качеством. Саламе и Джабер (2000) были первыми, кто очень тщательно изучил несовершенные товары в модели EOQ. Они рассматривают проблему инвентаризации, в которой спрос детерминирован, а в партии есть доля несовершенных товаров, которые отбираются покупателем и продаются им в конце цикла по сниженной цене. ^[12]

Критика

Модель EOQ и ее сестра, модель экономического объема производства (EPQ), подверглись критике за «их ограничительный набор[ы] предположений». ^[13] Гуга и Муса используют модель для изучения албанского бизнес-кейса и приходят к выводу, что модель «идеальна теоретически, но не очень подходит с практической точки зрения этой фирмы». ^[14] Однако Джеймс Каргал отмечает, что формула была разработана, когда бизнес-расчеты проводились «вручную» или с использованием логарифмических таблиц или логарифмической линейки . Использование электронных таблиц и специального программного обеспечения обеспечивает большую универсальность в использовании формулы и принятии «предположений, которые более реалистичны», чем в исходной модели. ^{[15] [ самостоятельно опубликованный источник ]}

Смотрите также

• Точка повторного заказа
• Страховой запас
• Экономический объем производства
• Модель Newsvendor
• Динамическая модель размера партии
• Проблема планирования экономичных партий

Ссылки

1. Хакс, AC; Кандеа, Д. (1984), Управление производством и операциями, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, стр. 135, ISBN 9780137248803
2. Нахмиас, Стивен (2005). Анализ производства и операций . McGraw Hill Higher Education.^{[ нужна страница ]}
3. Зипкин, Пол Х., Основы управления запасами, McGraw Hill 2000 ^{[ нужна страница ]}
4. Перера, Сандун; Джанакираман, Ганеш; Ниу, Шун-Чен (2017). «Оптимальность (s,S) политик в моделях EOQ с общими структурами затрат». Международный журнал экономики производства . 187 : 216–228. doi :10.1016/j.ijpe.2016.09.017.
5. Altintas, Nihat; Erhun, Feryal; Tayur, Sridhar (2008). «Количественные скидки в условиях неопределенности спроса». Management Science . 54 (4): 777–92. doi :10.1287/mnsc.1070.0829. JSTOR  20122426.
6. Перера, Сандун; Джанакираман, Ганеш; Ниу, Шун-Чен (2017). «Оптимальность (s,S) политик в моделях EOQ с общими структурами затрат». Международный журнал экономики производства . 187 : 216–228. doi :10.1016/j.ijpe.2016.09.017.
7. Т. Уитин , Г. Хэдли, Анализ систем инвентаризации, Prentice Hall 1963
8. Goyal, SK (1987). "Простой эвристический метод определения интервала экономичного заказа для линейного спроса". Engineering Costs and Production Economics . 11 : 53–57. doi :10.1016/0167-188X(87)90025-5.
9. Кэплин, Эндрю; Лихи, Джон (2010). «Экономическая теория и мир практики: торжество модели (s, S)». Журнал экономических перспектив . 24 (1): 183–201. CiteSeerX 10.1.1.730.8784 . doi :10.1257/jep.24.1.183. JSTOR  25703488. 
10. Малакути, Б. (2013). Операционные и производственные системы с множественными целями . John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-58537-5.^{[ нужна страница ]}
11. Триппи, Роберт Р.; Левин, Дональд Э. (1974). «Формулировка классической проблемы Eoq в представлении текущей стоимости». Decision Sciences . 5 (1): 30–35. doi :10.1111/j.1540-5915.1974.tb00592.x.
12. Саламех, МК; Джабер, МЙ (март 2000 г.). «Модель экономического количества производства для товаров с несовершенным качеством». Международный журнал по экономике производства . 64 (1–3): 59–64. doi :10.1016/s0925-5273(99)00044-4. ISSN  0925-5273.
13. Тао, З., А. Л. Гиффрида и М. Д. Траутт, «Модель экономического производства/объема заказа на основе экологически чистых затрат», в Трудах 1-го ежегодного международного симпозиума по экологически чистым цепочкам поставок в Кентском государственном университете , Кантон, Огайо, США, 29–30 июля 2010 г.
14. Guga, E. и Musa, O. (2015) в Inventory Management through EOQ Model, International Journal of Economics, Commerce & Management , Vol. III, Issue 12, December 2015, по состоянию на 9 февраля 2024 г.
15. Каргал, Дж. М. (2003), Формула EOQ, Университет Трои , дата обращения 9 февраля 2024 г.

Дальнейшее чтение

• Харрис, Форд В. Стоимость операций (серия «Управление заводом»), Чикаго: Шоу (1915)
• Харрис, Форд В. (1913). «Сколько деталей делать одновременно». Factory, журнал управления . 10 : 135–136, 152.
• Кэмп, У. Э. «Определение объема производственного заказа», Инженерное дело, 1922 г.
• Уилсон, Р. Х. (1934). «Научная процедура контроля запасов». Harvard Business Review . 13 : 116–28.
• Плоссель, Джордж. Планирование материальных потребностей Орлицкого. Второе издание. McGraw Hill. 1984. (первое издание 1975)
• Эрленкоттер, Дональд (2014). «Модель экономичного размера партии Ford Whitman Harris». Международный журнал экономики производства . 155 : 12–15. doi : 10.1016/j.ijpe.2013.12.008. S2CID  153794306.
• Перера, Сандун; Джанакираман, Ганеш; Ниу, Шун-Чен (2017). «Оптимальность (s,S) политик в моделях EOQ с общими структурами затрат». Международный журнал экономики производства . 187 : 216–228. doi :10.1016/j.ijpe.2016.09.017.
• Перера, Сандун; Джанакираман, Ганеш; Ниу, Шун-Чен (2018). «Оптимальность политик управления запасами (s, S) в условиях спроса на обновление и общих структур затрат». Управление производством и операциями . 27 (2): 368–383. doi :10.1111/poms.12795. hdl : 2027.42/142450 .
• Цан-Мин Чой (ред.) Справочник по проблемам инвентаризации EOQ: стохастические и детерминированные модели и приложения, Международная серия Springer по исследованию операций и науке управления, 2014. doi :10.1007/978-1-4614-7639-9.
• Вентура, Роберт; Сэмюэл, Стивен (2016). «Оптимизация впрыска топлива в двигатель GDI с использованием экономичного объема заказа и функции Ламберта W». Прикладная теплотехника . 101 : 112–20. doi :10.1016/j.applthermaleng.2016.02.024.
• Спрос на обновление и (s, S) оптимальность Переры, Джанакирамана и Ниу [1]

Внешние ссылки

• Модель EOQ
• Пясецкий, Д., Том. III, выпуск 12, декабрь 2015 г.