Экранирование электрического поля

Затухание электрических полей

В физике экранирование — это затухание электрических полей , вызванное наличием подвижных носителей заряда . Это важная часть поведения жидкостей , несущих заряд , таких как ионизированные газы (классическая плазма ), электролиты и носители заряда в электронных проводниках ( полупроводники , металлы ). В жидкости с заданной диэлектрической проницаемостью ε , состоящей из электрически заряженных составляющих частиц, каждая пара частиц (с зарядами q ₁ и q ₂ ) взаимодействует посредством кулоновской силы , где вектор r представляет собой относительное положение между зарядами. Это взаимодействие усложняет теоретическое рассмотрение жидкости. Например, наивный квантово-механический расчет плотности энергии основного состояния дает бесконечность, что неразумно. Трудность заключается в том, что хотя кулоновская сила уменьшается с расстоянием как 1/ r2 , среднее число частиц на каждом расстоянии r пропорционально r2 , если предположить ^{, что} жидкость достаточно изотропна . В результате флуктуация заряда в любой точке оказывает существенное влияние на большие расстояния. $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {r} \right|^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

В действительности эти дальнодействующие эффекты подавляются потоком частиц в ответ на электрические поля. Этот поток сводит эффективное взаимодействие между частицами к короткодействующему «экранированному» кулоновскому взаимодействию. Эта система соответствует простейшему примеру перенормированного взаимодействия. ^[1]

В физике твердого тела , особенно для металлов и полупроводников , эффект экранирования описывает электростатическое поле и кулоновский потенциал иона внутри твердого тела. Подобно тому, как электрическое поле ядра уменьшается внутри атома или иона из-за эффекта экранирования , электрические поля ионов в проводящих твердых телах дополнительно уменьшаются облаком электронов проводимости .

Описание

Рассмотрим жидкость, состоящую из электронов, движущихся на однородном фоне положительного заряда (однокомпонентную плазму). Каждый электрон обладает отрицательным зарядом. Согласно кулоновскому взаимодействию отрицательные заряды отталкивают друг друга. Следовательно, этот электрон будет отталкивать другие электроны, создавая вокруг себя небольшую область, в которой меньше электронов. Эту область можно рассматривать как положительно заряженную «экранирующую дыру». Если смотреть с большого расстояния, это экранирующее отверстие создает эффект наложенного положительного заряда, который нейтрализует электрическое поле, создаваемое электроном. Только на коротких расстояниях, внутри дырочной области, можно обнаружить поле электрона. Для плазмы этот эффект может быть явно выражен путем расчета -тела. ^{[2] : §5} Если фон состоит из положительных ионов, их притяжение интересующим электроном усиливает описанный выше механизм экранирования. В атомной физике для атомов с более чем одной электронной оболочкой существует существенный эффект: эффект экранирования . В физике плазмы экранирование электрического поля также называют дебаевским экранированием или экранированием. В макроскопических масштабах это проявляется в виде оболочки ( дебаевской оболочки ) рядом с материалом, с которым контактирует плазма. ${\displaystyle N}$

Экранированный потенциал определяет межатомные силы и закон дисперсии фононов в металлах. Экранированный потенциал используется для расчета электронной зонной структуры большого количества материалов, часто в сочетании с моделями псевдопотенциала . Эффект экранирования приводит к приближению независимых электронов , которое объясняет предсказательную силу вводных моделей твердых тел, таких как модель Друде , модель свободных электронов и модель почти свободных электронов .

Теория и модели

Первое теоретическое исследование электростатического экранирования, предложенное Питером Дебаем и Эрихом Хюкелем ^[3] , касалось стационарного точечного заряда, внедренного в жидкость.

Рассмотрим жидкость электронов на фоне тяжелых положительно заряженных ионов. Для простоты мы игнорируем движение и пространственное распределение ионов, аппроксимируя их однородным фоновым зарядом. Такое упрощение допустимо, поскольку электроны легче и подвижнее ионов, если рассматривать расстояния, значительно большие, чем расстояние между ионами. В физике конденсированного состояния эта модель называется желе .

Экранированные кулоновские взаимодействия

Пусть ρ обозначает плотность числа электронов, а φ — электрический потенциал . Сначала электроны распределяются равномерно, так что суммарный заряд в каждой точке равен нулю. Следовательно, φ изначально также является константой.

Теперь мы введем фиксированный точечный заряд Q в начале координат. Соответствующая плотность заряда равна Qδ ( r ), где δ ( r ) — дельта-функция Дирака . После того как система вернулась в равновесие, пусть изменение электронной плотности и электрического потенциала составит Δ ρ ( r ) и Δ φ ( r ) соответственно. Плотность заряда и электрический потенциал связаны уравнением Пуассона , которое дает где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума . $${\displaystyle -\nabla ^{2}[\Delta \phi (r)]={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[Q\delta (r)-e\Delta \rho (r)],}$$

Чтобы продолжить, мы должны найти второе независимое уравнение, связывающее Δρ и Δφ . Мы рассматриваем два возможных приближения, при которых две величины пропорциональны: приближение Дебая-Хюккеля, справедливое при высоких температурах (например, классическая плазма), и приближение Томаса-Ферми, справедливое при низких температурах (например, электроны в металлах).

Приближение Дебая – Хюккеля

В приближении Дебая-Хюккеля ^[3] мы поддерживаем систему в термодинамическом равновесии при температуре T , достаточно высокой, чтобы частицы жидкости подчинялись статистике Максвелла-Больцмана . В каждой точке пространства плотность электронов с энергией j имеет вид где k _B — постоянная Больцмана . Возмущая по φ и разлагая экспоненту до первого порядка, получаем где $${\displaystyle \rho _{j}(r)=\rho _{j}^{(0)}(r)\;\exp \left[{\frac {e\phi (r)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]}$$ $${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$$ $${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {\rho e^{2}}{\varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}}$$

Соответствующая длина λ _D ≡ 1/ k ₀ называется длиной Дебая . Длина Дебая — это фундаментальный масштаб длины классической плазмы.

Приближение Томаса – Ферми

В приближении Томаса-Ферми ^[4] , названном в честь Ллевеллина Томаса и Энрико Ферми , в системе поддерживается постоянный электронный химический потенциал ( уровень Ферми ) и низкая температура. Первое условие в реальном эксперименте соответствует поддержанию электрического контакта металла/жидкости с фиксированной разностью потенциалов с землей . Химический потенциал μ — это, по определению, энергия добавления дополнительного электрона в жидкость. Эту энергию можно разложить на часть кинетической энергии T и часть потенциальной энергии − eφ . Поскольку химический потенциал остается постоянным, $${\displaystyle \Delta \mu =\Delta T-e\Delta \phi =0.}$$

Если температура чрезвычайно низкая, поведение электронов приближается к квантовомеханической модели ферми-газа . Таким образом _, мы аппроксимируем T кинетической энергией дополнительного электрона в модели ферми-газа, которая представляет собой просто энергию Ферми EF . Энергия Ферми для трехмерной системы связана с плотностью электронов (включая спиновое вырождение) соотношением где k _F — волновой вектор Ферми. Возвращаясь к первому порядку, мы находим, что $${\displaystyle \rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {4}{3}}\pi k_{\mathrm {F} }^{3}\right),\quad E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}},}$$ $${\displaystyle \Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{2E_{\mathrm {F} }}}\Delta E_{\mathrm {F} }.}$$

Подставив это в приведенное выше уравнение для Δ μ , получим где называется волновым вектором экранирования Томаса – Ферми. $${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$$ $${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{2\varepsilon _{0}E_{\mathrm {F} }}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{\mathrm {F} }}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}}$$

Этот результат следует из уравнений ферми-газа, который является моделью невзаимодействующих электронов, тогда как изучаемая нами жидкость содержит кулоновское взаимодействие. Следовательно, приближение Томаса-Ферми справедливо только тогда, когда плотность электронов мала, поэтому взаимодействия частиц относительно слабы.

Результат: проверенный потенциал

Наши результаты из приближения Дебая-Хюккеля или Томаса-Ферми теперь могут быть вставлены в уравнение Пуассона. Результатом является то, что известно как экранированное уравнение Пуассона . Решение — это так называемый экранированный кулоновский потенциал. Это кулоновский потенциал, умноженный на экспоненциальный член затухания, причем сила фактора затухания определяется величиной k ₀ , волновым вектором Дебая или Томаса-Ферми. Заметим, что этот потенциал имеет ту же форму, что и потенциал Юкавы . Это экранирование дает диэлектрическую функцию . $${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r),}$$ $${\displaystyle \phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r},}$$ ${\displaystyle \varepsilon (r)=\varepsilon _{0}e^{k_{0}r}}$

Теория многих тел

Классическая физика и линейный отклик

Механо -теловой подход позволяет одновременно получить эффект экранирования и затухание Ландау . ^{[2] [5]} Речь идет об одной реализации однокомпонентной плазмы, электроны которой имеют дисперсию скоростей (для тепловой плазмы должно быть много частиц в сфере Дебая, объеме, радиус которого равен длине Дебая). Используя линеаризованное движение электронов в их собственном электрическом поле, мы получаем уравнение вида ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}\Phi =S,}$$

где – линейный оператор, – исходный член, обусловленный частицами, – преобразование Фурье-Лапласа электростатического потенциала. Подставляя дискретную сумму по частицам в интеграл по гладкой функции распределения , получаем где - диэлектрическая проницаемость плазмы, или диэлектрическая функция, классически получаемая с помощью линеаризованного уравнения Власова-Пуассона , ^{[6] : §6.4} - волновой вектор , — частота, а — сумма источников, обусловленных частицами. ^{[2] : Уравнение 20} ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ $${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )\,\Phi (\mathbf {k} ,\omega )=S(\mathbf {k} ,\omega ),}$$ ${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle N}$

Согласно обратному преобразованию Фурье-Лапласа, потенциал каждой частицы представляет собой сумму двух частей ^{[2] : § 4.1.} Одна соответствует возбуждению частицей ленгмюровских волн , а другая — ее экранированному потенциалу, классически полученному из формулы линеаризованный власовский расчет с участием пробной частицы. ^{[6] : §9.2} Экранированный потенциал – это вышеупомянутый экранированный кулоновский потенциал для тепловой плазмы и тепловой частицы. Для более быстрой частицы потенциал изменяется. ^{[6] : §9.2.} Подстановка дискретной суммы по частицам в интеграл по гладкой функции распределения дает выражение Власова, позволяющее вычислить затухание Ландау. ^{[6] : §6.4} ${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$

Квантово-механический подход

В реальных металлах эффект экранирования более сложен, чем описанный выше в теории Томаса–Ферми. Предположение о том, что носители заряда (электроны) могут реагировать на любой волновой вектор, является лишь приближением. Однако электрон внутри или на поверхности Ферми энергетически не может реагировать на волновые векторы короче волнового вектора Ферми. Это ограничение связано с феноменом Гиббса , когда ряды Фурье для функций, быстро меняющихся в пространстве, не являются хорошим приближением, если в ряде не сохраняется очень большое количество членов. В физике это явление известно как колебания Фриделя и применимо как к поверхностному, так и к объемному экранированию. В каждом случае суммарное электрическое поле спадает в пространстве не экспоненциально, а скорее по обратному степенному закону, умноженному на колебательный член. Теоретические расчеты можно получить из квантовой гидродинамики и теории функционала плотности (DFT).

Смотрите также

• Длина Бьеррума
• Длина Дебая

Рекомендации

1. МакКомб, WD (2007). Методы перенормировки: руководство для начинающих (Переиздается с исправлениями, Переиздано под ред.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. §1.2.1, §3.2. ISBN 978-0199236527.
2. Эсканде, DF; Элскенс, Ив; Давей, Ф (1 февраля 2015 г.). «Прямой путь от микроскопической механики к дебаевскому экранированию, затуханию Ландау и взаимодействию волн с частицами». Физика плазмы и управляемый термоядерный синтез . 57 (2): 025017. arXiv : 1409.4323 . Бибкод : 2015PPCF...57b5017E. дои : 10.1088/0741-3335/57/2/025017. S2CID  8246103.
3. П. Дебай и Э. Хюкель (1923). «Теория электролитов. I. Понижение температуры замерзания и связанные с ним явления» (PDF) . Physikalische Zeitschrift . 24 : 185–206. Архивировано из оригинала (PDF) 2 ноября 2013 г.
4. Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976)
5. Эсканде, DF; Давейл, Ф; Элскенс, Ив (2016). «Описание N-тела экранирования Дебая и затухания Ландау». Физика плазмы и управляемый термоядерный синтез . 58 (1): 014040. arXiv : 1506.06468 . Бибкод : 2016PPCF...58a4040E. дои : 10.1088/0741-3335/58/1/014040. S2CID  118576116.
6. Николсон, доктор медицинских наук (1983). Введение в теорию плазмы . Нью-Йорк: Джон Уайли. ISBN 978-0471090458.

Внешние ссылки

• Фицпатрик, Ричард (31 марта 2011 г.). «Дебай Шилдинг». Техасский университет в Остине . Проверено 12 июля 2018 г.