Соленоид

Тип электромагнита, образованного катушкой с проволокой.

Иллюстрация соленоида

Магнитное поле , создаваемое семиконтурным соленоидом (вид в разрезе), описываемое с помощью силовых линий.

Соленоид ( / ˈ s oʊ l ə n ɔɪ d / ^[1] ) — тип электромагнита , образованного спиральной катушкой из провода , длина которого существенно превышает ее диаметр, ^{[2] который} генерирует управляемое магнитное поле . Катушка может создавать однородное магнитное поле в объеме пространства при пропускании через нее электрического тока .

Андре-Мари Ампер ввел термин «соленоид» в 1823 году, задумав устройство в 1820 году. ^[3]

Винтовая катушка соленоида не обязательно должна вращаться вокруг прямой оси; например, электромагнит Уильяма Стерджена 1824 года состоял из соленоида, изогнутого в форме подковы (аналогично дуговой пружине ).

Соленоиды обеспечивают магнитную фокусировку электронов в вакууме, особенно в трубках телевизионных камер, таких как видиконы и ортиконы изображений. Электроны двигаются по спиральным траекториям внутри магнитного поля. Эти соленоиды, катушки фокусировки, окружают трубку почти по всей длине.

Физика

Бесконечный непрерывный соленоид

Рисунок 1: Бесконечный соленоид с тремя произвольными петлями Ампера, обозначенными a , b и c . Интегрирование по пути c показывает, что магнитное поле внутри соленоида должно быть однородным в радиальном направлении.

Бесконечный соленоид имеет бесконечную длину, но конечный диаметр. «Непрерывный» означает, что соленоид состоит не из отдельных катушек конечной ширины, а из множества бесконечно тонких катушек без пространства между ними; в этой абстракции соленоид часто рассматривается как цилиндрический лист проводящего материала.

Магнитное поле внутри бесконечно длинного соленоида однородно и его напряженность не зависит ни от расстояния от оси, ни от площади поперечного сечения соленоида.

Это расчет плотности магнитного потока вокруг соленоида, который достаточно длинный, чтобы можно было игнорировать краевые эффекты. На рисунке 1 мы сразу знаем, что вектор плотности потока указывает в положительном направлении z внутри соленоида и в отрицательном направлении z снаружи соленоида. Мы подтверждаем это, применяя правило правой руки к полю вокруг провода. Если мы обхватим провод правой рукой так, чтобы большой палец был направлен в направлении тока, то сгибание пальцев покажет, как ведет себя поле. Поскольку мы имеем дело с длинным соленоидом, все компоненты магнитного поля, не направленные вверх, уравновешиваются симметрией. Снаружи происходит аналогичная отмена, и поле направлено только вниз.

Теперь рассмотрим воображаемую петлю c , расположенную внутри соленоида. По закону Ампера мы знаем, что линейный интеграл от B (вектора плотности магнитного потока) вокруг этой петли равен нулю, поскольку в ней нет электрических токов (можно также предположить, что электрическое поле цепи , проходящее через петлю, постоянно при таких условиях). условия: постоянный или постоянно меняющийся ток через соленоид). Выше мы показали, что поле внутри соленоида направлено вверх, поэтому горизонтальные части контура c не вносят никакого вклада в интеграл. Таким образом, интеграл от верхней стороны 1 равен интегралу от нижней стороны 2. Поскольку мы можем произвольно изменять размеры петли и получать тот же результат, единственное физическое объяснение состоит в том, что подынтегральные выражения на самом деле равны, то есть Магнитное поле внутри соленоида радиально однородно. Заметим, однако, что ничто не запрещает ему изменяться в продольном направлении, что, собственно, и происходит.

Аналогичный аргумент можно применить к петле a , чтобы заключить, что поле вне соленоида радиально однородно или постоянно. Этот последний результат, который строго верен только вблизи центра соленоида, где силовые линии параллельны его длине, важен, поскольку показывает, что плотность потока снаружи практически равна нулю, поскольку радиусы поля вне соленоида будут стремиться к бесконечность. Интуитивный аргумент также можно использовать, чтобы показать, что плотность потока вне соленоида на самом деле равна нулю. Линии магнитного поля существуют только в виде петель, они не могут расходиться или сходиться к точке, как это могут делать линии электрического поля (см. Закон Гаусса для магнетизма ). Линии магнитного поля следуют продольному пути соленоида внутри, поэтому они должны идти в противоположном направлении снаружи соленоида, чтобы линии могли образовывать петли. Однако объем снаружи соленоида намного больше, чем объем внутри, поэтому плотность силовых линий магнитного поля снаружи значительно уменьшается. Теперь вспомним, что поле снаружи постоянно. Чтобы общее количество силовых линий сохранялось, внешнее поле должно стремиться к нулю по мере увеличения длины соленоида. Конечно, если соленоид выполнен в виде проволочной спирали (как это часто делается на практике), то он излучает внешнее поле так же, как и одиночный провод, из-за тока, протекающего по всей длине соленоида.

Как закон Ампера можно применить к соленоиду

Применение закона цепи Ампера к соленоиду (см. рисунок справа) дает нам

${\displaystyle Bl=\mu _{0}NI,}$

где – плотность магнитного потока , – длина соленоида, – магнитная постоянная , число витков и ток. Из этого мы получаем ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}}.}$

Это уравнение справедливо для соленоида в свободном пространстве, а это означает, что проницаемость магнитного пути такая же, как и проницаемость свободного пространства, µ ₀ .

Если соленоид погружен в материал с относительной проницаемостью µ _r , то поле увеличивается на эту величину:

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {r} }{\frac {NI}{l}}.}$

В большинстве соленоидов соленоид не погружен в материал с более высокой проницаемостью, а скорее некоторая часть пространства вокруг соленоида имеет материал с более высокой проницаемостью, а часть представляет собой просто воздух (который ведет себя во многом как свободное пространство). В этом сценарии полный эффект от материала с высокой проницаемостью не виден, но будет эффективная (или кажущаяся) проницаемость μ _eff такая, что 1 ≤  μ _eff  ≤  μ _r .

Включение ферромагнитного сердечника, например железа , увеличивает величину плотности магнитного потока в соленоиде и повышает эффективную проницаемость магнитного пути. Это выражается формулой

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {eff} }{\frac {NI}{l}}=\mu {\frac {NI}{l}},}$

где μ _эфф — эффективная или кажущаяся проницаемость керна. Эффективная проницаемость является функцией геометрических свойств керна и его относительной проницаемости. Термины относительная проницаемость (свойство только материала) и эффективная проницаемость (свойство всей конструкции) часто путают; они могут отличаться на многие порядки.

Для открытой магнитной структуры связь между эффективной проницаемостью и относительной проницаемостью определяется следующим образом:

${\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }={\frac {\mu _{r}}{1+k(\mu _{r}-1)}},}$

где k – коэффициент размагничивания сердечника. ^[4]

Конечный непрерывный соленоид

Линии и плотность магнитного поля , создаваемые соленоидом с поверхностной плотностью тока

Конечный соленоид — это соленоид конечной длины. Непрерывный означает, что соленоид состоит не из отдельных катушек, а из листа проводящего материала. Предположим, что ток равномерно распределен по поверхности соленоида с поверхностной плотностью тока K ; в цилиндрических координатах :

$${\displaystyle {\vec {K}}={\frac {I}{l}}{\hat {\phi }}.}$$

Магнитное поле можно найти с помощью векторного потенциала , который для конечного соленоида радиусом R и длиной l в цилиндрических координатах равен ^{[5] [6]} ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$

$${\displaystyle A_{\phi }={\frac {\mu _{0}I}{\pi }}{\frac {R}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\left({\frac {m+n-mn}{mn}}K(m)-{\frac {1}{m}}E(m)+{\frac {n-1}{n}}\Pi (n,m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},}$$

Где:

• ${\displaystyle \zeta _{\pm }=z\pm {\frac {l}{2}}}$,
• ${\displaystyle n={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}}}}$,
• ${\displaystyle m={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}$,
• ${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$,
• ${\displaystyle E(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }$,
• ${\displaystyle \Pi (n,m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}}$.

Здесь , , и – полные эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода. ${\displaystyle K(m)}$ ${\displaystyle E(m)}$ ${\displaystyle \Pi (n,m)}$

С использованием:

$${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},}$$

Плотность магнитного потока получается как ^{[7] [8] [9]}

$${\displaystyle B_{\rho }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {1}{l\,\rho }}\left[{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}{\biggl (}(m-2)K(m)+2E(m){\biggr )}\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},}$$

$${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {1}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\left(K(m)+{\frac {R-\rho }{R+\rho }}\Pi (n,m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}}.}$$

На оси симметрии радиальная компонента исчезает, а аксиальная компонента поля равна

$${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}NI}{2}}\left({\frac {l/2-z}{l{\sqrt {R^{2}+(l/2-z)^{2}}}}}+{\frac {l/2+z}{l{\sqrt {R^{2}+(l/2+z)^{2}}}}}\right).}$$

${\displaystyle l/2-|z|\gg R}$ ${\displaystyle B=\mu _{0}NI/l}$

Краткая оценка соленоида

В случае, когда радиус намного больше длины соленоида ( ), плотность магнитного потока через центр соленоида (в направлении z , параллельно длине соленоида, где центр катушки равен z =0 ) можно оценить как плотность потока в одиночной круглой петле проводника: ${\displaystyle R\gg l}$

${\displaystyle B_{z}\approx {\frac {\mu _{0}INR^{2}}{2{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

Нерегулярные соленоиды

Примеры соленоидов неправильной формы (а) разреженный соленоид, (б) соленоид с переменным шагом, (в) нецилиндрический соленоид

В категорию соленоидов с конечным шагом входят соленоиды с редкой намоткой с одним шагом, соленоиды с редкой намоткой с разным шагом (соленоиды с переменным шагом) и соленоиды с разными радиусами для разных контуров (нецилиндрические соленоиды). Их называют нерегулярными соленоидами . Они нашли применение в различных областях, таких как соленоиды с редкой обмоткой для беспроводной передачи энергии , ^{[10] [11]} соленоиды с переменным шагом для магнитно-резонансной томографии (МРТ) ^[12] и нецилиндрические соленоиды для других медицинских устройств. ^[13]

Расчет собственной индуктивности и емкости невозможно выполнить, используя расчеты для обычных соленоидов, то есть с туго намотанными. Были предложены новые методы расчета для расчета собственной индуктивности ^[14] (коды доступны по адресу ^[15] ) и емкости. ^[16] (коды доступны по адресу ^[17] )

Индуктивность

Как показано выше, плотность магнитного потока внутри катушки практически постоянна и определяется выражением ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}},}$

где µ ₀ — магнитная постоянная , число витков, ток и длина катушки. Пренебрегая конечными эффектами, общий магнитный поток через катушку получается умножением плотности потока на площадь поперечного сечения : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Phi =\mu _{0}{\frac {NIA}{l}}.}$

Объединив это с определением индуктивности

${\displaystyle L={\frac {N\Phi }{I}},}$

индуктивность соленоида равна

${\displaystyle L=\mu _{0}{\frac {N^{2}A}{l}}.}$

Таблица индуктивности коротких соленоидов с различным соотношением диаметра и длины была рассчитана Деллинджером, Уитмором и Оулдом. ^[18]

Это значение, а также индуктивность более сложных форм можно вывести из уравнений Максвелла . Для катушек с жестким воздушным сердечником индуктивность зависит от геометрии катушки и количества витков и не зависит от тока.

Аналогичный анализ применим и к соленоиду с магнитопроводом, но только в том случае, если длина катушки много больше произведения относительной проницаемости магнитопровода на диаметр. Это ограничивает простой анализ сердечниками с низкой проницаемостью или чрезвычайно длинными тонкими соленоидами. Наличие сердечника можно учесть в приведенных выше уравнениях, заменив магнитную постоянную µ ₀ на µ или µ ₀ µ _r , где µ представляет проницаемость, а µ _r относительную проницаемость . Обратите внимание, что, поскольку проницаемость ферромагнитных материалов изменяется в зависимости от приложенного магнитного потока, индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником обычно меняется в зависимости от тока.

Смотрите также

• Катушка Гельмгольца
• Индуктор

Рекомендации

1. «Соленоид: Значение в Кембриджском словаре английского языка» . словарь.cambridge.org . Архивировано из оригинала 16 января 2017 года . Проверено 16 января 2017 г.
2. или, что то же самое, диаметр катушки предполагается бесконечно малым (Ampère 1823, стр. 267: «des Courants électriques formants de très-petits Circuits autour de cette ligne, dans des plan infiniment rapprochés qui lui soient perpendiculaires»).
3. Сессия Академии наук от 22 декабря 1823 года, опубликовано в печати в: Ампер, «Mémoire sur la théorie mathématique des phénomènes électro-dynamiques», Mémoires de l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France 6 (1827). , Париж, Ф. Дидо, стр. 267 и далее. (и рис. 29–33). «l'assemblage de tous les Circuits qui l'entourent [viz. l'arc], assemblage auquel j'ai donné le nom de solénoïde électro-dinamicque , du mot grec σωληνοειδὴς, dont la exprime précialment ce qui a la forme d 'un canal, c'est-à-dire la поверхность этой земли, образующая сюр-лакель, сеет все контуры'. (с. 267).
4. Джайлс, Дэвид. Введение в магнетизм и магнитные материалы. ЦРК Пресс, с. 48, 2015.
5. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 10 апреля 2014 г. Проверено 28 марта 2013 г.{{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
6. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 19 июля 2021 года . Проверено 10 июля 2021 г.{{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
7. Мюллер, Карл Фридрих (1 мая 1926 г.). «Berechnung der Induktivität von Spulen» [Расчет индуктивности катушек]. Archiv für Elektrotechnik (на немецком языке). 17 (3): 336–353. дои : 10.1007/BF01655986. ISSN  1432-0487. S2CID  123686159.
8. Каллаган, Эдмунд Э.; Маслен, Стивен Х. (1 октября 1960 г.). «Магнитное поле конечного соленоида». Технические отчеты НАСА . НАСА-TN-D-465 (Е-900).
9. Качиагли, Алессио; Баарс, Роэл Дж.; Филипс, Альберт П.; Кейперс, Бонни ВМ (2018). «Точное выражение магнитного поля конечного цилиндра с произвольной однородной намагниченностью». Журнал магнетизма и магнитных материалов . 456 : 423–432. Бибкод : 2018JMMM..456..423C. дои : 10.1016/j.jmmm.2018.02.003. ISSN  0304-8853. S2CID  126037802.
10. Курс, Андре; Каралис, Аристейдис; Моффатт, Роберт; Джоаннопулос, доктор юридических наук; Фишер, Питер; Солячич, Марин (6 июля 2007 г.). «Беспроводная передача энергии посредством сильносвязанного магнитного резонанса». Наука . 317 (5834): 83–86. Бибкод : 2007Sci...317...83K. дои : 10.1126/science.1143254 . PMID  17556549. S2CID  17105396.
11. Чжоу, Вэньшэнь; Хуан, Шао Ин (28 сентября 2017 г.). «Новая конструкция катушки для широкополосной беспроводной передачи энергии». Симпозиум Международного общества прикладной вычислительной электромагнетики (ACES), 2017 г .: 1–2.
12. Рен, Чжи Хуа; Хуан, Шао Ин (август 2018 г.). «Разработка короткого соленоида с однородным В1 для низкопольного портативного томографа с использованием генетического алгоритма». Учеб. 26-я ИСРММ : 1720 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
13. Цзян, Л.; Ши, Ю.; Лян, Дж.; Лю, К.; Сюй, Г. (июнь 2013 г.). «Новая целевая система гипертермии магнитной жидкостью с использованием массива катушек HTS для лечения опухолей». Транзакции IEEE по прикладной сверхпроводимости . 23 (3): 4400104. Бибкод : 2013ITAS...23Q0104J. дои : 10.1109/TASC.2012.2230051. S2CID  44197357.
14. Чжоу, Вэньшэнь; Хуан, Шао Ин (июль 2019 г.). «Точная модель для быстрого расчета резонансной частоты нерегулярного соленоида». Транзакции IEEE по теории и технике микроволнового излучения . 67 (7): 2663–2673. Бибкод : 2019ITMTT..67.2663Z. дои : 10.1109/TMTT.2019.2915514. S2CID  182038533.
15. Чжоу, Вэньшэнь; Хуан, Шао Ин (12 апреля 2021 г.). «код точной модели для быстрого расчета резонансной частоты нерегулярного соленоида». {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
16. Чжоу, Вэньшэнь; Хуан, Шао Ин (октябрь 2020 г.). «Моделирование собственной емкости нерегулярного соленоида». Транзакции IEEE по электромагнитной совместимости . 63 (3): 783–791. дои : 10.1109/TEMC.2020.3031075. ISSN  0018-9375. S2CID  229274298.
17. Чжоу, Вэньшэнь; Хуан, Шао Ин (12 апреля 2021 г.). «Код точной модели собственной емкости соленоидов неправильной формы». {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
18. Д. Ховард Деллинджер; Л. Е. Уитмор и Р. С. Ульд (1924). Радиоприборы и измерения. Том. С74. ISBN 9780849302527. Проверено 7 сентября 2009 г. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )

Внешние ссылки

• Интерактивное руководство по Java: Магнитное поле соленоида, Национальная лаборатория сильных магнитных полей
• Обсуждение соленоидов в «Гиперфизике»