Круговой закон Ампера

Концепция классического электромагнетизма

В классическом электромагнетизме закон цепи Ампера (не путать с законом силы Ампера ) ^[1] связывает циркуляцию магнитного поля вокруг замкнутого контура с электрическим током , проходящим через контур.

Джеймс Клерк Максвелл (не Ампер) вывел его с помощью гидродинамики в своей опубликованной в 1861 году статье « О физических силовых линиях ». ^[2] В 1865 году он обобщил уравнение для применения к изменяющимся во времени токам, добавив член тока смещения , в результате чего получил современную форму закона, иногда называемую законом Ампера-Максвелла , ^{[3] [4] [5]} который — одно из уравнений Максвелла , составляющих основу классического электромагнетизма .

Оригинальный закон цепи Ампера

В 1820 году датский физик Ганс Кристиан Эрстед открыл, что электрический ток создает вокруг себя магнитное поле, когда заметил, что стрелка компаса рядом с проводом, по которому течет ток, повернулась так, что игла оказалась перпендикулярно проводу. ^{[6] [7]} Он исследовал и открыл правила, которые управляют полем вокруг прямого провода с током: ^[8]

• Линии магнитного поля окружают провод с током.
• Линии магнитного поля лежат в плоскости, перпендикулярной проводу.
• Если направление тока меняется на противоположное, направление магнитного поля меняется на противоположное.
• Сила поля прямо пропорциональна величине тока.
• Напряженность поля в любой точке обратно пропорциональна расстоянию точки от провода.

Это вызвало большое количество исследований связи между электричеством и магнетизмом. Андре-Мари Ампер исследовал магнитную силу между двумя проводами с током, открыв закон силы Ампера . В 1850-х годах шотландский физик-математик Джеймс Клерк Максвелл обобщил эти и другие результаты в единый математический закон. Первоначальная форма закона цепи Максвелла, которую он вывел еще в 1855 году в своей статье «О силовых линиях Фарадея» ^[9] на основе аналогии с гидродинамикой, связывает магнитные поля с электрическими токами , которые их создают. Он определяет магнитное поле, связанное с данным током, или ток, связанный с данным магнитным полем.

Исходный закон цепи применим только к магнитостатической ситуации, к непрерывным постоянным токам, текущим в замкнутой цепи. Для систем с электрическими полями, которые изменяются со временем, исходный закон (как указано в этом разделе) необходимо изменить, включив в него термин, известный как поправка Максвелла (см. Ниже).

Эквивалентные формы

Исходный контурный закон можно записать в нескольких различных формах, которые в конечном итоге эквивалентны:

• «Интегральная форма» и «Дифференциальная форма». Формы в точности эквивалентны и связаны теоремой Кельвина – Стокса (см. раздел «доказательство» ниже).
• Формы с использованием единиц СИ и те, которые используют единицы CGS . Другие юниты возможны, но редко. В этом разделе будут использоваться единицы СИ, а единицы CGS обсуждаются позже.
• Формируется с использованием магнитных полей B или H. Эти две формы используют полную плотность тока и плотность свободного тока соответственно. Поля B и H связаны определяющим уравнением : B = μ ₀ H в немагнитных материалах, где μ ₀ — магнитная постоянная .

Объяснение

Интегральная форма исходного закона цепи представляет собой линейный интеграл магнитного поля вокруг некоторой замкнутой кривой C (произвольной, но обязательно замкнутой). Кривая C, в свою очередь, ограничивает как поверхность S , через которую проходит электрический ток (опять же произвольную, но не замкнутую — поскольку никакой трехмерный объем не заключен в S ), и заключает в себе ток. Математическая формулировка закона представляет собой соотношение между циркуляцией магнитного поля по некоторому пути (линейный интеграл) вследствие тока, проходящего по этому замкнутому пути (поверхностный интеграл). ^{[10] [11]}

С точки зрения общего тока (который представляет собой сумму как свободного тока, так и связанного тока) линейный интеграл магнитного B - поля (в теслах , Т) вокруг замкнутой кривой C пропорционален полному току I _enc , проходящему через поверхность. S (заключен буквой C ). С точки зрения свободного тока линейный интеграл магнитного H - поля ( в амперах на метр , А·м ^-1 ) вокруг замкнутой кривой C равен свободному току I _f,enc через поверхность S. ^{[ нужны разъяснения ]}

• J — полная плотность тока (в амперах на квадратный метр , А·м ^-2 ),
• J _f — только плотность свободного тока,
• ∮ _C — интеграл по замкнутой кривой C ,
• ∬ _S обозначает двумерный поверхностный интеграл по S , заключенный в C ,
• · — векторное скалярное произведение ,
• d l - бесконечно малый элемент ( дифференциал ) кривой C (т.е. вектор с величиной, равной длине бесконечно малого линейного элемента, и направлением, заданным касательной к кривой C )
• d S - векторная площадь бесконечно малого элемента поверхности S (то есть вектор с величиной, равной площади бесконечно малого элемента поверхности, и направлением, нормальным к поверхности S . Направление нормали должно соответствовать ориентации C по правилу правой руки), см. ниже дальнейшее объяснение кривой C и поверхности S.
• ∇ × – оператор ротора .

Неясности и соглашения о знаках

В приведенных выше определениях имеется ряд неясностей, которые требуют пояснения и выбора условностей.

1. Во-первых, три из этих членов связаны с неоднозначностью знаков: линейный интеграл ∮ _C может обходить контур в любом направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки); векторная область d S может указывать в любом из двух направлений, нормальных к поверхности; и I _enc — чистый ток, проходящий через поверхность S , то есть ток, проходящий через поверхность в одном направлении, минус ток в другом направлении, но любое направление можно выбрать как положительное. Эти двусмысленности разрешаются с помощью правила правой руки : ладонь правой руки направлена ​​к области интеграции, указательный палец указывает вдоль направления линии интеграции, а вытянутый большой палец указывает в направлении, которое необходимо выбрать. для векторной области d S . Также ток, проходящий в том же направлении, что и d S , следует считать положительным. Правило хвата правой рукой также можно использовать для определения знаков.
2. Во-вторых, существует бесконечно много возможных поверхностей S , границами которых является кривая C. (Представьте себе мыльную пленку на проволочной петле, которую можно деформировать, дуя на пленку). Какую из этих поверхностей выбрать? Например, если петля не лежит в одной плоскости, очевидного выбора не существует. Ответ заключается в том, что это не имеет значения: в магнитостатическом случае плотность тока является соленоидальной (см. следующий раздел), поэтому из теоремы о дивергенции и уравнения непрерывности следует, что поток через любую поверхность с границей C с тем же соглашением о знаках равен одинаковый. На практике для интегрирования обычно выбирают наиболее удобную поверхность (с заданной границей).

Свободный ток против связанного тока

Электрический ток, возникающий в простейших учебниковых ситуациях, можно было бы классифицировать как «свободный ток» — например, ток, проходящий через провод или батарею . Напротив, «связанный ток» возникает в случае объемных материалов, которые могут быть намагничены и/или поляризованы . (Все материалы могут в той или иной степени.)

Когда материал намагничивается (например, помещая его во внешнее магнитное поле), электроны остаются связанными с соответствующими атомами, но ведут себя так, как если бы они вращались вокруг ядра в определенном направлении, создавая микроскопический ток. Когда токи всех этих атомов объединяются, они создают тот же эффект, что и макроскопический ток, постоянно циркулирующий вокруг намагниченного объекта. Этот ток намагничивания J _M является одним из вкладов в «связанный ток».

Другим источником связанного тока является связанный заряд . При приложении электрического поля положительные и отрицательные связанные заряды могут разделяться на атомных расстояниях в поляризуемых материалах , а когда связанные заряды движутся, поляризация меняется, создавая еще один вклад в «связанный ток», ток поляризации J _P .

Тогда полная плотность тока J , обусловленная свободными и связанными зарядами, равна:

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }\,,}$

где J _f   - плотность тока «свободного» или «проводящего» тока.

Весь ток по своей сути одинаков, микроскопически. Тем не менее, часто существуют практические причины рассматривать связанный ток иначе, чем свободный ток. Например, связанный ток обычно возникает в размерах атомов, и можно воспользоваться более простой теорией, предназначенной для больших размеров. В результате более микроскопический закон цепи Ампера, выраженный через B и микроскопический ток (который включает в себя свободный ток, ток намагничивания и поляризации), иногда приводится в эквивалентную форму, приведенную ниже, через H и только свободный ток. Подробное определение свободного тока и связанного тока, а также доказательство эквивалентности этих двух формулировок см. в разделе «доказательство» ниже.

Недостатки исходной формулировки окружного закона

Есть два важных вопроса, касающихся окружного права, которые требуют более тщательного изучения. Во-первых, существует проблема, связанная с уравнением непрерывности электрического заряда. В векторном исчислении тождество дивергенции ротора гласит, что дивергенция ротора векторного поля всегда должна быть равна нулю. Следовательно

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0\,,}$

и поэтому исходный закон цепи Ампера подразумевает, что

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0\,,}$

т.е. плотность тока является соленоидальной .

Но в целом реальность подчиняется уравнению непрерывности электрического заряда :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,,}$

которое отлично от нуля для изменяющейся во времени плотности заряда. Пример возникает в конденсаторной цепи, где на обкладках существует меняющаяся во времени плотность заряда. ^{[12] [13] [14] [15] [16]}

Во-вторых, существует проблема распространения электромагнитных волн. Например, в свободном пространстве , где

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {0} \,,}$

закон окружности подразумевает, что

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} \,,}$

т.е. магнитное поле является безвихревым , но для сохранения согласованности с уравнением непрерывности для электрического заряда мы должны иметь

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}$

Чтобы справиться с этими ситуациями, вклад тока смещения должен быть добавлен к текущему члену закона цепи.

Джеймс Клерк Максвелл представил ток смещения как ток поляризации в диэлектрическом вихревом море, который он использовал для гидродинамического и механического моделирования магнитного поля. ^[17] Он добавил этот ток смещения к закону цепи Ампера в уравнении 112 в своей статье 1861 года « О физических силовых линиях ». ^[18]

Ток смещения

В свободном пространстве ток смещения связан со скоростью изменения электрического поля во времени.

В диэлектрике указанный вклад в ток смещения также присутствует, но основной вклад в ток смещения связан с поляризацией отдельных молекул диэлектрического материала. Хотя заряды не могут свободно течь в диэлектрике, заряды в молекулах могут немного перемещаться под действием электрического поля. Положительные и отрицательные заряды в молекулах разделяются под действием приложенного поля, вызывая увеличение состояния поляризации, выраженное как плотность поляризации P. Изменение состояния поляризации эквивалентно току.

Оба вклада в ток смещения объединяются путем определения тока смещения как: ^[12]

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,\,t)\,,}$

где поле электрического смещения определяется как:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }\mathbf {E} \,,}$

где ε0 — электрическая постоянная , εr _— относительная статическая диэлектрическая проницаемость , а P _— плотность поляризации . Если подставить эту форму вместо D в выражение для тока смещения, то он будет иметь две составляющие:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.}$

Первое слагаемое в правой части присутствует везде, даже в вакууме. Он не предполагает какого-либо фактического движения заряда, но, тем не менее, имеет связанное с ним магнитное поле, как если бы это был реальный ток. Некоторые авторы называют током смещения только этот вклад. ^[19]

Второе слагаемое в правой части — это ток смещения, первоначально задуманный Максвеллом, связанный с поляризацией отдельных молекул диэлектрического материала.

Первоначальное объяснение Максвелла тока смещения было сосредоточено на ситуации, возникающей в диэлектрических средах. В современную эпоху постэфира эта концепция была расширена и теперь применима к ситуациям, когда материальная среда отсутствует, например, к вакууму между пластинами заряжающегося вакуумного конденсатора . Ток смещения сегодня оправдан, поскольку он удовлетворяет нескольким требованиям электромагнитной теории: правильное предсказание магнитных полей в областях, где не течет свободный ток; прогнозирование волнового распространения электромагнитных полей; и сохранение электрического заряда в случаях, когда плотность заряда меняется во времени. Более подробное обсуждение см. в разделе «Ток смещения» .

Расширение исходного закона: уравнение Ампера – Максвелла.

Затем уравнение цепи расширяется за счет включения тока поляризации, тем самым устраняя ограниченную применимость исходного закона цепи.

Если рассматривать свободные заряды отдельно от связанных зарядов, уравнение, включающее поправку Максвелла в терминах H -поля, имеет вид ( H -поле используется, поскольку оно включает в себя токи намагничивания, поэтому J _M не появляется явно, см. H -поле , а также Примечание. ): ^[20]

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

(интегральная форма), где H — магнитное поле H (также называемое «вспомогательным магнитным полем», «напряженностью магнитного поля» или просто «магнитным полем»), D — поле электрического смещения , а J _f — приложенный ток проводимости. или плотность свободного тока . В дифференциальной форме

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\,.}$

С другой стороны, если рассматривать все заряды одинаково (независимо от того, являются ли они связанными или свободными зарядами), обобщенное уравнение Ампера, также называемое уравнением Максвелла – Ампера, имеет интегральную форму (см. раздел «доказательство» ниже):

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

В дифференциальной форме

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

В обеих формах J включает в себя плотность тока намагничивания ^[21] , а также плотности тока проводимости и поляризации. То есть плотность тока в правой части уравнения Ампера – Максвелла равна:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {D} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,,}$

где плотность тока J _D — ток смещения , а J — вклад плотности тока, обусловленный движением зарядов, как свободных, так и связанных. Поскольку ∇ ⋅  D = ρ , проблема непрерывности заряда в исходной формулировке Ампера больше не является проблемой. ^[22] Из-за члена в ε ₀∂ Э/∂ т, распространение волн в свободном пространстве теперь возможно.

Добавив ток смещения, Максвелл смог предположить (правильно), что свет представляет собой форму электромагнитной волны . См. уравнение электромагнитной волны для обсуждения этого важного открытия.

Доказательство эквивалентности

Доказательство того, что формулировки закона цепи в терминах свободного тока эквивалентны формулировкам, включающим полный ток.

В этом доказательстве мы покажем, что уравнение

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

эквивалентно уравнению

${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}$

Обратите внимание, что мы имеем дело только с дифференциальными формами, а не с интегральными формами, но этого достаточно, поскольку дифференциальные и интегральные формы эквивалентны в каждом случае по теореме Кельвина – Стокса .

Введем плотность поляризации P , которая имеет следующую связь с E и D :

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,.}$

Далее введем плотность намагниченности M , которая имеет следующую связь с B и H :

${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} =\mathbf {H} +\mathbf {M} }$

и следующее отношение к связанному току:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} },\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} ,}$

называется плотностью тока намагничивания , а

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}},}$

– плотность тока поляризации. Взяв уравнение для B :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )&=\mathbf {\nabla } \times \left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\\&=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} +\mathbf {J} _{\mathrm {M} }\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }.\end{aligned}}}$

Следовательно, обращаясь к определению связанного тока:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},\end{aligned}}}$

как и должно было быть показано.

Круговой закон Ампера в единицах СГС

В единицах СГС интегральная форма уравнения, включая поправку Максвелла, имеет вид

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}={\frac {1}{c}}\iint _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$

где с — скорость света .

Дифференциальная форма уравнения (опять же, включая поправку Максвелла) имеет вид

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right).}$

Смотрите также

• Закон Био – Савара
• Ток смещения
• Емкость
• Модель магнитного диполя Ампера
• Уравнение электромагнитной волны
• Уравнения Максвелла
• Закон индукции Фарадея
• Плотность поляризации
• Электрический ток
• Векторное исчисление
• Теорема Стокса

Примечания

1. Ампер никогда не использовал концепцию поля ни в одной из своих работ; ср. Ассис, Андре Кох Торрес; Чайб, JPM C; Ампер, Андре-Мари (2015). Электродинамика Ампера: анализ значения и эволюции силы Ампера между элементами тока вместе с полным переводом его шедевра: Теория электродинамических явлений, уникальным образом выведенная из опыта (PDF) . Монреаль, королевский адвокат: Апейрон. гл. 15 р. 221. ИСБН 978-1-987980-03-5.Таким образом, «круговой закон Ампера» правильнее называть «законом Ампера – Максвелла». Он назван в честь Ампера из-за его вклада в понимание электрического тока. Максвелл не принимает силовой закон Ампера в качестве отправной точки при выводе каких-либо своих уравнений, хотя он упоминает силовой закон Ампера в своем «Трактате об электричестве и магнетизме» , том. 2, часть 4, гл. 2 (§§502–527) и 23 (§§845–866).
2. Клерк Максвелл, Джеймс (1890). «О физических силовых линиях». Нью-Йорк, Dover Publications.
3. Флейш, Дэниел (2008). Руководство для студентов по уравнениям Максвелла. Издательство Кембриджского университета. п. 83. ИСБН 9781139468473.
4. Гарг, Анупам (2012). Классический электромагнетизм в двух словах. Издательство Принстонского университета. п. 125. ИСБН 9780691130187.
5. Кац, Дебора М. (2016). Физика для ученых и инженеров: основы и связи, расширенная версия. Cengage Обучение. п. 1093. ИСБН 9781337364300.
6. Эрстед, ХК (1820). «Опыты по воздействию электрического тока на магнитные стрелки». Анналы философии . Лондон: Болдуин, Крэддок, Джой. 16 : 273.
7. Хэм Снелдерс, «Открытие Эрстедом электромагнетизма» в Каннингеме, Эндрю Каннингем; Николас Джардин (1990). Романтизм и науки. Архив Кубка. п. 228. ИСБН 0521356857.
8. Догал (1986). Основы электротехники, Том. 1. Тата МакГроу-Хилл. п. 96. ИСБН 0074515861.
9. Клерк Максвелл, Джеймс (1890). «О силовых линиях Фарадея». Нью-Йорк, Dover Publications.
10. Кнопфель, Хайнц Э. (2000). Магнитные поля: всеобъемлющий теоретический трактат для практического использования. Уайли. п. 4. ISBN 0-471-32205-9.
11. Оуэн, Джордж Э. (2003). Электромагнитная теория (переиздание изд. 1963 г.). Публикации Курьер-Дувр. п. 213. ИСБН 0-486-42830-3.
12. Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. п. 238. ИСБН 0-471-30932-Х.
13. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Пирсон/Аддисон-Уэсли. стр. 322–323. ISBN 0-13-805326-Х.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
14. Оуэн, Джордж Э. (2003). Электромагнитная теория. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 285. ИСБН 0-486-42830-3.
15. Биллингем, Дж.; Кинг, AC (2006). Волновое движение. Издательство Кембриджского университета. п. 179. ИСБН 0-521-63450-4.
16. Слейтер, JC; Франк, Нью-Хэмпшир (1969). Электромагнетизм (Перепечатка изд. 1947 г.). Публикации Courier Dover. п. 83. ИСБН 0-486-62263-0.
17. Сигел, Дэниел М. (2003). Инновации в электромагнитной теории Максвелла: молекулярные вихри, ток смещения и свет. Издательство Кембриджского университета. стр. 96–98. ISBN 0-521-53329-5.
18. Клерк Максвелл, Джеймс (1861). «О физических силовых линиях» (PDF) . Философский журнал и научный журнал .
19. Например, см. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику. Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 323. ИСБН 0-13-805326-Х.и Тай Л. Чоу (2006). Введение в электромагнитную теорию. Джонс и Бартлетт. п. 204. ИСБН 0-7637-3827-1.
20. Рогальский, Мирча С.; Палмер, Стюарт Б. (2006). Высшая университетская физика. ЦРК Пресс. п. 267. ИСБН 1-58488-511-4.
21. Рогальский, Мирча С.; Палмер, Стюарт Б. (2006). Высшая университетская физика. ЦРК Пресс. п. 251. ИСБН 1-58488-511-4.
22. Ток намагничивания можно выразить как ротор намагниченности, поэтому его дивергенция равна нулю и не вносит вклада в уравнение непрерывности. См. ток намагничивания .

дальнейшее чтение

• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.) . У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0810-8.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с законом Ампера, на Викискладе?
• MISN-0-138 Закон Ампера ( файл PDF ), автор Кирби Морган для проекта PHYSNET.
• МИСН-0-145 Уравнение Ампера – Максвелла; Ток смещения (файл PDF), автор Дж. С. Ковач для проекта PHYSNET.
• Статья Максвелла «Динамическая теория электромагнитного поля» 1864 года.