В математике высота элемента g абелевой группы A является инвариантом, который отражает его свойства делимости: это наибольшее натуральное число N такое, что уравнение Nx = g имеет решение x ∈ A , или символ ∞, если такого N не существует . P - высота учитывает только свойства делимости на степени фиксированного простого числа p . Понятие высоты допускает уточнение, так что p -высота становится порядковым числом . Высота играет важную роль в теоремах Прюфера , а также в теореме Ульма , которая описывает классификацию некоторых бесконечных абелевых групп в терминах их ульмовских факторов или ульмовских инвариантов .
Пусть A — абелева группа, а g — элемент A. P - высота g в A , обозначаемая h p ( g ), — это наибольшее натуральное число n такое, что уравнение p n x = g имеет решение относительно x ∈ A , или символ ∞, если решение существует для всех n . Таким образом, h p ( g ) = n тогда и только тогда, когда g ∈ p n A и g ∉ p n +1 A . Это позволяет уточнить понятие высоты.
Для любого ординала α существует подгруппа p α A группы A , которая является образом отображения умножения на p, повторенного α раз, определяемого с помощью трансфинитной индукции :
Подгруппы p α A образуют убывающую фильтрацию группы A , а их пересечение является подгруппой p -делимых элементов группы A , элементам которой приписана высота ∞. Модифицированная p -высота h p ∗ ( g ) = α , если g ∈ p α A , но g ∉ p α +1 A . Конструкция p α A функториальна по A ; в частности, подфакторы фильтрации являются инвариантами изоморфизма A .
Пусть p — фиксированное простое число. (Первая) подгруппа Ульма абелевой группы A , обозначаемая U ( A ) или A 1 , есть p ω A = ∩ n p n A , где ω — наименьший бесконечный ординал . Она состоит из всех элементов A бесконечной высоты. Семейство { U σ ( A )} подгрупп Ульма, индексированных ординалами σ , определяется трансфинитной индукцией:
Эквивалентно, U σ ( A ) = p ωσ A , где ωσ — произведение ординалов ω и σ .
Подгруппы Ульма образуют убывающую фильтрацию группы A, чьи факторы U σ ( A ) = U σ ( A )/ U σ +1 ( A ) называются факторами Ульма группы A . Эта фильтрация стабилизирует и наименьшее ординальное число τ такое, что U τ ( A ) = U τ +1 ( A ) является длиной Ульма группы A . Наименьшая подгруппа Ульма U τ ( A ), также обозначаемая U ∞ ( A ) и p ∞ A, является наибольшей p -делимой подгруппой группы A ; если A является p -группой, то U ∞ ( A ) является делимой , и как таковая она является прямым слагаемым группы A .
Для каждого фактора Ульма U σ ( A ) p -высоты его элементов конечны и неограниченны для каждого фактора Ульма, за исключением, возможно, последнего, а именно U τ −1 ( A ), когда длина Ульма τ является последующим ординалом .
Вторая теорема Прюфера дает прямое расширение фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах на счетные абелевы p -группы без элементов бесконечной высоты: каждая такая группа изоморфна прямой сумме циклических групп, порядки которых являются степенями p . Более того, мощность множества слагаемых порядка p n однозначно определяется группой, и каждая последовательность не более чем счетных мощностей реализуется. Гельмут Ульм (1933) нашел расширение этой теории классификации на общие счетные p -группы: их класс изоморфизма определяется классами изоморфизма множителей Ульма и p -делимой части.
Существует дополнение к этой теореме, впервые сформулированное Лео Циппином (1935) и доказанное Курошем (1960), которое касается существования абелевой p -группы с заданными ульмовскими факторами.
Первоначальное доказательство Ульма основывалось на расширении теории элементарных делителей на бесконечные матрицы .
Джордж Макки и Ирвинг Каплански обобщили теорему Ульма на некоторые модули над полным дискретным кольцом нормирования . Они ввели инварианты абелевых групп, которые приводят к прямому утверждению классификации счетных периодических абелевых групп: для заданных абелевой группы A , простого числа p и ординала α соответствующий α -й инвариант Ульма является размерностью фактора
где B [ p ] обозначает p -кручение абелевой группы B , т.е. подгруппу элементов порядка p , рассматриваемую как векторное пространство над конечным полем с p элементами.
Их упрощенное доказательство теоремы Ульма послужило моделью для многих дальнейших обобщений на другие классы абелевых групп и модулей.
