Эллиптическое уравнение в частных производных

Класс линейных уравнений в частных производных второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных (ЧДУ) второго порядка классифицируются как эллиптические , гиперболические или параболические . Любое линейное УЧП второго порядка с двумя переменными можно записать в виде

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

где A , B , C , D , E , F и G являются функциями x и y и где , и аналогично для . УЧП, записанное в этой форме, является эллиптическим, если ${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$ ${\displaystyle u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}}$ ${\displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy}}$

${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$

с этим соглашением об именах, вдохновленным уравнением плоского эллипса .

Простейшими примерами эллиптических УЧП являются уравнение Лапласа и уравнение Пуассона . В некотором смысле любое другое эллиптическое УЧП с двумя переменными можно рассматривать как обобщение одного из этих уравнений, поскольку его всегда можно представить в каноническом виде. форма ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}$ ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}$

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

за счет замены переменных. ^{[1] [2]}

Качественное поведение

Эллиптические уравнения не имеют вещественных характеристических кривых , кривых, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную из условий задачи Коши . ^[1] Поскольку характеристические кривые являются единственными кривыми, вдоль которых решения уравнений в частных производных с гладкими параметрами могут иметь разрывные производные, решения эллиптических уравнений не могут нигде иметь разрывные производные. Это означает, что эллиптические уравнения хорошо подходят для описания состояний равновесия, в которых любые разрывы уже сглажены. Например, мы можем получить уравнение Лапласа из уравнения теплопроводности , установив . Это означает, что уравнение Лапласа описывает устойчивое состояние уравнения теплопроводности. ^[2] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{t}=\Delta u}$ ${\displaystyle u_{t}=0}$

В параболических и гиперболических уравнениях характеристики описывают линии, по которым распространяется информация об исходных данных. Поскольку эллиптические уравнения не имеют реальных характеристических кривых, для эллиптических уравнений нет смысла распространения информации. Это делает эллиптические уравнения более подходящими для описания статических, а не динамических процессов. ^[2]

Вывод канонической формы

Выведен канонический вид эллиптических уравнений с двумя переменными . ${\displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

${\displaystyle \xi =\xi (x,y)}$и . ${\displaystyle \eta =\eta (x,y)}$

Если однократное применение правила цепочки дает ${\displaystyle u(\xi ,\eta )=u[\xi (x,y),\eta (x,y)]}$

${\displaystyle u_{x}=u_{\xi }\xi _{x}+u_{\eta }\eta _{x}}$и , ${\displaystyle u_{y}=u_{\xi }\xi _{y}+u_{\eta }\eta _{y}}$

второе приложение дает

${\displaystyle u_{xx}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{x}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{x}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx},}$

${\displaystyle u_{yy}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{y}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{y}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy},}$и

${\displaystyle u_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}.}$

Мы можем заменить наше УЧП по x и y эквивалентным уравнением по и ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle au_{\xi \xi }+2bu_{\xi \eta }+cu_{\eta \eta }{\text{ + (lower-order terms)}}=0,\,}$

где

${\displaystyle a=A{\xi _{x}}^{2}+2B\xi _{x}\xi _{y}+C{\xi _{y}}^{2},}$

${\displaystyle b=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$и

${\displaystyle c=A{\eta _{x}}^{2}+2B\eta _{x}\eta _{y}+C{\eta _{y}}^{2}.}$

Чтобы преобразовать наше УЧП в желаемую каноническую форму, мы ищем и такие, что и . Это дает нам систему уравнений ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle b=0}$

${\displaystyle a-c=A({\xi _{x}}^{2}-{\eta _{x}}^{2})+2B(\xi _{x}\xi _{y}-\eta _{x}\eta _{y})+C({\xi _{y}}^{2}-{\eta _{y}}^{2})=0}$

${\displaystyle b=0=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$

Сложение второго уравнения с первым и установка дают квадратное уравнение ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \phi =\xi +i\eta }$

${\displaystyle A{\phi _{x}}^{2}+2B\phi _{x}\phi _{y}+C{\phi _{y}}^{2}=0.}$

Поскольку дискриминант , это уравнение имеет два различных решения: ${\displaystyle B^{2}-AC<0}$

${\displaystyle {\phi _{x}},{\phi _{y}}={\frac {B\pm i{\sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}}$

которые являются комплексно-сопряженными. Выбрав любое решение, мы можем решить для и восстановить с помощью преобразований и . Так как и будут удовлетворять и , поэтому при замене переменных от x и y до и преобразует УЧП ${\displaystyle \phi (x,y)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi =\operatorname {Re} \phi }$ ${\displaystyle \eta =\operatorname {Im} \phi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle a-c=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

в каноническую форму

${\displaystyle u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+{\text{ (lower-order terms)}}=0,}$

по желанию.

В высших измерениях

Общее уравнение в частных производных второго порядка от n переменных принимает вид

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;{\text{ + (lower-order terms)}}=0.}$

Это уравнение считается эллиптическим, если отсутствуют характеристические поверхности, т. е. поверхности, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную от u из условий задачи Коши . ^[1]

В отличие от двумерного случая, это уравнение, вообще говоря, не может быть приведено к простой канонической форме. ^[2]

Смотрите также

• Эллиптический оператор
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Параболическое уравнение в частных производных
• УЧП второго порядка (для более полного обсуждения)

Рекомендации

1. Пинчовер, Иегуда; Рубинштейн, Джейкоб (2005). Введение в уравнения в частных производных. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84886-2.
2. Заудерер, Эрих (1989). Уравнения с частными производными прикладной математики . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-61298-7.

Внешние ссылки

• «Эллиптическое уравнение в частных производных», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Эллиптическое уравнение в частных производных, численные методы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптическое уравнение в частных производных». Математический мир .