Эллиптическая орбита

Кеплеровая орбита с эксцентриситетом менее единицы

Анимация орбиты по эксцентриситету
  0,0  ·   0,2  ·   0,4  ·   0,6  ·   0,8

Два тела одинаковой массы вращаются вокруг общего барицентра по эллиптическим орбитам.

Два тела неравной массы обращаются вокруг общего барицентра по круговым орбитам.

Два тела с весьма неравной массой вращаются вокруг общего барицентра по круговым орбитам.

Эллиптическая орбита изображена в правом верхнем квадранте этой диаграммы, где гравитационная потенциальная яма центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия орбитальной скорости показана красным цветом. Высота кинетической энергии уменьшается по мере уменьшения скорости вращающегося тела и увеличения расстояния в соответствии с законами Кеплера.

В астродинамике или небесной механике эллиптическая орбита или эллиптическая орбита — это орбита Кеплера с эксцентриситетом менее 1; это включает в себя частный случай круговой орбиты с эксцентриситетом, равным 0. В более строгом смысле это орбита Кеплера с эксцентриситетом больше 0 и меньше 1 (таким образом, исключая круговую орбиту). В более широком смысле это кеплеровская орбита с отрицательной энергией . Сюда входит радиальная эллиптическая орбита с эксцентриситетом, равным 1.

В гравитационной задаче двух тел с отрицательной энергией оба тела движутся по одинаковым эллиптическим орбитам с одинаковым периодом обращения вокруг общего барицентра . Кроме того, относительное положение одного тела по отношению к другому следует эллиптической орбите.

Примеры эллиптических орбит включают переходные орбиты Гомана , орбиты Молнии и тундровые орбиты .

Скорость

При стандартных предположениях не действуют никакие другие силы, кроме двух сферически симметричных тел m ₁ и m ₂ , ^[1] орбитальная скорость ( ) одного тела, движущегося по эллиптической орбите , может быть вычислена из уравнения vis-viva как: ^[2] ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

где:

• ${\displaystyle \mu \,}$– стандартный гравитационный параметр G(m ₁ +m ₂ ), часто выражаемый как GM, когда одно тело намного больше другого.
• ${\displaystyle r\,}$- расстояние между вращающимся телом и центром масс.
• ${\displaystyle a\,\!}$— длина большой полуоси .

Уравнение скорости для гиперболической траектории имеет либо + , либо оно такое же, с соглашением, что в этом случае a отрицательно. ${\displaystyle {1 \over {a}}}$

Орбитальный период

При стандартных предположениях орбитальный период ( ) тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить как: ^[3] ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

где:

• ${\displaystyle \mu }$— стандартный гравитационный параметр .
• ${\displaystyle a\,\!}$— длина большой полуоси .

Выводы:

• Орбитальный период равен таковому для круговой орбиты с радиусом орбиты, равным большой полуоси ( ), ${\displaystyle a\,\!}$
• Для данной большой полуоси орбитальный период не зависит от эксцентриситета (См. также: Третий закон Кеплера ).

Энергия

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия ( ) эллиптической орбиты отрицательна и уравнение сохранения орбитальной энергии ( уравнение Вис-вива ) для этой орбиты может иметь вид: ^[4] ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

где:

• ${\displaystyle v\,}$- орбитальная скорость вращающегося тела,
• ${\displaystyle r\,}$— расстояние вращающегося тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle a\,}$— длина большой полуоси ,
• ${\displaystyle \mu \,}$— стандартный гравитационный параметр .

Выводы:

• Для данной большой полуоси удельная орбитальная энергия не зависит от эксцентриситета.

Используя теорему вириала, находим:

• среднее по времени удельной потенциальной энергии равно −2ε
  • среднее по ^{времени} r ⁻¹ равно −1
• среднее по времени удельной кинетической энергии равно ε

Энергия в терминах большой полуоси

Может быть полезно знать энергию в терминах большой полуоси (и задействованных масс). Полная энергия орбиты определяется выражением

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{2a}}}$,

где а — большая полуось.

Вывод

Поскольку гравитация является центральной силой, угловой момент постоянен:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0}$

При самом близком и самом дальнем сближении угловой момент перпендикулярен расстоянию от массы, находящейся на орбите, поэтому:

${\displaystyle L=rp=rmv}$.

Полная энергия орбиты определяется выражением ^[5]

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Мы можем заменить v и получить

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Это верно для r, являющегося ближайшим/самым дальним расстоянием, поэтому мы получаем два одновременных уравнения, которые мы решаем для E:

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}$

Поскольку и , где эпсилон – эксцентриситет орбиты, мы наконец имеем заявленный результат. ${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$ ${\displaystyle r_{2}=a-a\epsilon }$

Угол траектории полета

Угол траектории полета - это угол между вектором скорости вращающегося тела (= вектором, касательным к мгновенной орбите) и местной горизонталью. При стандартных предположениях о сохранении углового момента угол траектории полета удовлетворяет уравнению: ^[6] ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }$

где:

• ${\displaystyle h\,}$- удельный относительный угловой момент орбиты,
• ${\displaystyle v\,}$- орбитальная скорость вращающегося тела,
• ${\displaystyle r\,}$— радиальное расстояние вращающегося тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle \phi \,}$угол траектории полета

${\displaystyle \psi }$– угол между вектором орбитальной скорости и большой полуосью. — локальная истинная аномалия. , поэтому, ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }$

${\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$

где эксцентриситет. ${\displaystyle e}$

Угловой момент связан с векторным произведением положения и скорости, которое пропорционально синусу угла между этими двумя векторами. Здесь определяется угол, который отличается от этого на 90 градусов, поэтому вместо синуса появляется косинус. ${\displaystyle \phi }$

Уравнение движения

Из исходного положения и скорости

Уравнение орбиты определяет путь вращающегося тела вокруг центрального тела относительно без указания положения как функции времени. Если эксцентриситет меньше 1, то уравнение движения описывает эллиптическую орбиту. Поскольку уравнение Кеплера не имеет общего решения в замкнутой форме для эксцентрической аномалии (E) в терминах средней аномалии (M), уравнения движения как функции времени также не имеют решения в замкнутой форме (хотя для обоих существуют численные решения ). . ${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Однако независимые от времени уравнения траектории эллиптической орбиты относительно центрального тела в замкнутой форме могут быть определены только по начальному положению ( ) и скорости ( ). ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

В этом случае удобно использовать следующие предположения, которые несколько отличаются от стандартных предположений, изложенных выше:

1. Положение центрального тела находится в начале координат и является основным фокусом ( ) эллипса (в качестве альтернативы вместо этого можно использовать центр масс, если вращающееся тело имеет значительную массу) ${\displaystyle \mathbf {F1} }$
2. Масса центрального тела (m1) известна
3. Начальное положение ( ) и скорость ( ) вращающегося тела известны. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$
4. Эллипс лежит внутри плоскости XY.

Четвертое предположение можно сделать без ограничения общности, поскольку любые три точки (или векторы) должны лежать в одной плоскости. При этих предположениях второй фокус (иногда называемый «пустым» фокусом) также должен лежать внутри плоскости XY: . ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

Использование векторов

Общее уравнение эллипса при этих предположениях с использованием векторов:

${\displaystyle |\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0}$

где:

• ${\displaystyle a\,\!}$— длина большой полуоси .
• ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$— второй («пустой») фокус.
• ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(x,y\right)}$любое значение (x,y), удовлетворяющее уравнению.

Длину большой полуоси (a) можно рассчитать как:

${\displaystyle a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}}$

где – стандартный гравитационный параметр . ${\displaystyle \mu \ =Gm_{1}}$

Пустой фокус ( ) можно найти, предварительно определив вектор эксцентриситета : ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}}$

Где – удельный момент импульса вращающегося тела: ^[7] ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

Затем

${\displaystyle \mathbf {F2} =-2a\mathbf {e} }$

Использование координат XY

Это можно сделать в декартовых координатах, используя следующую процедуру:

Общее уравнение эллипса при сделанных выше предположениях имеет вид:

${\displaystyle {\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0}$

Данный:

${\displaystyle r_{x},r_{y}\quad }$координаты начального положения

${\displaystyle v_{x},v_{y}\quad }$начальные координаты скорости

и

${\displaystyle \mu =Gm_{1}\quad }$гравитационный параметр

Затем:

${\displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad }$удельный угловой момент

${\displaystyle r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad }$начальное расстояние от F1 (в начале координат)

${\displaystyle a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad }$длина большой полуоси

${\displaystyle e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad }$координаты вектора эксцентриситета

${\displaystyle e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad }$

Наконец, пустые координаты фокуса

${\displaystyle f_{x}=-2ae_{x}\quad }$

${\displaystyle f_{y}=-2ae_{y}\quad }$

Теперь полученные значения fx, fy и a можно применить к общему уравнению эллипса, приведенному выше.

Орбитальные параметры

Состояние вращающегося тела в любой момент времени определяется положением вращающегося тела и скоростью относительно центрального тела, которые могут быть представлены трехмерными декартовыми координатами (положение вращающегося тела, представленное x, y и z) и аналогичные декартовы компоненты скорости вращающегося тела. Этот набор из шести переменных вместе со временем называется векторами орбитального состояния . Учитывая массы двух тел, они определяют полную орбиту. Двумя наиболее общими случаями с этими шестью степенями свободы являются эллиптическая и гиперболическая орбиты. Особыми случаями с меньшим количеством степеней свободы являются круговая и параболическая орбита.

Поскольку для полного представления эллиптической орбиты с этим набором параметров абсолютно необходимо как минимум шесть переменных, то для представления орбиты с любым набором параметров требуется шесть переменных. Другой набор из шести параметров, которые обычно используются, — это элементы орбиты .

Солнечная система

В Солнечной системе планеты , астероиды , большинство комет и некоторые куски космического мусора имеют примерно эллиптические орбиты вокруг Солнца . Строго говоря, оба тела вращаются вокруг одного и того же фокуса эллипса, причем то, что ближе к более массивному телу, но когда одно тело значительно более массивно, как, например, Солнце по отношению к Земле, фокус может находиться внутри большего тела. массивное тело, поэтому говорят, что меньшее тело вращается вокруг него. Следующая диаграмма перигелия и афелия планет , карликовых планет и кометы Галлея демонстрирует изменение эксцентриситета их эллиптических орбит . Для аналогичных расстояний от Солнца более широкие полосы обозначают больший эксцентриситет. Обратите внимание на почти нулевой эксцентриситет Земли и Венеры по сравнению с огромным эксцентриситетом кометы Галлея и Эриды .

Расстояния избранных тел Солнечной системы от Солнца. Левый и правый края каждой полосы соответствуют перигелию и афелию тела соответственно, поэтому длинные полосы обозначают высокий эксцентриситет орбиты . Радиус Солнца составляет 0,7 миллиона км, а радиус Юпитера (самой большой планеты) — 0,07 миллиона км, оба слишком малы, чтобы их можно было рассмотреть на этом изображении.

Радиальная эллиптическая траектория

Радиальная траектория может представлять собой двойной отрезок , который представляет собой вырожденный эллипс с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита. Применимы большинство свойств и формул эллиптических орбит. Однако орбиту замкнуть невозможно. Это открытая орбита, соответствующая части вырожденного эллипса с момента касания тел друг друга и удаления друг от друга до момента их повторного соприкосновения. В случае точечных масс возможна одна полная орбита, начинающаяся и заканчивающаяся сингулярностью. Скорости в начале и конце бесконечны в противоположных направлениях, а потенциальная энергия равна минус бесконечности.

Радиальная эллиптическая траектория является решением задачи двух тел с в некоторый момент времени нулевой скоростью, как в случае падения предмета (пренебрегая сопротивлением воздуха).

История

Вавилоняне первыми осознали , что движение Солнца по эклиптике неравномерно , хотя и не знали, почему это так; сегодня известно, что это происходит из-за того, что Земля движется по эллиптической орбите вокруг Солнца, причем Земля движется быстрее, когда она приближается к Солнцу в перигелии , и движется медленнее, когда она находится дальше в афелии . ^[8]

В 17 веке Иоганн Кеплер обнаружил, что орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, представляют собой эллипсы с Солнцем в одном фокусе, и описал это в своем первом законе движения планет . Позже Исаак Ньютон объяснил это как следствие своего закона всемирного тяготения .

Смотрите также

• Апсис
• Характеристическая энергия
• Эллипс
• Список орбит
• Эксцентриситет орбиты
• Уравнение орбиты
• Параболическая траектория

Рекомендации

1. Бейт, Мюллер, Уайт (1971). Основы астродинамики (Первое изд.). Нью-Йорк: Дувр. стр. 11–12. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Лиссауэр, Джек Дж.; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. стр. 29–31. ISBN 9781108411981.
3. Бейт, Мюллер, Уайт (1971). Основы астродинамики (Первое изд.). Нью-Йорк: Дувр. п. 33. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Бейт, Мюллер, Уайт (1971). Основы астродинамики (Первое изд.). Нью-Йорк: Дувр. стр. 27–28. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Бейт, Мюллер, Уайт (1971). Основы астродинамики (Первое изд.). Нью-Йорк: Дувр. п. 15. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Бейт, Мюллер, Уайт (1971). Основы астродинамики (Первое изд.). Нью-Йорк: Дувр. п. 18. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Бейт, Мюллер, Уайт (1971). Основы астродинамики (Первое изд.). Нью-Йорк: Дувр. п. 17. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Дэвид Леверингтон (2003), От Вавилона до «Вояджера» и за его пределами: история планетарной астрономии , Cambridge University Press , стр. 6–7, ISBN 0-521-80840-5

Источники

• Д'Элисео, Маурицио М. (2007). «Орбитальное уравнение первого порядка». Американский журнал физики . 75 (4): 352–355. Бибкод : 2007AmJPh..75..352D. дои : 10.1119/1.2432126.
• Д'Элизео, Маурицио М.; Миронов, Сергей В. (2009). «Гравитационный эллипс». Журнал математической физики . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Бибкод : 2009JMP....50a2901M. дои : 10.1063/1.3078419.
• Кертис, Ховард Д. (2019). Орбитальная механика для студентов-инженеров (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-08-102133-0.

Внешние ссылки

• Java-апплет, анимирующий орбиту спутника на эллиптической орбите Кеплера вокруг Земли с любым значением большой полуоси и эксцентриситета.
• Сравнение фотографий Апогея и Перигея Луны
• Афелий - Перигелий Солнечное фотографическое сравнение
• http://www.castor2.ca