В физике энтропия фон Неймана , названная в честь Джона фон Неймана , является расширением концепции энтропии Гиббса от классической статистической механики до квантовой статистической механики . Для квантовомеханической системы, описываемой матрицей плотности ρ , энтропия фон Неймана равна [1]
где обозначает след , а ln обозначает (натуральный) матричный логарифм . Если матрица плотности ρ записана в базисе своих собственных векторов как
тогда энтропия фон Неймана равна просто [1]
В этой форме S можно рассматривать как теоретико-информационную энтропию Шеннона . [1]
Энтропия фон Неймана также используется в разных формах ( условная энтропия , относительная энтропия и т. д.) в рамках квантовой теории информации для характеристики энтропии запутанности . [2]
Джон фон Нейман создал строгую математическую основу квантовой механики в своей работе 1932 года « Математические основы квантовой механики» . [3] В нем он представил теорию измерения, в которой обычное представление о коллапсе волновой функции описывается как необратимый процесс (так называемое фон Неймана или проективное измерение).
Матрица плотности была введена с разными мотивами фон Нейманом и Львом Ландау . Мотивацией, вдохновившей Ландау, была невозможность описать подсистему сложной квантовой системы вектором состояния. [4] С другой стороны, фон Нейман ввел матрицу плотности для развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений.
Разработанный таким образом формализм матрицы плотности расширил инструменты классической статистической механики на квантовую область. В классической модели распределение вероятностей и статистическая сумма системы позволяют нам вычислить все возможные термодинамические величины. Фон Нейман ввел матрицу плотности, чтобы играть ту же роль в контексте квантовых состояний и операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Знание оператора статистической матрицы плотности позволило бы нам вычислить все средние квантовые объекты концептуально схожим, но математически различным способом.
Предположим, у нас есть набор волновых функций | Ψ〉, которые параметрически зависят от набора квантовых чисел n 1 , n 2 , ..., n N . Естественная переменная, которая у нас есть, — это амплитуда, с которой конкретная волновая функция базового набора участвует в реальной волновой функции системы. Обозначим квадрат этой амплитуды через p ( n 1 , n 2 , ..., n N ). Цель состоит в том, чтобы превратить эту величину p в классическую функцию плотности в фазовом пространстве. Нам нужно проверить, что p переходит в функцию плотности в классическом пределе и обладает эргодическими свойствами. После проверки того, что p ( n 1 , n 2 , ..., n N ) является константой движения, эргодическое предположение для вероятностей p ( n 1 , n 2 , ..., n N ) делает p функцией от только энергия.
После этой процедуры, наконец, приходим к формализму матрицы плотности при поиске формы, в которой p ( n 1 , n 2 , ..., n N ) инвариантно относительно используемого представления. В той форме, в которой оно записано, оно даст правильные средние значения только для величин, диагональных относительно квантовых чисел n 1 , n 2 , ..., n N .
Ожидаемые значения операторов, которые не являются диагональными, включают фазы квантовых амплитуд. Предположим, мы кодируем квантовые числа n 1 , n 2 , ..., n N в один индекс i или j . Тогда наша волновая функция имеет вид
Среднее значение оператора B , который не является диагональным в этих волновых функциях, поэтому
Таким образом , роль, первоначально отведенную величинам, берет на себя матрица плотности системы S.
Следовательно, 〈B〉 читается
Инвариантность указанного выше члена описывается теорией матриц. След инвариантен относительно циклических перестановок, и обе матрицы ρ и B могут быть преобразованы в любой удобный базис, обычно в базис собственных векторов. Путем циклических перестановок матричного произведения можно увидеть, что возникает единичная матрица, и поэтому изменение базиса не повлияет на след. Была описана математическая основа, в которой математическое ожидание квантовых операторов, описываемое матрицами, получается путем взятия следа произведения оператора плотности и оператора (скалярного произведения Гильберта между операторами). Матричный формализм здесь находится в рамках статистической механики, хотя он применим и для конечных квантовых систем, что обычно имеет место, когда состояние системы не может быть описано в чистом состоянии , а как статистический оператор вышеуказанного вида . Математически это положительно-полуопределенная эрмитова матрица с единичным следом.
Учитывая матрицу плотности ρ , фон Нейман определил энтропию [5] [6] как
что является правильным расширением энтропии Гиббса (с точностью до фактора k B ) и энтропии Шеннона на квантовый случай. Для вычисления S ( ρ ) удобно (см. логарифм матрицы ) вычислить собственное разложение . Энтропия фон Неймана тогда определяется выражением
Некоторые свойства энтропии фон Неймана:
Ниже обсуждается понятие субаддитивности с последующим его обобщением на случай сильной субаддитивности.
Если ρ A , ρ B — приведенные матрицы плотности общего состояния ρ AB , то
Это правое неравенство известно как субаддитивность . Два неравенства вместе иногда называют неравенством треугольника . Они были доказаны в 1970 году Хузихиро Араки и Эллиотом Х. Либом . [7] Если в теории Шеннона энтропия сложной системы никогда не может быть ниже энтропии любой из ее частей, то в квантовой теории это не так, т. е. возможно, что S ( ρ AB ) = 0 , при этом S ( ρ А ) знак равно S ( ρ B ) > 0 .
Интуитивно это можно понять так: В квантовой механике энтропия совместной системы может быть меньше суммы энтропии ее компонентов, поскольку компоненты могут быть запутаны . Например, как видно явно, состояние Белла с двумя спинами ½,
является чистым состоянием с нулевой энтропией, но каждый спин имеет максимальную энтропию, если рассматривать его индивидуально в его приведенной матрице плотности . [8] Энтропию одного спина можно «отменить», коррелируя с энтропией другого. Левое неравенство можно грубо интерпретировать как утверждение, что энтропию можно устранить только равным количеством энтропии.
Если система A и система B имеют разное количество энтропии, меньшая может лишь частично компенсировать большую, и некоторая энтропия должна остаться. Аналогично, правое неравенство можно интерпретировать как утверждение, что энтропия сложной системы максимальна, когда ее компоненты некоррелированы, и в этом случае общая энтропия представляет собой просто сумму субэнтропий. Это может быть более интуитивно понятным в формулировке фазового пространства вместо формулы в гильбертовом пространстве, где энтропия Фон Неймана равна минус ожидаемому значению ★ -логарифма функции Вигнера , − ∫ f ★ log ★ f dx dp , вплоть до смещенный сдвиг. [6] До этого сдвига смещения нормализации энтропия мажорируется энтропией своего классического предела .
Энтропия фон Неймана также сильно субаддитивна . Учитывая три гильбертовых пространства , A , B , C ,
Это более сложная теорема, и она была впервые доказана Дж. Кифером в 1959 году [9] [10] и независимо Эллиотом Х. Либом и Мэри Бет Рускай в 1973 году [11] с использованием матричного неравенства Эллиота Х. Либа [12] ] было доказано в 1973 году. Используя технику доказательства, которая устанавливает левую часть приведенного выше неравенства треугольника, можно показать, что сильное неравенство субаддитивности эквивалентно следующему неравенству.
когда ρ AB и т. д. являются приведенными матрицами плотности матрицы плотности ρ ABC . Если мы применим обычную субаддитивность к левой части этого неравенства и рассмотрим все перестановки A , B , C , мы получим неравенство треугольника для ρ ABC : Каждое из трех чисел S ( ρ AB ), S ( ρ BC ), S ( ρAC ) меньше или равна сумме двух других .
Поскольку для чистого состояния матрица плотности идемпотентна , ρ = ρ2 , энтропия S ( ρ ) для нее равна нулю. Таким образом, если система конечна (конечномерное матричное представление), энтропия S ( ρ ) количественно определяет выход системы из чистого состояния . Другими словами, он кодифицирует степень перемешивания состояний, описывающих данную конечную систему.
Измерение декогерирует квантовую систему в нечто неинтерферирующее и якобы классическое ; так, например, исчезающая энтропия чистого состояния , соответствующая матрице плотности
увеличивается до для смеси результатов измерения
поскольку информация о квантовой интерференции стирается.
Однако если измерительное устройство также является квантовомеханическим, и оно также изначально находится в чистом состоянии, то объединенная система устройство-система представляет собой просто большую квантовую систему. Поскольку он начинается в чистом состоянии, он также оказывается в чистом состоянии, и поэтому энтропия фон Неймана никогда не увеличивается. Проблему можно решить, используя идею грубой зернистости .
Конкретно, пусть система будет кубитом, а измерительным устройством — другой кубит. Измерительный прибор запускается в состоянии. Процесс измерения представляет собой вентиль CNOT , так что мы имеем , . То есть, если система запускается в чистом состоянии 1, то после измерения измерительное устройство также находится в чистом состоянии 1.
Теперь, если система запускается в состоянии, то после измерения объединенная система находится в состоянии Белла . Энтропия vN совместной системы по-прежнему равна 0, поскольку она все еще находится в чистом состоянии. Однако если мы приблизим систему, измерив энтропию vN только устройства, затем только кубита, а затем сложим их вместе, мы получим .
По субаддитивности, то есть любой способ крупнозернистости всей системы на части будет равен или увеличит энтропию vN.
Приглашенный доклад на конференции в честь 90-летия Фримена Дайсона, Институт перспективных исследований Наньянского технологического университета, Сингапур, 26–29 августа 2013 г. Заметка о Кифере (1959) находится на отметке 26:40.