Функция Хартли — это мера неопределенности , введенная Ральфом Хартли в 1928 году. Если выборка из конечного набора А выбирается равномерно случайным образом, информация, раскрывающаяся после того, как результат известен, определяется функцией Хартли.
где | А | обозначает мощность A . _
Если основание логарифма равно 2, то единицей неопределенности является шеннон (более известный как бит ) . Если это натуральный логарифм , то единицей измерения является нац . Хартли использовал логарифм с основанием десять , и с этим основанием единица информации в его честь называется хартли ( он же бан или дит ). Она также известна как энтропия Хартли или максимальная энтропия.
Функция Хартли совпадает с энтропией Шеннона (а также с энтропиями Реньи всех порядков) в случае равномерного распределения вероятностей. Это частный случай энтропии Реньи, поскольку:
Но ее также можно рассматривать как примитивную конструкцию, поскольку, как подчеркивали Колмогоров и Реньи, функцию Хартли можно определить без введения каких-либо понятий вероятности (см. Неопределенность и информация Джорджа Дж. Клира, стр. 423).
Функция Хартли зависит только от количества элементов в наборе и, следовательно, ее можно рассматривать как функцию натуральных чисел. Реньи показал, что функция Хартли по основанию 2 — единственная функция, отображающая натуральные числа в действительные числа, которая удовлетворяет условию
Условие 1 гласит, что неопределенность декартова произведения двух конечных множеств A и B является суммой неопределенностей A и B. Условие 2 говорит, что больший набор имеет большую неопределенность.
Мы хотим показать, что функция Хартли, log 2 ( n ), является единственной функцией, отображающей натуральные числа в действительные числа, которая удовлетворяет условию
Пусть f — функция натуральных чисел, удовлетворяющая трем вышеуказанным свойствам. Используя аддитивное свойство, мы можем показать, что для любых целых n и k
Пусть a , b и t — любые положительные целые числа. Существует уникальное целое число s, определяемое формулой
Поэтому,
и
С другой стороны, в силу монотонности
Используя уравнение (1), получаем
и
Следовательно,
Поскольку t может быть сколь угодно большим, разность в левой части приведенного выше неравенства должна быть равна нулю:
Так,
для некоторой константы µ , которая по свойству нормализации должна быть равна 1.