Энтропия фон Неймана

Тип энтропии в квантовой теории

В физике энтропия фон Неймана , названная в честь Джона фон Неймана , является расширением концепции энтропии Гиббса от классической статистической механики до квантовой статистической механики . Для квантовомеханической системы, описываемой матрицей плотности ρ , энтропия фон Неймана равна ^[1]

${\displaystyle S=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),}$

где обозначает след , а ln обозначает (натуральный) матричный логарифм . Если матрица плотности ρ записана в базисе своих собственных векторов как ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots }$

${\displaystyle \rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|,}$

тогда энтропия фон Неймана равна просто ^[1]

${\displaystyle S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.}$

В этой форме S можно рассматривать как теоретико-информационную энтропию Шеннона . ^[1]

Энтропия фон Неймана также используется в разных формах ( условная энтропия , относительная энтропия и т. д.) в рамках квантовой теории информации для характеристики энтропии запутанности . ^[2]

Фон

Джон фон Нейман создал строгую математическую основу квантовой механики в своей работе 1932 года « Математические основы квантовой механики» . ^[3] В нем он представил теорию измерения, в которой обычное представление о коллапсе волновой функции описывается как необратимый процесс (так называемое фон Неймана или проективное измерение).

Матрица плотности была введена с разными мотивами фон Нейманом и Львом Ландау . Мотивацией, вдохновившей Ландау, была невозможность описать подсистему сложной квантовой системы вектором состояния. ^[4] С другой стороны, фон Нейман ввел матрицу плотности для развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений.

Разработанный таким образом формализм матрицы плотности расширил инструменты классической статистической механики на квантовую область. В классической модели распределение вероятностей и статистическая сумма системы позволяют нам вычислить все возможные термодинамические величины. Фон Нейман ввел матрицу плотности, чтобы играть ту же роль в контексте квантовых состояний и операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Знание оператора статистической матрицы плотности позволило бы нам вычислить все средние квантовые объекты концептуально схожим, но математически различным способом.

Предположим, у нас есть набор волновых функций | Ψ〉, которые параметрически зависят от набора квантовых чисел n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Естественная переменная, которая у нас есть, — это амплитуда, с которой конкретная волновая функция базового набора участвует в реальной волновой функции системы. Обозначим квадрат этой амплитуды через p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ). Цель состоит в том, чтобы превратить эту величину p в классическую функцию плотности в фазовом пространстве. Нам нужно проверить, что p переходит в функцию плотности в классическом пределе и обладает эргодическими свойствами. После проверки того, что p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) является константой движения, эргодическое предположение для вероятностей p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) делает p функцией от только энергия.

После этой процедуры, наконец, приходим к формализму матрицы плотности при поиске формы, в которой p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) инвариантно относительно используемого представления. В той форме, в которой оно записано, оно даст правильные средние значения только для величин, диагональных относительно квантовых чисел n ₁ , n ₂ , ..., n _N .

Ожидаемые значения операторов, которые не являются диагональными, включают фазы квантовых амплитуд. Предположим, мы кодируем квантовые числа n ₁ , n ₂ , ..., n _N в один индекс i или j . Тогда наша волновая функция имеет вид

${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\sum _{i}a_{i}\left|\psi _{i}\right\rangle .}$

Среднее значение оператора B , который не является диагональным в этих волновых функциях, поэтому

${\displaystyle \left\langle B\right\rangle =\sum _{i,j}a_{i}^{*}a_{j}\left\langle i\right|B\left|j\right\rangle .}$

Таким образом , роль, первоначально отведенную величинам, берет на себя матрица плотности системы S. ${\displaystyle \left|a_{i}\right|^{2}}$

${\displaystyle \left\langle j\right|\rho \left|i\right\rangle =a_{j}a_{i}^{*}.}$

Следовательно, 〈B〉 читается

${\displaystyle \left\langle B\right\rangle =\operatorname {tr} (\rho B).}$

Инвариантность указанного выше члена описывается теорией матриц. След инвариантен относительно циклических перестановок, и обе матрицы ρ и B могут быть преобразованы в любой удобный базис, обычно в базис собственных векторов. Путем циклических перестановок матричного произведения можно увидеть, что возникает единичная матрица, и поэтому изменение базиса не повлияет на след. Была описана математическая основа, в которой математическое ожидание квантовых операторов, описываемое матрицами, получается путем взятия следа произведения оператора плотности и оператора (скалярного произведения Гильберта между операторами). Матричный формализм здесь находится в рамках статистической механики, хотя он применим и для конечных квантовых систем, что обычно имеет место, когда состояние системы не может быть описано в чистом состоянии , а как статистический оператор вышеуказанного вида . Математически это положительно-полуопределенная эрмитова матрица с единичным следом. ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

Определение

Учитывая матрицу плотности ρ , фон Нейман определил энтропию ^{[5] [6]} как

${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),}$

что является правильным расширением энтропии Гиббса (с точностью до фактора k _B ) и энтропии Шеннона на квантовый случай. Для вычисления S ( ρ ) удобно (см. логарифм матрицы ) вычислить собственное разложение . Энтропия фон Неймана тогда определяется выражением ${\displaystyle ~\rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|}$

${\displaystyle S(\rho )=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.}$

Характеристики

Некоторые свойства энтропии фон Неймана:

• S ( ρ ) равно нулю тогда и только тогда, когда ρ представляет чистое состояние.
• S ( ρ ) максимально и равнодля максимально смешанного состояния , N — размерность гильбертова пространства . ${\displaystyle \ln N}$
• S ( ρ ) инвариантен относительно изменений базиса ρ , то есть S ( ρ ) = S ( UρU ^† ) , где U — унитарное преобразование.
• S ( ρ ) является вогнутым, то есть для данного набора положительных чисел λ _i , сумма которых равна единице (), и операторов плотности ρ _i , мы имеем ${\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1}$

${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\geq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i}).}$

• S ( ρ ) удовлетворяет оценке

${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\leq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i})-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

где равенство достигается, если ρ _i имеет ортогональный носитель, и, как и прежде, ρ _i являются операторами плотности, а λ _i представляет собой набор положительных чисел, сумма которых равна единице ( ) ${\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1}$

• S ( ρ ) аддитивна для независимых систем. Учитывая две матрицы плотности ρ _A , ρ _{B ,} описывающие независимые системы A и B , мы имеем

${\displaystyle S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})}$.

• S ( ρ ) сильно субаддитивна для любых трёх систем A , B и C :

${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$

Это автоматически означает, что S ( ρ ) субаддитивна:

${\displaystyle S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{C}).}$

Ниже обсуждается понятие субаддитивности с последующим его обобщением на случай сильной субаддитивности.

Субаддитивность

Если ρ _A , ρ _B — приведенные матрицы плотности общего состояния ρ _AB , то

${\displaystyle \left|S(\rho _{A})-S(\rho _{B})\right|\leq S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).}$

Это правое неравенство известно как субаддитивность . Два неравенства вместе иногда называют неравенством треугольника . Они были доказаны в 1970 году Хузихиро Араки и Эллиотом Х. Либом . ^[7] Если в теории Шеннона энтропия сложной системы никогда не может быть ниже энтропии любой из ее частей, то в квантовой теории это не так, т. е. возможно, что S ( ρ _AB ) = 0 , при этом S ( ρ _А ) знак равно S ( ρ _B ) > 0 .

Интуитивно это можно понять так: В квантовой механике энтропия совместной системы может быть меньше суммы энтропии ее компонентов, поскольку компоненты могут быть запутаны . Например, как видно явно, состояние Белла с двумя спинами ½,

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle ,}$

является чистым состоянием с нулевой энтропией, но каждый спин имеет максимальную энтропию, если рассматривать его индивидуально в его приведенной матрице плотности . ^[8] Энтропию одного спина можно «отменить», коррелируя с энтропией другого. Левое неравенство можно грубо интерпретировать как утверждение, что энтропию можно устранить только равным количеством энтропии.

Если система A и система B имеют разное количество энтропии, меньшая может лишь частично компенсировать большую, и некоторая энтропия должна остаться. Аналогично, правое неравенство можно интерпретировать как утверждение, что энтропия сложной системы максимальна, когда ее компоненты некоррелированы, и в этом случае общая энтропия представляет собой просто сумму субэнтропий. Это может быть более интуитивно понятным в формулировке фазового пространства вместо формулы в гильбертовом пространстве, где энтропия Фон Неймана равна минус ожидаемому значению ★ -логарифма функции Вигнера , − ∫ f ★ ​​log _★ f  dx  dp , вплоть до смещенный сдвиг. ^[6] До этого сдвига смещения нормализации энтропия мажорируется энтропией своего классического предела .

Сильная субаддитивность

Энтропия фон Неймана также сильно субаддитивна . Учитывая три гильбертовых пространства , A , B , C ,

${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$

Это более сложная теорема, и она была впервые доказана Дж. Кифером в 1959 году ^{[9] [10]} и независимо Эллиотом Х. Либом и Мэри Бет Рускай в 1973 году ^[11] с использованием матричного неравенства Эллиота Х. Либа ^{[12] ]} было доказано в 1973 году. Используя технику доказательства, которая устанавливает левую часть приведенного выше неравенства треугольника, можно показать, что сильное неравенство субаддитивности эквивалентно следующему неравенству.

${\displaystyle S(\rho _{A})+S(\rho _{C})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})}$

когда ρ _AB и т. д. являются приведенными матрицами плотности матрицы плотности ρ _ABC . Если мы применим обычную субаддитивность к левой части этого неравенства и рассмотрим все перестановки A , B , C , мы получим неравенство треугольника для ρ _ABC : Каждое из трех чисел S ( ρ _AB ), S ( ρ _BC ), S ( ρAC ₎ меньше или равна сумме двух других .

Грубое зернение

Поскольку для чистого состояния матрица плотности идемпотентна , ρ = ρ2 , энтропия ^S ( ρ ) для нее равна нулю. Таким образом, если система конечна (конечномерное матричное представление), энтропия S ( ρ ) количественно определяет выход системы из чистого состояния . Другими словами, он кодифицирует степень перемешивания состояний, описывающих данную конечную систему.

Измерение декогерирует квантовую систему в нечто неинтерферирующее и якобы классическое ; так, например, исчезающая энтропия чистого состояния , соответствующая матрице плотности ${\displaystyle \Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \rho ={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

увеличивается до для смеси результатов измерения ${\displaystyle S=\ln 2\approx 0.69}$

${\displaystyle \rho ={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

поскольку информация о квантовой интерференции стирается.

Однако если измерительное устройство также является квантовомеханическим, и оно также изначально находится в чистом состоянии, то объединенная система устройство-система представляет собой просто большую квантовую систему. Поскольку он начинается в чистом состоянии, он также оказывается в чистом состоянии, и поэтому энтропия фон Неймана никогда не увеличивается. Проблему можно решить, используя идею грубой зернистости .

Конкретно, пусть система будет кубитом, а измерительным устройством — другой кубит. Измерительный прибор запускается в состоянии. Процесс измерения представляет собой вентиль CNOT , так что мы имеем , . То есть, если система запускается в чистом состоянии 1, то после измерения измерительное устройство также находится в чистом состоянии 1. ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|0\right\rangle \left|0\right\rangle \mapsto \left|0\right\rangle \left|0\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|1\right\rangle \left|0\right\rangle \mapsto \left|1\right\rangle \left|1\right\rangle }$

Теперь, если система запускается в состоянии, то после измерения объединенная система находится в состоянии Белла . Энтропия vN совместной системы по-прежнему равна 0, поскольку она все еще находится в чистом состоянии. Однако если мы приблизим систему, измерив энтропию vN только устройства, затем только кубита, а затем сложим их вместе, мы получим . ${\displaystyle \Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (\left|0\right\rangle \left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle \left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2\ln 2}$

По субаддитивности, то есть любой способ крупнозернистости всей системы на части будет равен или увеличит энтропию vN. ${\displaystyle S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B})}$

Смотрите также

• Энтропия (теория информации)
• Линейная энтропия
• Статистическая сумма (математика)
• Квантовая условная энтропия
• Квантовая относительная энтропия
• Квантовая взаимная информация
• Квантовая запутанность
• Сильная субаддитивность квантовой энтропии.
• Энтропия Верля

Рекомендации

1. Бенгтссон, Ингемар; Зычковский, Кароль. Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность (1-е изд.). п. 301.
2. Нильсен, Майкл А. и Исаак Чуанг (2001). Квантовые вычисления и квантовая информация (Отв. ред.). Кембридж [ua]: Cambridge Univ. Нажимать. п. 700. ИСБН 978-0-521-63503-5.
3. Фон Нейман, Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-59207-5.; Фон Нейман, Джон (1955). Математические основы квантовой механики . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-02893-4.
4. Ландау, Л. (1927). «Проблема Daempfungs в Wellenmechanik». Zeitschrift für Physik . 45 (5–6): 430–464. Бибкод : 1927ZPhy...45..430L. дои : 10.1007/BF01343064. S2CID  125732617.
5. Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность, Ингемар Бенгтссон, Кароль Жичковски, стр. 301
6. Захос, CK (2007). «Классическая граница квантовой энтропии». Физический журнал A: Математический и теоретический . 40 (21): Ф407–Ф412. arXiv : hep-th/0609148 . Бибкод : 2007JPhA...40..407Z. дои : 10.1088/1751-8113/40/21/F02. S2CID  1619604.
7. Араки, Хузихиро ; Либ, Эллиот Х. (1970). «Энтропийные неравенства». Связь в математической физике . 18 (2): 160–170. Бибкод : 1970CMaPh..18..160A. дои : 10.1007/BF01646092. S2CID  189832417.
8. Зурек, WH (2003). «Декогеренция, энселекция и квантовое происхождение классики». Обзоры современной физики . 75 (3): 715–775. arXiv : Quant-ph/0105127 . Бибкод : 2003RvMP...75..715Z. doi : 10.1103/RevModPhys.75.715. S2CID  14759237.
9. Кифер, Дж. (июль 1959 г.). «Оптимальные экспериментальные планы». Журнал Королевского статистического общества, серия B (методологический) . 21 (2): 272–310. doi :10.1111/j.2517-6161.1959.tb00338.x.
10. Рускай, Мэри Бет. «Эволюция фундаментальной [sic] теоремы о квантовой энтропии». youtube.com . Всемирная научная. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г. Проверено 20 августа 2020 г. Приглашенный доклад на конференции в честь 90-летия Фримена Дайсона, Институт перспективных исследований Наньянского технологического университета, Сингапур, 26–29 августа 2013 г. Заметка о Кифере (1959) находится на отметке 26:40.
11. Либ, Эллиот Х .; Рускай, Мэри Бет (1973). «Доказательство сильной субаддитивности квантово-механической энтропии». Журнал математической физики . 14 (12): 1938–1941. Бибкод : 1973JMP....14.1938L. дои : 10.1063/1.1666274 .
12. Либ, Эллиот Х. (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона». Достижения в математике . 11 (3): 267–288. дои : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .