В математике выражение или математическое выражение — это конечная комбинация символов , которая правильно сформирована в соответствии с правилами, зависящими от контекста. Математические символы могут обозначать числа ( константы ), переменные , операции , функции , скобки , знаки препинания и группировки, помогающие определить порядок операций и другие аспекты логического синтаксиса .
Многие авторы отличают выражение от формулы : первое обозначает математический объект , а второе — утверждение о математических объектах. [ необходима цитация ] Например, это выражение, а это формула. Однако в современной математике, и в частности в компьютерной алгебре , формулы рассматриваются как выражения, которые могут быть оценены как истинные или ложные , в зависимости от значений, присвоенных переменным, встречающимся в выражениях. Например, принимает значение false , если x присвоено значение меньше –1, и значение true в противном случае.
Использование выражений варьируется от простого:
в комплекс:
Выражение – это синтаксическая конструкция. Он должен быть правильно сформирован : разрешенные операторы должны иметь правильное количество входных данных в правильных местах, символы, составляющие эти входные данные, должны быть допустимыми, иметь четкий порядок операций и т. д. Строки символов, нарушающие правила синтаксис неправильно сформирован и не является допустимым математическим выражением.
Например, в обычных обозначениях арифметики выражение 1 + 2×3 является корректным, а следующее выражение — нет :
Семантика – это изучение значения. Формальная семантика – это придание значения выражениям.
В алгебре выражение может использоваться для обозначения значения, которое может зависеть от значений, присвоенных переменным, встречающимся в выражении. Определение этого значения зависит от семантики , придаваемой символам выражения. Выбор семантики зависит от контекста выражения. Одно и то же синтаксическое выражение 1 + 2 × 3 может иметь разные значения (математически 7, но также и 9), в зависимости от порядка операций, подразумеваемого контекстом (См. также Операции § Калькуляторы ).
Семантические правила могут заявлять, что определенные выражения не обозначают никакого значения (например, когда они включают деление на 0); Говорят, что такие выражения имеют неопределенное значение, но, тем не менее, они являются правильно сформированными выражениями. В целом значение выражений не ограничивается обозначением значений; например, выражение может обозначать условие или уравнение , которое необходимо решить, или его можно рассматривать как отдельный объект, которым можно манипулировать в соответствии с определенными правилами. Определенные выражения, обозначающие значение, одновременно выражают условие, которое предположительно выполняется, например выражения, включающие оператор для обозначения внутренней прямой суммы .
Формальные языки позволяют формализовать концепцию правильно сформированных выражений.
В 1930-х годах Алонзо Черч и Стивен Клини ввели новый тип выражений, названный лямбда-выражениями , для формализации функций и их оценки. Они составляют основу лямбда-исчисления — формальной системы , используемой в математической логике и теории языков программирования .
Эквивалентность двух лямбда-выражений неразрешима . Это также относится к выражениям, представляющим действительные числа, которые строятся из целых чисел с помощью арифметических операций, логарифма и экспоненты ( теорема Ричардсона ).
Многие математические выражения включают переменные . Любую переменную можно классифицировать как свободную или связанную переменную .
Для заданной комбинации значений свободных переменных выражение может быть вычислено, хотя для некоторых комбинаций значений свободных переменных значение выражения может быть неопределенным. Таким образом, выражение представляет собой функцию , входные данные которой являются значениями, присвоенными свободным переменным, а выходные данные — результирующее значение выражения. [ нужна цитата ]
Например, выражение
оценено для x = 10, y = 5, даст 2; но он не определен для y = 0.
Оценка выражения зависит от определения математических операторов и от системы значений, которая является его контекстом.
Два выражения называются эквивалентными, если для каждой комбинации значений свободных переменных они имеют одинаковый результат, т. е. представляют одну и ту же функцию. Пример:
Выражение
имеет свободную переменную x , связанную переменную n , константы 1, 2 и 3, два вхождения неявного оператора умножения и оператора суммирования. Выражение эквивалентно более простому выражению 12 x . Значение для x = 3 равно 36.
