В математике эргодические потоки встречаются в геометрии через геодезические и орициклические потоки замкнутых гиперболических поверхностей . Оба этих примера были поняты в терминах теории унитарных представлений локально компактных групп : если Γ — фундаментальная группа замкнутой поверхности , рассматриваемая как дискретная подгруппа группы Мёбиуса G = PSL(2, R ) , то геодезический и орициклический поток можно отождествить с естественными действиями подгрупп A действительных положительных диагональных матриц и N нижних унитреугольных матриц на единичном касательном расслоении G / Γ. Теорема Амброуза-Какутани выражает каждый эргодический поток как поток, построенный из обратимого эргодического преобразования на пространстве с мерой с использованием функции потолка. В случае геодезического потока эргодическое преобразование можно понять в терминах символической динамики ; и в терминах эргодических действий Γ на границе S 1 = G / AN и G / A = S 1 × S 1 \ diag S 1. Эргодические потоки также естественным образом возникают как инварианты в классификации алгебр фон Неймана : поток весов для фактора типа III 0 является эргодическим потоком на пространстве с мерой .
Метод, использующий теорию представлений, опирается на следующие два результата: [1]
(1) Как топологическое пространство, однородное пространство X = G / N можно отождествить с R 2 \ {0 } со стандартным действием G как матриц размера 2 × 2. Подгруппа N имеет два вида орбит: орбиты, параллельные оси x с y ≠ 0 ; и точки на оси x . Непрерывная функция на X , которая постоянна на N -орбитах, должна, следовательно, быть постоянной на вещественной оси с удаленным началом координат. Таким образом, матричный коэффициент ψ( x ) = ( x ξ,ξ) удовлетворяет ψ( g ) = 1 для g в A · N . В силу унитарности, || g ξ − ξ || 2 = 2 − ψ( g ) − ψ( g –1 ) = 0 , так что g ξ = ξ для всех g в B = A · N = N · A . Теперь пусть s будет матрицей . Тогда, как легко проверить, двойной смежный класс BsB плотен в G ; это частный случай разложения Брюа . Поскольку ξ фиксировано B , матричный коэффициент ψ( g ) постоянен на BsB . По плотности, ψ( g ) = 1 для всех g в G . Тот же аргумент, что и выше, показывает, что g ξ = ξ для всех g в G .
(2) Предположим, что ξ фиксировано A . Для унитарной 1-параметрической группы N ≅ R пусть P [ a , b ] будет спектральным подпространством, соответствующим интервалу [ a , b ] . Пусть g ( s ) будет диагональной матрицей с элементами s и s −1 для | s | > 1 . Тогда g ( s ) P [ a , b ] g ( s ) −1 = P [ s 2 a , s 2 a ] . Когда | s | стремится к бесконечности, последние проекции стремятся к 0 в сильной операторной топологии, если 0 < a < b или a < b < 0 . Поскольку g ( s )ξ = ξ , то P [ a , b ]ξ = 0 в любом случае. По спектральной теореме следует, что ξ находится в спектральном подпространстве P ({0}) ; Другими словами, ξ фиксируется N. Но тогда, согласно первому результату, ξ должно быть зафиксировано G.
Классические теоремы Густава Хедлунда начала 1930-х годов утверждают эргодичность геодезических и орициклических потоков, соответствующих компактным римановым поверхностям постоянной отрицательной кривизны. Теорему Хедлунда можно переосмыслить в терминах унитарных представлений G и ее подгрупп. Пусть Γ — кокомпактная подгруппа PSL(2, R ) = G / {± I }, для которой все нескалярные элементы являются гиперболическими. Пусть X = Γ \ G / K , где K — подгруппа вращений . Единичное касательное расслоение — это SX = Γ \ G , причем геодезический поток задается правым действием A , а орициклический поток — правым действием N . Это действие эргодично, если L ∞ (Γ \ G ) A = C , т. е. функции, фиксируемые A, являются просто постоянными функциями. Так как Γ \ G компактен, это будет иметь место, если L 2 (Γ \ G ) A = C . Пусть H = L 2 (Γ \ G ) . Таким образом, G действует унитарно на H справа. Любое ненулевое ξ в H , зафиксированное A, должно быть зафиксировано G , согласно второму результату выше. Но в этом случае, если f является непрерывной функцией на G с компактным носителем с ∫ f = 1 , то ξ = ∫ f ( g ) g ξ dg . Правая часть равна ξ ∗ f , непрерывной функции на G . Так как ξ является правоинвариантной относительно G , то ξ является постоянной, что и требовалось. Следовательно, геодезический поток эргодичен. Заменяя A на N и используя первый результат выше, то же самое рассуждение показывает, что поток орицикла эргодичен.
Примеры потоков, индуцированных несингулярными обратимыми преобразованиями пространств мер, были определены фон Нейманом (1932) в его теоретико-операторном подходе к классической механике и эргодической теории . Пусть T — несингулярное обратимое преобразование ( X ,μ), приводящее к автоморфизму τ пространства мер ( X × R ,μ × m ), где m — мера Лебега, и, следовательно, автоморфизм τ ⊗ id пространства мер (A ⊗ L ∞ ( R ) . Трансляция L t определяет поток на R, сохраняющий m , и , следовательно, поток λ t на L ∞ ( R ) . Пусть S = L 1 с соответствующим автоморфизмом σ пространства L ∞ ( R ) . Таким образом, τ ⊗ σ дает автоморфизм A ⊗ L ∞ ( R ), который коммутирует с потоком id ⊗ λ t . Индуцированное мерное пространство Y определяется как B = L ∞ ( Y ) = L ∞ ( X × R ) τ ⊗ σ , функции, зафиксированные автоморфизмом τ ⊗ σ. Оно допускает индуцированный поток , заданный ограничением id ⊗ λ t на B . Поскольку λ t действует эргодически на L ∞ ( R ), отсюда следует, что функции, зафиксированные потоком, можно отождествить с L ∞ ( X ) τ . В частности, если исходное преобразование эргодично, поток, который оно индуцирует, также эргодичен.
Индуцированное действие также может быть описано в терминах унитарных операторов, и именно этот подход проясняет обобщение на специальные потоки, т. е. потоки, построенные под потолочными функциями. Пусть R — преобразование Фурье на L 2 ( R , m ), унитарный оператор такой, что R λ( t ) R ∗ = V t , где λ( t ) — это сдвиг на t , а V t — умножение на e itx . Таким образом, V t лежит в L ∞ ( R ). В частности, V 1 = R S R ∗ . Потолочная функция h — это функция из A с h ≥ ε1 с ε > 0. Тогда e ihx дает унитарное представление R в A , непрерывное в сильной операторной топологии и, следовательно, унитарный элемент W из A ⊗ L ∞ ( R ), действующий на L 2 ( X ,μ) ⊗ L 2 ( R ). В частности, W коммутирует с I ⊗ V t . Поэтому W 1 = ( I ⊗ R ∗ ) W ( I ⊗ R ) коммутирует с I ⊗ λ( t ). Действие T на L ∞ ( X ) индуцирует унитарное U на L 2 ( X ) с помощью квадратного корня производной Радона-Никодима от μ ∘ T относительно μ. Индуцированная алгебра B определяется как подалгебра алгебры A ⊗ L ∞ ( R ), коммутирующая с T ⊗ S . Индуцированный поток σ t задается формулой σ t ( b ) = ( I ⊗ λ( t )) b ( I ⊗ λ(− t )) .
Специальный поток, соответствующий функции потолка h с базовым преобразованием T , определен на алгебре B ( H ), заданной элементами в A ⊗ L ∞ ( R ), коммутирующими с ( T ⊗ I ) W 1 . Индуцированный поток соответствует функции потолка h ≡ 1, постоянной функции. Снова W 1 , и, следовательно, ( T ⊗ I ) W 1 , коммутирует с I ⊗ λ( t ). Специальный поток на B ( H ) снова задается как σ t ( b ) = ( I ⊗ λ( t )) b ( I ⊗ λ(− t )) . Те же рассуждения, что и для индуцированных действий, показывают, что функции, фиксируемые потоком, соответствуют функциям в A, фиксируемым σ, так что специальный поток эргодичен, если исходное невырожденное преобразование T эргодично.
Если S t — эргодический поток на пространстве с мерой ( X ,μ), соответствующий 1-параметрической группе автоморфизмов σ t множества A = L ∞ ( X ,μ), то по разложению Хопфа либо каждый S t с t ≠ 0 является диссипативным, либо каждый S t с t ≠ 0 является консервативным. В диссипативном случае эргодический поток должен быть транзитивным, так что A можно отождествить с L ∞ ( R ) относительно меры Лебега и R, действующего посредством переноса.
Чтобы доказать результат для диссипативного случая, отметим, что A = L ∞ ( X ,μ) является максимальной абелевой алгеброй фон Неймана, действующей в гильбертовом пространстве L 2 ( X ,μ). Вероятностная мера μ может быть заменена эквивалентной инвариантной мерой λ, и существует проекция p в A такая, что σ t ( p ) < p при t > 0 и λ( p – σ t ( p )) = t . В этом случае σ t ( p ) = E ([ t ,∞)), где E является проекционнозначной мерой на R . Эти проекции порождают подалгебру фон Неймана B алгебры A . По эргодичности σ t ( p ) 1 при t, стремящемся к −∞. Гильбертово пространство L 2 ( X ,λ) можно отождествить с пополнением подпространства f в A с λ(| f | 2 ) < ∞. Подпространство, соответствующее B, можно отождествить с L 2 ( R ), а B — с L ∞ ( R ). Поскольку λ инвариантно относительно S t , оно реализуется унитарным представлением U t . По теореме Стоуна–фон Неймана для ковариантной системы B , U t гильбертово пространство H = L 2 ( X ,λ) допускает разложение L 2 ( R ) ⊗ , где B и U t действуют только на первый тензорный множитель. Если есть элемент a из A, не в B , то он лежит в коммутанте B ⊗ C , т. е. в B ⊗ B( ). Таким образом, его можно реализовать как матрицу с элементами в B . Умножая на χ [ r , s ] в B , можно считать, что элементы a находятся в L ∞ ( R ) ∩ L 1 ( R ). Для таких функций f , как элементарный случай эргодической теоремы, среднее значение σ t ( f ) по [− R , R ] стремится в слабой операторной топологии к ∫ f ( t ) dt . Следовательно, для подходящего χ [ r , s ] это даст элемент в A , который лежит в C ⊗ B( ) и не кратен 1 ⊗ I . Но такой элемент коммутирует с U t , поэтому фиксируется σ t , что противоречит эргодичности. Следовательно, A = B = L ∞ ( R ).
Когда все σ t с t ≠ 0 консервативны, поток называется собственно эргодическим . В этом случае следует, что для любого ненулевого p в A и t ≠ 0, p ≤ σ t ( p ) ∨ σ 2 t ( p ) ∨ σ 3 t ( p ) ∨ ⋅⋅⋅ В частности, ∨ ± t >0 σ t ( p ) = 1 для p ≠ 0.
Теорема утверждает, что каждый эргодический поток изоморфен специальному потоку, соответствующему функции потолка с эргодическим базовым преобразованием. Если поток оставляет вероятностную меру инвариантной, то же самое верно и для базового преобразования.
Для простоты рассматривается только исходный результат Амброуза (1941), случай эргодического потока, сохраняющего вероятностную меру μ . Пусть A = L ∞ ( X ,μ) и пусть σ t будет эргодическим потоком. Поскольку поток консервативен, для любой проекции p ≠ 0, 1 в A существует T > 0 без σ T ( p ) ≤ p , так что (1 − p ) ∧ σ T ( p ) ≠ 0 . С другой стороны, когда r > 0 уменьшается до нуля
в топологии сильного оператора или, что эквивалентно, топологии слабого оператора (эти топологии совпадают на унитариях, следовательно, инволюциях, следовательно, проекциях). Действительно, достаточно показать, что если ν — любая конечная мера на A , то ν( a r ) стремится к ν( p ). Это следует из того, что f ( t ) = ν(σ t ( p )) — непрерывная функция t , так что среднее значение f по [0, r ] стремится к f (0), когда r стремится к 0. [2]
Обратите внимание, что 0 ≤ a r ≤ 1. Теперь для фиксированного r > 0, следуя Амброузу (1941), положим
Положим r = N –1 для больших N и f N = a r . Таким образом, 0 ≤ f N ≤ 1 в L ∞ ( X ,μ) и f N стремится к характеристической функции p в L 1 ( X ,μ). Но тогда, если ε = 1/4, то χ [0,ε] ( f N ) стремится к χ [0,ε] ( p ) = 1 – p в L 1 ( X ). [3] Используя расщепление A = pA ⊕ (1 − p ) A , это сводится к доказательству того, что если 0 ≤ h N ≤ 1 в L ∞ ( Y ,ν) и h N стремится к 0 в L 1 ( Y ,ν), то χ [1−ε,1] ( h N ) стремится к 0 в L 1 ( Y ,ν). Но это легко следует из неравенства Чебышева : действительно, (1−ε) χ [1−ε,1] ( h N ) ≤ h N , так что ν(χ [1−ε,1] ( h N )) ≤ (1−ε) −1 ν( h N ) , что по предположению стремится к 0.
Таким образом, по определению q 0 ( r ) ∧ q 1 ( r ) = 0. Более того, для r = N −1 достаточно малого, q 0 ( r ) ∧ σ T ( q 1 ( r )) > 0. Приведенные выше рассуждения показывают, что q 0 ( r ) и q 1 ( r ) стремятся к 1 − p , а p при r = N −1 стремится к 0. Это означает, что q 0 ( r )σ T ( q 1 ( r )) стремится к (1 − p )σ T ( p ) ≠ 0, поэтому не равен нулю для достаточно большого N. Фиксируя одно такое N и, при r = N −1 , устанавливая q 0 = q 0 ( r ) и q 1 = q 1 ( r ), можно поэтому предположить, что
Из определения q 0 и q 1 также следует, что если δ < r /4 = (4 N ) −1 , то
На самом деле, если s < t
Возьмем s = 0, так что t > 0, и предположим, что e = σ t ( q 0 ) ∧ q 1 > 0. Итак, e = σ t ( f ) с f ≤ q 0. Тогда σ t ( a r ) e = σ t ( a r f ) ≤ 1/4 e и a r e ≥ 3/4 e , так что
Следовательно, || a r − σ t ( a r )|| ∞ ≥ 1/2. С другой стороны, || a r − σ t ( a r )|| ∞ ограничено сверху величиной 2 t / r , так что t ≥ r /4. Следовательно, σ t ( q 0 ) ∧ q 1 = 0, если | t | ≤ δ.
Элементы a r непрерывно зависят в операторной норме от r на (0,1]; из вышесказанного σ t ( a r ) является нормой, непрерывной по t . Пусть B 0 замыкание в операторной норме унитальной *-алгебры, порожденной σ t ( a r ). Она коммутативна и сепарабельна, поэтому по теореме Гельфанда–Наймарка ее можно отождествить с C ( Z ), где Z — ее спектр , компактное метрическое пространство. По определению B 0 является подалгеброй A , а ее замыкание B в слабой или сильной операторной топологии можно отождествить с L ∞ ( Z ,μ), где μ также используется для ограничения μ на B . Подалгебра B инвариантна относительно потока σ t , который, следовательно, эргодичен. Анализ этого действия на B 0 и B дает все инструменты, необходимые для построения эргодического преобразования T и функции потолка h . Это сначала будет выполнено для B (так что A будет временно считаться совпадающим с B ) , а затем позже распространено на A. [4]
Проекции q 0 и q 1 соответствуют характеристическим функциям открытых множеств. X 0 и X 1 Предположение о надлежащей эргодичности подразумевает, что объединение любого из этих открытых множеств при переносе на σ t , когда t пробегает положительные или отрицательные действительные числа, является коннулевым (т.е. дополнение имеет меру ноль). Заменив X на их пересечение, открытое множество, можно предположить, что эти объединения исчерпывают все пространство (которое теперь будет локально компактным, а не компактным). Поскольку поток рекуррентен, любая орбита σ t проходит через оба множества бесконечно много раз, когда t стремится либо к +∞, либо к −∞. Между заклинанием сначала в X 0 , а затем в X 1 f должна принимать значение 1/2, а затем 3/4. Последний раз, когда f равна 1/2, до первого раза, когда она равна 3/4, должен включать изменение t по крайней мере на δ/4 по условию непрерывности Липшица. Следовательно, каждая орбита должна пересекать множество Ω точек x , для которых f ( x ) = 1/2, f (σ t ( x )) > 1/2 для 0 < t ≤ δ/4 бесконечно часто. Определение подразумевает, что различные вхождения ? с орбитой разделены расстоянием не менее δ/4, поэтому Ω пересекает каждую орбиту только счетное число раз, а пересечения происходят в неопределенно большие отрицательные и положительные моменты времени. Таким образом, каждая орбита разбивается на счетное число полуоткрытых интервалов [ r n ( x ), r n +1 ( x )) длиной не менее δ/4, причем r n ( x ) стремится к ±∞, когда n стремится к ±∞. Это разбиение можно нормализовать так, что r 0 ( x ) ≤ 0 и r 1 ( x ) > 0. В частности, если x лежит в Ω, то t 0 = 0. Функция r n ( x ) называется n-м временем возврата в Ω .
Сечение Ω является борелевским множеством, поскольку на каждом компактном множестве {σ t ( x )} с t из [ N −1 ,δ/4] с N > 4/δ функция g ( t ) = f (σ t ( x )) имеет инфимум, больший 1/2 + M −1 для достаточно большого целого числа M . Следовательно, Ω можно записать как счетное пересечение множеств, каждое из которых является счетным объединением замкнутых множеств; поэтому Ω является борелевским множеством. Это подразумевает, в частности, что функции r n являются борелевскими функциями на X . При заданном y в Ω обратимое борелевское преобразование T определяется на Ω как S ( y ) = σ t ( y ), где t = r 1 ( y ), первое время возврата в Ω. Функции r n ( y ) ограничиваются борелевскими функциями на Ω и удовлетворяют соотношению коцикла:
где τ — автоморфизм, индуцированный T. Число попаданий N t ( x ) для потока S t на X определяется как целое число N такое, что t лежит в [ r N ( x ), r N +1 ( x )). Это целочисленная функция Бореля на R × X, удовлетворяющая тождеству коцикла
Функция h = r 1 является строго положительной борелевской функцией на Ω, поэтому формально поток может быть восстановлен из преобразования T с использованием функции потолка h . Отсутствующий T -инвариантный класс мер на Ω будет восстановлен с использованием второго коцикла N t . Действительно, дискретная мера на Z определяет класс мер на произведении Z × X , а поток S t на втором множителе расширяется до потока на произведении, заданном как
Аналогично базовое преобразование T индуцирует преобразование R на R × Ω, определяемое формулой
Эти преобразования связаны обратимым изоморфизмом Бореля Φ из R × Ω на Z × X , определяемым соотношением
Его обратный Ψ из Z × X на R × Ω определяется как
При этих отображениях поток R t переносится на перенос по t на первый множитель R × Ω и, в другом направлении, обратимый R переносится на перенос по -1 на Z × X. Достаточно проверить, что класс меры на Z × X переносится на тот же класс меры, что и некоторая мера m × ν на R × Ω, где m — мера Лебега, а ν — вероятностная мера на Ω с классом меры, инвариантным относительно T. Класс меры на Z × X инвариантен относительно R , поэтому определяет класс меры на R × Ω, инвариантный относительно переноса на первый множитель . С другой стороны, единственный класс меры на R, инвариантный относительно переноса, — это мера Лебега, поэтому класс меры на R × Ω эквивалентен классу m × ν для некоторой вероятностной меры на Ω. По построению ν квазиинвариантна относительно T. Раскрывая эту конструкцию, следует, что исходный поток изоморфен потоку, построенному под функцией потолка h для базового преобразования T на (Ω,ν). [5] [6] [7]
Приведенные выше рассуждения были сделаны с предположением, что B = A . В общем случае A заменяется замкнутой по норме отделимой унитальной *-подалгеброй A 0 , содержащей B 0 , инвариантной относительно σ t и такой, что σ t ( f ) является непрерывной по норме функцией t для любого f из A 0 . Чтобы построить A 0 , сначала возьмем порождающий набор для алгебры фон Неймана A , образованный счетным числом проекций, инвариантных относительно σ t с t рациональным. Заменим каждую из этого счетного набора проекций средними по интервалам [0, N −1 ] относительно σ t . Замкнутая по норме унитальная *-алгебра, которую они порождают, дает A 0 . По определению она содержит B 0 = C( Y ). По теореме Гельфанда-Наймарка A 0 имеет вид C( X ). Конструкция с r выше применима здесь в равной степени: действительно, поскольку B 0 является подалгеброй A 0 , Y является непрерывным фактором X , поэтому такая функция, как r , в равной степени является функцией на X . Таким образом, конструкция переносится mutatis mutandis на A , через фактор-карту.
Подводя итог, можно сказать, что существует мерное пространство ( Y ,λ) и эргодическое действие Z × R на M = L∞ ( Y , λ), заданное коммутирующими действиями τn и σt , такое, что существует τ-инвариантная подалгебра M , изоморфная ( Z ), и σ-инвариантная подалгебра M , изоморфная L∞ ( R ) . Исходный эргодический поток задается ограничением σ на Mτ и соответствующим базовым преобразованием, заданным ограничением τ на Mσ . [8] [9 ]
При наличии потока можно описать, как связаны два различных преобразования с одной базой, которые могут быть использованы для построения потока. [10] может быть преобразовано обратно в действие Z на Y , т. е. в обратимое преобразование T Y на Y . Теоретико-множественное T Y ( x ) определяется как T m ( x ), где m ≥ 1 — наименьшее целое число, такое, что T m ( x ) лежит в X . Легко видеть, что применение того же процесса к обратному T дает обратное T Y . Построение можно описать теоретически следующим образом. Пусть e = χ Y в B = L ∞ ( X ,ν) с ν( e ) ≠ 0. Тогда e — ортогональная сумма проекций e n , определяемая следующим образом:
Тогда, если f лежит в e n B , соответствующий автоморфизм равен τ e ( f ) = τ n ( f ).
При этих определениях два эргодических преобразования τ 1 , τ 2 множеств B 1 и B 2 возникают из одного и того же потока при условии, что существуют ненулевые проекции e 1 и e 2 в B 1 и B 2 такие, что системы (τ 1 ) e 1 , e 1 B 1 и (τ 2 ) e 2 , e 2 B 2 изоморфны.
![{\displaystyle q_{0}(r)=\chi _{[0,1/4]}(a_{r}),\,\,\,q_{1}(r)=\chi _{[3/4,1]}(a_{r}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4cb63bbd3adf715fc911aa15b3a32f996d2499)
