В алгебраической геометрии этальная топология — это топология Гротендика на категории схем , которая имеет свойства, схожие со свойствами евклидовой топологии, но в отличие от евклидовой топологии, она также определена в положительной характеристике. Этальная топология была первоначально введена Александром Гротендиком для определения этальных когомологий , и это до сих пор является наиболее известным применением этальной топологии.
Для любой схемы X пусть Ét( X ) будет категорией всех этальных морфизмов из схемы в X . Это аналог категории открытых подмножеств X (то есть категории, объекты которой являются многообразиями, а морфизмы — открытыми погружениями ). Ее объекты можно неформально рассматривать как этальные открытые подмножества X . Пересечение двух объектов соответствует их послойному произведению над X . Ét( X ) — большая категория, что означает, что ее объекты не образуют множество.
Этальный предпучок на X — это контравариантный функтор из Ét( X ) в категорию множеств. Предпучок F называется этальнм пучком, если он удовлетворяет аналогу обычного условия склеивания для пучков на топологических пространствах. То есть, F является этальным пучком тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие. Предположим, что U → X является объектом Ét( X ) и что U i → U является совместно сюръективным семейством этальных морфизмов над X . Для каждого i выберем сечение x i множества F над U i . Отображение проекции U i × U j → U i , которое, грубо говоря, является включением пересечения U i и U j в U i , индуцирует отображение ограничения F ( U i ) → F ( U i × U j ) . Если для всех i и j ограничения x i и x j на U i × U j равны, то должно существовать единственное сечение x множества F над U , которое ограничивается до x i для всех i .
Предположим, что X — нётерова схема. Абелев этальный пучок F на X называется конечным локально постоянным , если он является представимым функтором, который может быть представлен этальным покрытием X. Он называется конструктивным, если X может быть покрыто конечным семейством подсхем, на каждой из которых ограничение F является конечным локально постоянным. Он называется кручением , если F ( U ) является группой кручения для всех этальных покрытий U множества X. Конечные локально постоянные пучки конструктивны, а конструктивные пучки являются кручением. Каждый торсионный пучок является фильтрованным индуктивным пределом конструктивных пучков.
Гротендик первоначально ввел аппарат топологий и топосов Гротендика для определения этальной топологии. На этом языке определение этальной топологии краткое, но абстрактное: это топология, порожденная предтопологией, чьи покрывающие семейства являются совместно сюръективными семействами этальных морфизмов. Малый этальный сайт X — это категория O ( X ét ), объектами которой являются схемы U с фиксированным этальным морфизмом U → X . Морфизмы — это морфизмы схем, совместимых с фиксированными отображениями в X . Большой этальный сайт X — это категория Ét/ X , то есть категория схем с фиксированным отображением в X , рассматриваемая с этальной топологией.
Этальная топология может быть определена с использованием немного меньшего количества данных. Во-первых, обратите внимание, что этальная топология тоньше топологии Зарисского. Следовательно, чтобы определить этальную оболочку схемы X , достаточно сначала покрыть X открытыми аффинными подсхемами, то есть взять оболочку Зарисского, а затем определить этальную оболочку аффинной схемы. Этальная оболочка аффинной схемы X может быть определена как совместно сюръективное семейство { u α : X α → X } такое, что множество всех α конечно, каждая X α аффинна, а каждая u α этальна. Тогда этальным покрытием X является семейство { u α : X α → X } , которое становится этальным покрытием после замены базы на любую открытую аффинную подсхему X.
Пусть X — схема с ее этальной топологией, и зафиксируем точку x из X. В топологии Зарисского стебель X в x вычисляется путем взятия прямого предела сечений структурного пучка по всем открытым окрестностям Зарисского точки x . В этальной топологии существует строго больше открытых окрестностей x , поэтому правильный аналог локального кольца в x формируется путем взятия предела по строго большему семейству. Правильным аналогом локального кольца в x для этальной топологии оказывается строгая гензелизация локального кольца . [ требуется цитата ] Обычно это обозначается .
![{\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {O}}_{X}[t,t^{-1}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6f26c126d0795eae8bc48f0e14b1eec46a934d)