механизм Козаи

В небесной механике механизм Козаи — это динамическое явление, влияющее на орбиту двойной системы , возмущенной удаленным третьим телом при определенных условиях. Механизм также называется механизмом фон Цайпеля-Козаи-Лидова , Лидова–Козаи , Козаи–Лидова или некоторой комбинацией Козаи, Лидова и/или фон Цайпеля. Его также называют эффектом, колебаниями, циклами или резонансом. Этот эффект заставляет аргумент перицентра орбиты колебаться около постоянного значения , что, в свою очередь, приводит к периодическому обмену между ее эксцентриситетом и наклонением . Процесс происходит в масштабах времени, намного превышающих орбитальные периоды. Он может привести изначально близкую к круговой орбиту к произвольно высокому эксцентриситету и перевернуть изначально умеренно наклоненную орбиту между прямым и ретроградным движением .

Было обнаружено, что эффект является важным фактором, формирующим орбиты нерегулярных спутников планет, транснептуновых объектов , внесолнечных планет и кратных звездных систем . ^[1]^{: v} Он гипотетически способствует слияниям черных дыр . ^[2] Он был описан в 1961 году Михаилом Лидовым при анализе орбит искусственных и естественных спутников планет. ^[3] В 1962 году Ёсихидэ Кодзаи опубликовал этот же результат в применении к орбитам астероидов , возмущенных Юпитером . ^[4] Цитирование статей Кодзаи и Лидова резко возросло в 21 веке. По состоянию на 2017 год ^{[обновлять]}этот механизм является одним из наиболее изученных астрофизических явлений. ^[1]^{: vi} В 2019 году Такаши Ито и Кацухито Оцука отметили, что шведский астроном Эдвард Гуго фон Цайпель также изучал этот механизм в 1909 году, и его имя теперь иногда добавляется. ^[5]

Фон

Гамильтонова механика

В гамильтоновой механике физическая система задаётся функцией, называемой гамильтонианом и обозначаемой , канонических координат в фазовом пространстве . Канонические координаты состоят из обобщённых координат в конфигурационном пространстве и их сопряжённых импульсов , для , для $N$ тел в системе ( для эффекта фон Цайпеля-Козаи-Лидова). Число пар , необходимых для описания данной системы, равно числу её степеней свободы . ${\mathcal {H}}$ $x_{k}$ $p_{k}$ $k=1,...N$ $N=3$ $(x_{k},p_{k})$

Пары координат обычно выбираются таким образом, чтобы упростить вычисления, связанные с решением конкретной задачи. Один набор канонических координат может быть изменен на другой с помощью канонического преобразования . Уравнения движения для системы получаются из гамильтониана через канонические уравнения Гамильтона , которые связывают производные координат по времени с частными производными гамильтониана по сопряженным импульсам.

Задача трех тел

Динамика системы, состоящей из трех тел, действующих под их взаимным гравитационным притяжением, сложна. В общем, поведение трех тел в течение длительных периодов времени чрезвычайно чувствительно к любым незначительным изменениям начальных условий , включая даже небольшие неопределенности в определении начальных условий и ошибки округления в арифметике с плавающей точкой на компьютере . Практическим следствием является то, что задача трех тел не может быть решена аналитически для неопределенного периода времени, за исключением особых случаев. ^[6]^{: 221} Вместо этого численные методы используются для прогнозируемых времен, ограниченных доступной точностью. ^[7]^{: 2, 10}

Механизм Лидова–Козаи является особенностью иерархических тройных систем, ^[8]^{: 86} то есть систем, в которых одно из тел, называемое «возмутителем», расположено далеко от двух других, которые, как говорят, составляют внутреннюю двойную систему . Возмутитель и центр масс внутренней двойной системы составляют внешнюю двойную систему . ^[9]^{: §I} Такие системы часто изучаются с использованием методов теории возмущений для записи гамильтониана иерархической трехчастичной системы в виде суммы двух членов, отвечающих за изолированную эволюцию внутренней и внешней двойной системы, и третьего члена, связывающего две орбиты, ^[9]

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{\rm {in}}+{\mathcal {H}}_{\rm {out}}+{\mathcal {H}}_{\rm {pert}}.

Затем член связи расширяется по порядкам параметра , определяемого как отношение больших полуосей внутренней и внешней бинарной системы и, следовательно, малого в иерархической системе. ^[9] Поскольку ряд возмущений быстро сходится , качественное поведение иерархической трехчастичной системы определяется начальными членами в разложении, называемыми членами квадрупольного ( ), октупольного ( ) и гексадекапольного ( ) порядка, ^[10]^{: 4–5} $\альфа$ $\propto \альфа ^{2}$ $\propto \альфа ^{3}$ $\propto \альфа ^{4}$

{\mathcal {H}}_{\rm {pert}}={\mathcal {H}}_{\rm {quad}}+{\mathcal {H}}_{\rm {oct}}+{\mathcal {H}}_{\rm {hex}}+O(\alpha ^{5}).

Для многих систем удовлетворительное описание находится уже в самом нижнем, квадрупольном порядке в пертурбативном разложении. Октупольный член становится доминирующим в определенных режимах и отвечает за долговременное изменение амплитуды осцилляций Лидова–Козаи. ^[11]

Светское приближение

Механизм Лидова–Козаи является секулярным эффектом, то есть он происходит на временных масштабах, намного больших по сравнению с орбитальными периодами внутренней и внешней двойной системы. Чтобы упростить задачу и сделать ее более поддающейся вычислительной обработке, иерархический трехчастичный гамильтониан может быть секуляризован , то есть усреднен по быстро меняющимся средним аномалиям двух орбит. Благодаря этому процессу задача сводится к задаче двух взаимодействующих массивных проволочных петель. ^[10]^{: 4}

Обзор механизма

Предел тестовых частиц

Простейшая трактовка механизма фон Цайпеля-Лидова-Козаи предполагает, что один из компонентов внутренней двойной звезды, вторичный , является пробной частицей – идеализированным точечным объектом с пренебрежимо малой массой по сравнению с двумя другими телами, первичным и удаленным возмущающим. Эти предположения справедливы, например, в случае искусственного спутника на низкой околоземной орбите , который возмущается Луной , или короткопериодической кометы , которая возмущается Юпитером .

В этих приближениях усредненные по орбите уравнения движения для вторичного компонента имеют сохраняющуюся величину : компоненту орбитального углового момента вторичного компонента, параллельную угловому моменту первичной / возмущающей орбиты. Эта сохраняющаяся величина может быть выражена через эксцентриситет вторичного компонента $e$ и наклон $i$ относительно плоскости внешнего двойного компонента:

L_{\mathrm {z} }={\sqrt {1-e^{2}\;}}\,\cos i=\mathrm {constant}

Сохранение $L$ _$z$ означает, что эксцентриситет орбиты можно «обменять» на наклон. Таким образом, почти круговые, сильно наклоненные орбиты могут стать очень эксцентричными. Поскольку увеличение эксцентриситета при сохранении постоянной большой полуоси уменьшает расстояние между объектами в перицентре , этот механизм может привести к тому, что кометы (возмущаемые Юпитером ) станут касательными к Солнцу .

Осцилляции Лидова–Козаи будут присутствовать, если $L$ _$z$ меньше определенного значения. При критическом значении $L$ _$z$ появляется орбита «фиксированной точки» с постоянным наклоном, заданным формулой

i_{\mathrm {crit} }=\arccos \left({\sqrt {{\frac {3}{5}}\,}}\,\right)\approx 39.2^{\mathsf {o}}

Для значений $L$ _$z$ меньших этого критического значения существует однопараметрическое семейство орбитальных решений, имеющих одинаковое $L$ _$z$ , но разное количество вариаций в $e$ или $i$ . Примечательно, что степень возможной вариации в $i$ не зависит от вовлеченных масс, которые только задают временную шкалу колебаний. ^[12]

Временная шкала

Основная шкала времени, связанная с колебаниями Козаи, составляет ^[12]^{: 575}

T_{\mathrm {Kozai} }=2\pi \,{\frac {\,{\sqrt {G\,M\;}}\,}{G\,m_{2}}}\,{\frac {\,a_{2}^{3}\,}{a^{3/2}}}\left(1-e_{2}^{2}\right)^{3/2}={\frac {\,P_{2}^{2}\,}{P}}\,\left(1-e_{2}^{2}\right)^{3/2}

где $a$ обозначает большую полуось, $P$ — орбитальный период, $e$ — эксцентриситет, а $m$ — масса; переменные с нижним индексом «2» относятся к внешней (возмущающей) орбите, а переменные без нижних индексов относятся к внутренней орбите; $M$ — масса первичной звезды. Например, при периоде Луны 27,3 дня, эксцентриситете 0,055 и периоде спутников Глобальной системы позиционирования в половину (сидерических) суток шкала времени Козаи составляет чуть более 4 лет; для геостационарных орбит она вдвое короче.

Период колебания всех трех переменных ( $e$ , $i$ , $ω$ – последняя является аргументом перицентра ) одинаков, но зависит от того, насколько «далеко» находится орбита от орбиты неподвижной точки, становясь очень большим для сепаратрисной орбиты, которая отделяет либрирующие орбиты от осциллирующих орбит.

Астрофизические последствия

Солнечная система

Механизм фон Цайпеля-Лидова-Козаи заставляет аргумент перицентра ( $ω$ ) колебаться около 90° или 270°, то есть его периапсид происходит, когда тело находится дальше всего от экваториальной плоскости. Этот эффект является одной из причин, по которой Плутон динамически защищен от близких сближений с Нептуном .

Механизм Лидова–Козаи накладывает ограничения на возможные орбиты в системе. Например:

Для обычного спутника: Если орбита спутника планеты сильно наклонена к орбите планеты, эксцентриситет орбиты спутника будет увеличиваться до тех пор, пока при максимальном сближении спутник не будет разрушен приливными силами.
Для нерегулярных спутников: Растущий эксцентриситет приведет к столкновению с регулярной луной, планетой, или, в качестве альтернативы, растущий апоцентр может вытолкнуть спутник за пределы сферы Хилла . Недавно был найден радиус устойчивости Хилла как функция наклона спутника, также объясняющий неравномерное распределение нерегулярных наклонов спутников. ^[13]

Механизм был задействован при поиске Девятой планеты , гипотетической планеты, вращающейся вокруг Солнца далеко за орбитой Нептуна. ^[14]

Было обнаружено, что ряд лун находятся в резонансе Лидова-Козаи со своими планетами, включая Карпо и Эвпори на Юпитере , ^[15]Кивиук и Иджирак на Сатурне , ^[1]^{Маргарет} на Уране , ^[16] и Сао и Несо на Нептуне . ^[17]

Некоторые источники называют советский космический зонд «Луна-3» первым примером искусственного спутника, подвергающегося колебаниям Лидова–Козаи. Запущенный в 1959 году на сильно наклоненную, эксцентричную геоцентрическую орбиту, он стал первой миссией по фотографированию обратной стороны Луны . Он сгорел в атмосфере Земли, совершив одиннадцать оборотов. ^[1]^{: 9–10} Однако, по мнению Гколиаса и др. (2016), другой механизм должен был привести к распаду орбиты зонда, поскольку колебания Лидова–Козаи были бы сорваны эффектами сжатия Земли . ^[18]

Внесолнечные планеты

Механизм фон Цайпеля-Лидова-Козаи в сочетании с приливным трением способен создавать горячие юпитеры , представляющие собой газовые гигантские экзопланеты, вращающиеся вокруг своих звезд по узким орбитам. ^[19]^[20]^[21]^[22] Высокий эксцентриситет планеты HD 80606 b в системе HD 80606/80607 , вероятно, обусловлен механизмом Козаи. ^[23]

Черные дыры

Предполагается, что этот механизм влияет на рост центральных черных дыр в плотных звездных скоплениях . Он также управляет эволюцией определенных классов двойных черных дыр ^[9] и может играть роль в обеспечении слияний черных дыр . ^[24]

История и развитие

Эффект был впервые описан в 1909 году шведским астрономом Гуго фон Цайпелем в его работе о движении периодических комет в Astronomische Nachrichten . ^[25]^[5] В 1961 году советский ученый-космонавт Михаил Лидов открыл эффект, анализируя орбиты искусственных и естественных спутников планет. Первоначально опубликованный на русском языке, результат был переведен на английский в 1962 году. ^[3]^[26]^{: 88}

Лидов впервые представил свою работу по орбитам искусственных спутников на конференции по общим и прикладным проблемам теоретической астрономии, состоявшейся в Москве 20–25 ноября 1961 года. ^[27] Его статья была впервые опубликована в русскоязычном журнале в 1961 году. ^[3] Японский астроном Ёсихидэ Кодзаи был среди участников конференции 1961 года. ^[27] Кодзаи опубликовал тот же результат в популярном англоязычном журнале в 1962 году, используя его для анализа орбит астероидов , возмущенных Юпитером . ^[4] Поскольку Лидов был первым, кто опубликовал эту работу, многие авторы используют термин «механизм Лидова–Кодзаи». Другие, однако, называют его механизмом Козаи–Лидова или просто механизмом Козаи.

Ссылки

^ abcd Шевченко, Иван И. (2017). "Эффект Лидова-Козаи – применение в исследовании экзопланет и динамической астрономии". Библиотека астрофизики и космических наук . Том 441. Cham: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-43522-0. ISBN 978-3-319-43520-6. ISSN 0067-0057.
^ Тремейн, Скотт; Явец, Томер Д. (2014). «Почему спутники Земли остаются наверху?». Американский журнал физики . 82 (8). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 769–777. arXiv : 1309.5244 . Bibcode : 2014AmJPh..82..769T. doi : 10.1119/1.4874853. ISSN 0002-9505. S2CID 119298013.
^ abc Лидов, Михаил Л. (1961). «Эволюция орбит искусственных спутников под действием гравитационных возмущений внешних тел». Искусственные спутники Земли . 8 :5–45.
Лидов, Михаил Л. (1962). «Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел». Планетная и космическая наука . 9 (10): 719–759. Bibcode :1962P&SS....9..719L. doi :10.1016/0032-0633(62)90129-0.(перевод статьи Лидова 1961 г.) Лидов, Михаил Л. (20–25 ноября 1961 г.). «О приближенном анализе эволюции орбит искусственных спутников». Труды конференции по общим и практическим вопросам теоретической астрономии . Проблемы движения искусственных небесных тел. Москва, СССР: АН СССР (изд. 1963 г.).
^ ab Kozai, Yoshihide (1962). "Вековые возмущения астероидов с большим наклоном и эксцентриситетом". The Astronomical Journal . 67 : 591. Bibcode : 1962AJ.....67..591K. doi : 10.1086/108790.
^ ab Ito, Takashi; Ohtsuka, Katsuhito (2019). «Осцилляция Лидова-Козаи и Гуго фон Цайпель». Монографии по окружающей среде, Земле и планетам . 7 (1). Terrapub: 1-113. arXiv : 1911.03984 . Bibcode :2019MEEP....7....1I. doi : 10.6084/m9.figshare.19620609 .
^ Валтонен, М. Дж. (2005). Задача трех тел . Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85224-1.
^ Musielak, ZE; Quarles, B. (2014). «Проблема трех тел». Reports on Progress in Physics . 77 (6). IOP Publishing: 065901. arXiv : 1508.02312 . Bibcode :2014RPPh...77f5901M. doi :10.1088/0034-4885/77/6/065901. ISSN 0034-4885. PMID 24913140. S2CID 38140668.
^ Ли, Гунцзе; Наоз, Смадар; Холман, Мэтт; Лёб, Абрахам (2014). «Хаос в механизме Козаи-Лидова с эксцентричным тестом-частицей». The Astrophysical Journal . 791 (2). IOP Publishing: 86. arXiv : 1405.0494 . Bibcode : 2014ApJ...791...86L. doi : 10.1088/0004-637x/791/2/86. ISSN 1538-4357. S2CID 118866046.
^ abcd Наоз, Смадар; Фарр, Уилл М.; Литвик, Йорам; Расио, Фредерик А.; Тейссандье, Жан (2013). «Вековая динамика в иерархических трехчастичных системах». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 431 (3). Oxford University Press (OUP): 2155–2171. arXiv : 1107.2414 . Bibcode : 2013MNRAS.431.2155N. doi : 10.1093/mnras/stt302 . ISSN 1365-2966.
^ ab Naoz, Smadar (2016). «Эксцентричный эффект Козаи-Лидова и его приложения». Annual Review of Astronomy and Astrophysics . 54 (1). Annual Reviews: 441–489. arXiv : 1601.07175 . Bibcode : 2016ARA&A..54..441N. doi : 10.1146/annurev-astro-081915-023315. ISSN 0066-4146. S2CID 119214240.
^ Katz, Boaz; Dong, Subo; Malhotra, Renu (2011). «Длительная цикличность циклов Козаи-Лидова: экстремальные эксцентриситеты и наклоны, возбуждаемые удаленным эксцентричным возмущающим фактором». Physical Review Letters . 107 (18). Американское физическое общество: 181101. arXiv : 1106.3340 . Bibcode : 2011PhRvL.107r1101K. doi : 10.1103/PhysRevLett.107.181101. ISSN 0031-9007. PMID 22107620. S2CID 18317896.
^ ab Merritt, David (2013). Динамика и эволюция ядер галактик. Серия Princeton по астрофизике. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12101-7. OCLC 863632625.
^ Гришин, Евгений; Перец, Хагай Б.; Зенати, Йосеф; Михаэли, Эрез (2017). «Обобщенные критерии устойчивости холма для иерархических систем из трех тел при произвольных наклонениях». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 466 (1). Oxford University Press (OUP): 276–285. arXiv : 1609.05912 . Bibcode : 2017MNRAS.466..276G. doi : 10.1093/mnras/stw3096 . ISSN 1365-2966.
^ де ла Фуэнте Маркос, Карлос; де ла Фуэнте Маркос, Рауль (2014). «Экстремальные транснептуновые объекты и механизм Козаи: Сигнализация присутствия трансплутоновых планет». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters . 443 (1): L59–L63. arXiv : 1406.0715 . Bibcode :2014MNRAS.443L..59D. doi : 10.1093/mnrasl/slu084 .
^ Брозович, Марина; Якобсон, Роберт А. (2017). «Орбиты нерегулярных спутников Юпитера». The Astronomical Journal . 153 (4): 147. Bibcode : 2017AJ....153..147B. doi : 10.3847/1538-3881/aa5e4d .
^ Брозович, М.; Якобсон, РА (2009). «Орбиты внешних спутников Урана». The Astronomical Journal . 137 (4): 3834–3842. Bibcode : 2009AJ....137.3834B. doi : 10.1088/0004-6256/137/4/3834 .
^ Брозович, Марина; Якобсон, Роберт А.; Шеппард, Скотт С. (2011). «Орбиты внешних спутников Нептуна». The Astronomical Journal . 141 (4): 135. Bibcode : 2011AJ....141..135B. doi : 10.1088/0004-6256/141/4/135 .
^ Gkolias, Ioannis; Daquin, Jérôme; Gachet, Fabien; Rosengren, Aaron J. (2016). «От порядка к хаосу в орбитах спутников Земли». The Astronomical Journal . 152 (5). Американское астрономическое общество: 119. arXiv : 1606.04180 . Bibcode : 2016AJ....152..119G. doi : 10.3847/0004-6256/152/5/119 . ISSN 1538-3881. S2CID 55672308.
^ Фабрицки, Дэниел; Тремейн, Скотт (2007). «Сжатие бинарных и планетарных орбит циклами Козаи с приливным трением». The Astrophysical Journal . 669 (2): 1298–1315. arXiv : 0705.4285 . Bibcode : 2007ApJ...669.1298F. doi : 10.1086/521702. ISSN 0004-637X. S2CID 12159532.
^ Verrier, PE; Evans, NW (2009). «Планеты и астероиды с большим наклоном в многозвездных системах». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 394 (4). Oxford University Press (OUP): 1721–1726. arXiv : 0812.4528 . Bibcode : 2009MNRAS.394.1721V. doi : 10.1111/j.1365-2966.2009.14446.x . ISSN 0035-8711. S2CID 18302413.
^ Литвик, Йорам; Наоз, Смадар (2011). «Эксцентричный механизм Козаи для тестовой частицы». The Astrophysical Journal . 742 (2). IOP Publishing: 94. arXiv : 1106.3329 . Bibcode : 2011ApJ...742...94L. doi : 10.1088/0004-637x/742/2/94. ISSN 0004-637X. S2CID 118625109.
^ Наоз, Смадар; Фарр, Уилл М.; Литвик, Йорам; Расио, Фредерик А.; Тейссандье, Жан (2011). «Горячие юпитеры из вековых взаимодействий планета–планета». Nature . 473 (7346). Springer Nature: 187–189. arXiv : 1011.2501 . Bibcode :2011Natur.473..187N. doi :10.1038/nature10076. ISSN 0028-0836. PMID 21562558. S2CID 4424942.
^ PONT; et al. (2009). "Spin-orbit misalignment in the HD 80606 planetary system". Astronomy & Astrophysics . 502 (2): 695–703. arXiv : 0906.5605 . Bibcode :2009A&A...502..695P. doi :10.1051/0004-6361/200912463. S2CID 55219971 . Получено 7 февраля 2013 г. .
^ Блейс, Омер; Ли, Ман Хой; Сократ, Аристотель (2002). «Механизм Козаи и эволюция двойных сверхмассивных черных дыр». The Astrophysical Journal . 578 (2): 775–786. arXiv : astro-ph/0203370 . Bibcode : 2002ApJ...578..775B. doi : 10.1086/342655. ISSN 0004-637X. S2CID 14120610.
^ фон Зейпель, Х. (1 марта 1910 г.). «Приложение серии М. Линдстедта к исследованию движения периодических комет». Астрономические Нахрихтен . 183 (22): 345–418. Бибкод : 1910AN....183..345В. дои : 10.1002/asna.19091832202. ISSN 0004-6337.
^ Накамура, Цуко; Орчистон, Уэйн, ред. (2017). «Возникновение астрофизики в Азии». Историческая и культурная астрономия . Cham: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-62082-4. ISBN 978-3-319-62080-0. ISSN 2509-310X.^{[ необходима полная цитата ]}
^ ab Гребников, Е.А. (1962). "Конференция по общим и прикладным проблемам теоретической астрономии". Советская астрономия . 6 : 440. Bibcode :1962SvA.....6..440G. ISSN 0038-5301.