Обратная функция

Математическая концепция

Функция f и ее обратная функция f ⁻¹ . Поскольку f отображает a в 3, обратная функция f ⁻¹ отображает 3 обратно в a .

В математике обратная функция функции f (также называемая обратной функцией f ) — это функция , которая отменяет действие f . Обратная функция f существует тогда и только тогда, когда f является биективной , и если она существует, то обозначается как ${\displaystyle f^{-1}.}$

Для функции ее обратная функция допускает явное описание: она отправляет каждый элемент в уникальный элемент, такой что f ( x ) = y . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

В качестве примера рассмотрим действительную функцию действительной переменной, заданную как f ( x ) = 5 x − 7 . Можно представить f как функцию, которая умножает свой вход на 5, а затем вычитает 7 из результата. Чтобы отменить это, нужно добавить 7 к входу, а затем разделить результат на 5. Следовательно, обратная функция f — это функция, определяемая как ${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

Определения

Если f отображает X в Y , то f ⁻¹ отображает Y обратно в X.

Пусть f — функция, областью определения которой является множество X , а областью определения — множество Y. Тогда f обратима , если существует функция g из Y в X такая, что для всех и для всех . ^[1] ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Если f обратима, то существует ровно одна функция g, удовлетворяющая этому свойству. Функция g называется обратной для f и обычно обозначается как f ⁻¹ , обозначение, введенное Джоном Фредериком Уильямом Гершелем в 1813 году. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [nb 1]}

Функция f обратима тогда и только тогда, когда она биективна. Это происходит потому, что условие для всех подразумевает, что f инъективна , а условие для всех подразумевает, что f сюръективна . ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Обратная функция f ⁻¹ к f может быть явно описана как функция

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in X{\text{ such that }}f(x)=y)}$.

Обратные и композиция

Напомним, что если f — обратимая функция с областью определения X и областью определения Y , то

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$, для каждого и для каждого . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Используя композицию функций , это утверждение можно переписать в следующие уравнения между функциями:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$и ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

где id _X — это функция тождества на множестве X ; ​​то есть функция, которая оставляет свой аргумент неизменным. В теории категорий это утверждение используется как определение обратного морфизма .

Рассмотрение композиции функций помогает понять обозначение f ⁻¹ . Многократное составление функции f : X → X с самой собой называется итерацией . Если f применяется n раз, начиная со значения x , то это записывается как f ⁿ ( x ) ; поэтому f ² ( x ) = f ( f ( x )) и т. д. Поскольку f ⁻¹ ( f ( x )) = x , составление f ⁻¹ и f ⁿ дает f ^{n −1} , «отменяя» эффект одного применения f .

Обозначение

Хотя обозначение f ⁻¹ ( x ) может быть неправильно понято, ^[1] ( f ( x )) ⁻¹ определенно обозначает мультипликативную обратную функцию f ( x ) и не имеет ничего общего с обратной функцией f . ^[6] Обозначение может использоваться для обратной функции, чтобы избежать двусмысленности с мультипликативной обратной функцией . ^[7] ${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$

В соответствии с общей нотацией некоторые английские авторы используют выражения вроде sin ⁻¹ ( x ) для обозначения обратной функции синуса, примененной к x (на самом деле частичной обратной функции; см. ниже). ^{[8] [6]} Другие авторы считают, что это можно спутать с обозначением для мультипликативной обратной функции sin ( x ) , которая может быть обозначена как (sin ( x )) ⁻¹ . ^[6] Чтобы избежать какой-либо путаницы, обратная тригонометрическая функция часто обозначается префиксом « arc » (от латинского arcus ). ^{[9] [10]} Например, обратная функция синуса обычно называется функцией арксинуса , записываемой как arcsin ( x ) . ^{[9] [10]} Аналогично, обратная гиперболическая функция обозначается префиксом « ar » (от латинского ārea ). ^[10] Например, обратная функция гиперболического синуса обычно записывается как arsinh ( x ) . ^[10] Выражения типа sin ⁻¹ ( x ) все еще могут быть полезны для различения многозначной обратной функции от частичной обратной функции: . Другие обратные специальные функции иногда имеют префикс «inv», если следует избежать неоднозначности обозначения f ^{−1 . [11] [10]} ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$

Примеры

Функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня

Функция f : R → [0,∞), заданная формулой f ( x ) = x ² , не является инъективной, поскольку для всех . Следовательно, f необратима. ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Если область определения функции ограничена неотрицательными действительными числами, то есть мы берем функцию по тому же правилу , что и раньше, то функция является биективной и, следовательно, обратимой. ^[12] Обратная функция здесь называется (положительной) функцией квадратного корня и обозначается как . ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$

Стандартные обратные функции

В следующей таблице показано несколько стандартных функций и их обратных:

Формула для обратной величины

Многие функции, заданные алгебраическими формулами, имеют формулу для их обратной функции. Это потому, что обратная функция обратимой функции имеет явное описание как ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)}$.

Это позволяет легко определять обратные функции многих функций, которые задаются алгебраическими формулами. Например, если f — функция

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

тогда для определения действительного числа y нужно найти единственное действительное число x такое, что (2 x + 8) ³ = y . Это уравнение можно решить: ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

Таким образом, обратная функция f ⁻¹ задается формулой

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

Иногда обратная функция не может быть выражена замкнутой формулой . Например, если f — функция

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

тогда f является биекцией и, следовательно, обладает обратной функцией f ⁻¹ . Формула для этой обратной функции имеет выражение в виде бесконечной суммы:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

Характеристики

Поскольку функция представляет собой особый тип бинарного отношения , многие свойства обратной функции соответствуют свойствам обратных отношений .

Уникальность

Если для данной функции f существует обратная функция , то она единственна. ^[13] Это следует из того, что обратная функция должна быть обратным отношением, которое полностью определяется f .

Симметрия

Существует симметрия между функцией и ее обратной функцией. В частности, если f — обратимая функция с областью определения X и областью определения Y , то ее обратная функция f ⁻¹ имеет область определения Y и изображение X , а обратная функция f ⁻¹ — это исходная функция f . В символах для функций f : X → Y и f ⁻¹ : Y → X , ^[13]

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$и ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

Это утверждение является следствием того, что для того, чтобы f была обратимой, она должна быть биективной. Инволютивная природа инверсии может быть кратко выражена как ^[14]

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

Обратным значением g  ∘  f является f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ .

Обратная композиция функций определяется формулой ^[15]

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Обратите внимание, что порядок g и f поменялся местами: чтобы отменить f, а затем g , мы должны сначала отменить g , а затем отменить f .

Например, пусть f ( x ) = 3 x и пусть g ( x ) = x + 5. Тогда композиция g  ∘  f — это функция, которая сначала умножает на три, а затем прибавляет пять,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

Чтобы обратить этот процесс вспять, мы должны сначала вычесть пять, а затем разделить на три,

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

Это композиция ( f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ )( x ) .

Самоинверсии

Если X — множество, то функция тождества на X является своей собственной обратной:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

В более общем смысле функция f  : X → X равна своей собственной обратной функции тогда и только тогда, когда композиция f  ∘  f равна id _X. Такая функция называется инволюцией .

График обратного

Графики y = f ( x ) и y = f ⁻¹ ( x ) . Пунктирная линия — y = x .

Если f обратима, то график функции

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

такой же, как график уравнения

${\displaystyle x=f(y).}$

Это идентично уравнению y = f ( x ) , которое определяет график функции f , за исключением того, что роли x и y поменялись местами. Таким образом, график функции f ⁻¹ может быть получен из графика функции f путем перестановки осей x и y . Это эквивалентно отражению графика относительно прямой y = x . ^{[16] [1]}

Обратные и производные

По теореме об обратной функции непрерывная функция одной переменной (где ) обратима на своем множестве (изображении) тогда и только тогда, когда она либо строго возрастает, либо строго убывает (без локальных максимумов или минимумов ). Например, функция ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

обратима, так как производная f′ ( x ) = 3 x ² + 1 всегда положительна.

Если функция f дифференцируема на интервале I и f′ ( x ) ≠ 0 для каждого x ∈ I , то обратная функция f ⁻¹ дифференцируема на f ( I ) . ^[17] Если y = f ( x ) , производная обратной функции задается теоремой об обратной функции,

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

Используя обозначения Лейбница, формулу выше можно записать как

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Этот результат следует из цепного правила (см. статью об обратных функциях и дифференцировании ).

Теорема об обратной функции может быть обобщена на функции нескольких переменных. В частности, непрерывно дифференцируемая многомерная функция f : R ⁿ → R ⁿ обратима в окрестности точки p, пока обратима матрица Якоби функции f в точке p . В этом случае якобиан функции f ⁻¹ в точке f ( p ) является обратной матрицей якобиана функции f в точке p .

Примеры из реальной жизни

• Пусть f — функция, преобразующая температуру в градусах Цельсия в температуру в градусах Фаренгейта , тогда ее обратная функция преобразует градусы Фаренгейта в градусы Цельсия, ^[18] поскольку $${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;}$$ $${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}}$$
• Предположим, что f назначает каждому ребенку в семье его год рождения. Обратная функция выведет, какой ребенок родился в данном году. Однако, если в семье есть дети, родившиеся в одном и том же году (например, близнецы или тройняшки и т. д.), то выход не может быть известен, когда входными данными является общий год рождения. Также, если указан год, в котором не родился ни один ребенок, то ребенок не может быть назван. Но если каждый ребенок родился в отдельном году, и если мы ограничим внимание тремя годами, в которые родился ребенок, то у нас есть обратная функция. Например, $${\displaystyle {\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}}$$
• Пусть R — функция, которая приводит к росту некоторого количества на x процентов, а F — функция, вызывающая падение на x процентов. Применительно к 100 долларам с x = 10%, мы обнаруживаем, что применение первой функции, а затем второй, не восстанавливает исходное значение 100 долларов, что демонстрирует тот факт, что, несмотря на видимость, эти две функции не являются обратными друг другу.
• Формула для расчета pH раствора: pH = −log ₁₀ [H ⁺ ] . Во многих случаях нам нужно найти концентрацию кислоты из измерения pH. Используется обратная функция [H ⁺ ] = 10 ^{−pH .}

Обобщения

Частичные инверсии

Квадратный корень из x является частично обратным к f ( x ) = x ² .

Даже если функция f не является однозначной, можно определить частично обратную функцию f, ограничив область определения . Например, функция

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

не является взаимно-однозначной, так как x ² = (− x ) ² . Однако функция становится взаимно-однозначной, если мы ограничимся областью x ≥ 0 , в этом случае

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

(Если вместо этого мы ограничимся областью x ≤ 0 , то обратная функция будет отрицательным значением квадратного корня из y .) С другой стороны, нет необходимости ограничивать область, если мы довольствуемся тем, что обратная функция является многозначной функцией :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

Обратная функция этой кубической функции имеет три ветви.

Иногда эта многозначная обратная функция называется полной обратной функцией f , а ее части (такие как √ x и − √ x ) называются ветвями . Самая важная ветвь многозначной функции (например, положительный квадратный корень) называется главной ветвью , а ее значение в точке y называется главным значением f ⁻¹ ( y ) .

Для непрерывной функции на вещественной прямой требуется одна ветвь между каждой парой локальных экстремумов . Например, обратная кубической функции с локальным максимумом и локальным минимумом имеет три ветви (см. соседнюю картинку).

Арксинус — это частично обратная функция синуса .

Эти соображения особенно важны для определения обратных тригонометрических функций . Например, функция синуса не является однозначной, так как

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

для каждого действительного x (и в более общем случае sin( x + 2 π n ) = sin( x ) для каждого целого числа n ). Однако синус является однозначным на интервале [− ⁠π/2⁠ ,  ⁠π/2⁠ ] , а соответствующая частичная обратная величина называется арксинусом . Это считается главной ветвью арксинуса, поэтому главное значение арксинуса всегда находится между − ⁠π/2⁠ и ⁠π/2⁠ . Следующая таблица описывает основную ветвь каждой обратной тригонометрической функции: ^[19]

Левая и правая инверсии

Состав функций слева и справа не обязательно должен совпадать. В общем случае условия

1. "Существует g такой, что g ( f ( x ))= x " и
2. "Существует g такой, что f ( g ( x ))= x "

подразумевают различные свойства f . Например, пусть f : R → [0, ∞) обозначает отображение возведения в квадрат, такое что f ( x ) = x ² для всех x в R , и пусть g : [0, ∞) → R обозначает отображение квадратного корня, такое что g ( x ) = √ x для всех x ≥ 0 . Тогда f ( g ( x )) = x для всех x в [0, ∞) ; то есть g является правым обратным к f . Однако g не является левым обратным к f , поскольку, например, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Левые инверсии

Если f : X → Y , то левая обратная функция для f (или ретракция f ) — это функция g : Y → X такая, что композиция f с g слева дает тождественную функцию ^[20]. То есть функция g удовлетворяет правилу $${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}{\text{.}}}$$

Если f ( x ) = y , то g ( y ) = x .

Функция g должна быть равна обратной функции f на изображении f , но может принимать любые значения для элементов Y, не входящих в изображение.

Функция f с непустой областью определения инъективна тогда и только тогда, когда она имеет левую обратную. ^[21] Элементарное доказательство выглядит следующим образом:

• Если g — левая обратная функция f и f ( x ) = f ( y ) , то g ( f ( x )) = g ( f ( y )) = x = y .

• Если непустое f : X → Y инъективно, постройте левое обратное g : Y → X следующим образом: для всех y ∈ Y , если y содержится в образе f , то существует x ∈ X такой, что f ( x ) = y . Пусть g ( y ) = x ; это определение уникально, поскольку f инъективно. В противном случае пусть g ( y ) будет произвольным элементом X .

  Для всех x ∈ X f ( x ) находится в образе f . По построению g ( f ( x )) = x , условие для левого обратного.

В классической математике каждая инъективная функция f с непустой областью определения обязательно имеет левую обратную; однако в конструктивной математике это может не сработать . Например, левая обратная функция включения { 0,1} → R двухэлементного множества в вещественных числах нарушает неразложимость , давая ретракцию вещественной прямой к множеству {0,1} . ^[22]

Правые обратные

Пример правого обратного с неинъективной, сюръективной функцией

Правая обратная функция для f (или части f ) — это функция h : Y → X такая , что

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

То есть функция h удовлетворяет правилу

Если , то ${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$ ${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

Таким образом, h ( y ) может быть любым из элементов X , которые отображаются в y при f .

Функция f имеет правую обратную функцию тогда и только тогда, когда она сюръективна (хотя построение такой обратной функции в общем случае требует аксиомы выбора ).

Если h — правая обратная к f , то f сюръективна. Для всех существует такое, что . ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x=h(y)}$ ${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$

Если f сюръективен, то f имеет правый обратный h , который можно построить следующим образом: для всех существует по крайней мере один такой, что (поскольку f сюръективен), поэтому мы выбираем один в качестве значения h ( y ) . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

Двусторонние инверсии

Обратная функция, которая является как левой, так и правой обратной функцией ( двусторонняя обратная функция ), если она существует, должна быть уникальной. Фактически, если функция имеет левую обратную функцию и правую обратную функцию, они обе являются одной и той же двусторонней обратной функцией, поэтому ее можно назвать обратной функцией .

Если является левым обратным и правым обратным для , для всех , . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$

Функция имеет двустороннюю обратную функцию тогда и только тогда, когда она биективна.

Биективная функция f инъективна, поэтому у нее есть левая обратная (если f — пустая функция, то — ее собственная левая обратная). f сюръективна, поэтому у нее есть правая обратная. Согласно вышесказанному, левая и правая обратные одинаковы. ${\displaystyle f\colon \varnothing \to \varnothing }$

Если f имеет двусторонний обратный g , то g является левым обратным и правым обратным f , поэтому f является инъективным и сюръективным.

Прообразы

Если f : X → Y — любая функция (не обязательно обратимая), то прообраз (или обратный образ ) элемента y ∈ Y определяется как множество всех элементов X , которые отображаются в y :

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

Прообраз y можно рассматривать как образ y при (многозначной ) полной обратной функции f .

Аналогично, если S — любое подмножество Y , то прообраз S , обозначаемый , — это множество всех элементов X , которые отображаются в S : ${\displaystyle f^{-1}(S)}$

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

Например, возьмем функцию f : R → R ; x ↦ x ² . Эта функция необратима, поскольку она не является биективной, но прообразы могут быть определены для подмножеств области значений, например

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$.

Прообраз одного элемента y ∈ Y – синглтонный набор { y }  – иногда называют волокном y . Когда Y – набор действительных чисел, принято называть f ⁻¹ ({ y }) набором уровня .

Смотрите также

• Теорема обращения Лагранжа дает разложение в ряд Тейлора обратной функции аналитической функции
• Интеграл обратных функций
• Обратное преобразование Фурье
• Обратимые вычисления

Примечания

1. Не путать с численным возведением в степень, например, с получением мультипликативной инверсии ненулевого действительного числа.

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Обратная функция". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-09-08 .
2. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «О замечательном применении теоремы Котеса». Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 103 (часть 1). Лондон: Royal Society of London , напечатано W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, продано G. and W. Nicol, Pall-Mall: 8–26 [10]. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR  107384. S2CID  118124706.
3. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода разностей». Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: напечатано Дж. Смитом, продано Дж. Дейтоном и сыновьями. стр. 1–13 [5–6]. Архивировано из оригинала 2020-08-04 . Получено 2020-08-04 .[1] (Примечание. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более раннюю работу Ганса Генриха Бюрмана .)
4. Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Т. I (новое издание). Бостон, США. С. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). Том. IV. п. 229.
6. Cajori, Florian (1952) [март 1929]. "§472. Степень логарифма / §473. Повторные логарифмы / §533. Нотация Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих нотаций для обратных функций / §537. Степени тригонометрических функций". История математических обозначений. Т. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 года, 2-е изд.). Чикаго, США: Open court publishing company . стр. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Получено 2016-01-18 . [...] §473. Повторные логарифмы [...] Здесь мы отмечаем символику, использованную Прингсхаймом и Мольком в их совместной статье в Encyclopédie : " ² log _b a = log _b (log _b a ), ..., ^{k +1} log _b a = log _b ( ^k log _b a )". [...] §533. Обозначение Джона Гершеля для обратных функций, sin ⁻¹ x , tan ⁻¹ x и т. д., было опубликовано им в Philosophical Transactions of London за 1813 год. Он говорит (стр. 10): "Эту запись cos. ⁻¹ e не следует понимать как обозначение 1/cos.  e , но то, что обычно записывается так, arc (cos.= e )". Он признает, что некоторые авторы используют cos. ^m A вместо (cos. A ) ^m , но он оправдывает свою собственную запись, указывая, что поскольку d ² x , Δ ³ x , Σ ² x означают dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , мы должны писать sin. ² x вместо sin. sin. x , log. ³ x вместо log. log. log. x . Так же, как мы пишем d ^{− n} V=∫ ⁿ V , мы можем аналогично записать sin. ⁻¹ x =arc (sin.= x ), log. ⁻¹ x .=c ^​​x . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f ⁿ ( x ), f ^{− n} ( x ), sin. ⁻¹ x и т. д., «как он тогда впервые предположил. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурманна , в которой то же самое объясняется в значительно более раннюю дату. Однако он [Бурманн], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan ⁻¹и т. д., и он, по-видимому, вообще не осознает обратного исчисления функций, которое оно порождает». Гершель добавляет: «Симметрия этой нотации и, прежде всего, новые и самые обширные взгляды, которые она открывает на природу аналитических операций, по-видимому, оправдывают ее всеобщее принятие». ^[a] [...] §535. Сохранение конкурирующих нотаций для обратной функции. — [...] Использование нотации Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы устранить главное возражение против них; Пирс писал: «cos ^[−1] x », «log ^[−1] x ». ^[b] [...] §537. Степени тригонометрических функций. — Для обозначения, скажем, квадрата sin x использовались три основных нотации , а именно, (sin x ) ² , sin x ² , sin ² x . В настоящее время преобладающей нотацией является sin ² x , хотя первая из них, по всей вероятности, быть неверно истолкована. В случае sin ² x напрашиваются две интерпретации; во-первых, sin x · sin x ; во-вторых, ^[c] sin (sin x ). Поскольку функции последнего типа обычно не встречаются, опасность неверной интерпретации гораздо меньше, чем в случае log ² x , где log x · log x и log (log x ) часто встречаются в анализе. [...] Обозначение sin ⁿ x для (sin x ) ⁿ широко использовалось и в настоящее время является преобладающим. [...](xviii+367+1 страниц, включая 1 страницу приложений) (Примечание. ISBN и ссылка на переиздание 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
7. Гельмут Зибер и Леопольд Хубер: Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien. Эрнст Клетт Верлаг.
8. Томас 1972, стр. 304–309.
9. Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "21.2.-4. Обратные тригонометрические функции". Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формулы для справок и обзоров (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc. стр. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.
10. Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2009) [1987]. Атлас функций: с Equator, калькулятором функций Atlas (2-е изд.). Springer Science+Business Media, LLC . doi :10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525.
11. Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (1909). «Статья 14: Обратные тригонометрические функции». Написано в Энн-Арбор, Мичиган, США. Плоская тригонометрия . Нью-Йорк: Henry Holt & Company . стр. 15–16 . Получено 12 августа 2017 г. α = arcsin  m Эта нотация повсеместно используется в Европе и быстро набирает популярность в этой стране. Менее желательный символ, α = sin ^-1 m , все еще встречается в английских и американских текстах. Нотация α = inv sin m , возможно, еще лучше из-за ее общей применимости. [...] Аналогичное символическое соотношение справедливо и для других тригонометрических функций . Его часто читают как «arc-sine m » или «anti-sine m » , поскольку две взаимно обратные функции считаются антифункциями друг друга. 
12. Лэй 2006, стр. 69, Пример 7.24
13. Wolf 1998, стр. 208, Теорема 7.2
14. Смит, Эгген и Сент-Андре 2006, стр. 141 Теорема 3.3(a)
15. Лэй 2006, стр. 71, Теорема 7.26
16. Бриггс и Кохран 2011, стр. 28–29.
17. Лэй 2006, стр. 246, Теорема 26.10
18. "Обратные функции". www.mathsisfun.com . Получено 2020-09-08 .
19. Бриггс и Кохран 2011, стр. 39–42.
20. Даммит; Фут. Абстрактная алгебра .
21. Мак-Лейн, Сондерс. Категории для работающего математика .
22. Френкель (1954). «Абстрактная теория множеств». Nature . 173 (4412): 967. Bibcode : 1954Natur.173..967C. doi : 10.1038/173967a0 . S2CID  7735523.

Библиография

• Бриггс, Уильям; Кохран, Лайл (2011). Исчисление / Ранние трансцендентальные уравнения с одной переменной . Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-66414-3.
• Девлин, Кит Дж. (2004). Множества, функции и логика / Введение в абстрактную математику (3-е изд.). Chapman & Hall / CRC Mathematics . ISBN 978-1-58488-449-1.
• Флетчер, Питер; Патти, К. Уэйн (1988). Основы высшей математики . PWS-Кент. ISBN 0-87150-164-3.
• Лэй, Стивен Р. (2006). Анализ / С введением в доказательство (4-е изд.). Pearson / Prentice Hall . ISBN 978-0-13-148101-5.
• Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2006). Переход к высшей математике (6-е изд.). Томпсон Брукс/Коул . ISBN 978-0-534-39900-9.
• Томас-младший, Джордж Бринтон (1972). Исчисление и аналитическая геометрия. Часть 1: Функции одной переменной и аналитическая геометрия (альтернативное издание). Addison-Wesley .
• Вольф, Роберт С. (1998). Доказательство, логика и гипотеза / Инструментарий математика . WH Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.

Дальнейшее чтение

• Амазиго, Джон К.; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Неявные функции; Якобианы; Обратные функции». Advanced Calculus and its Applications to the Engineering and Physical Sciences . New York: Wiley. pp. 103–120. ISBN 0-471-04934-4.
• Бинмор, Кен Г. (1983). «Обратные функции». Исчисление . Нью-Йорк: Cambridge University Press . С. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
• Спивак, Майкл (1994). Calculus (3-е изд.). Publish or Perish. ISBN 0-914098-89-6.
• Стюарт, Джеймс (2002). Исчисление (5-е изд.). Брукс Коул . ISBN 978-0-534-39339-7.

Внешние ссылки

• «Обратная функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]