Ячейка Вигнера-Зейтца , названная в честь Юджина Вигнера и Фредерика Зейтца , представляет собой примитивную ячейку , которая была построена путем применения разложения Вороного к кристаллической решетке . Его используют при изучении кристаллических материалов в кристаллографии .
Уникальное свойство кристалла состоит в том, что его атомы расположены в правильном трехмерном массиве, называемом решеткой . Все свойства, приписываемые кристаллическим материалам, обусловлены этой высокоупорядоченной структурой. Такая структура обладает дискретной трансляционной симметрией . Чтобы смоделировать и изучить такую периодическую систему, нужна математическая «ручка», чтобы описать симметрию и, следовательно, сделать выводы о свойствах материала, вытекающих из этой симметрии. Ячейка Вигнера-Зейтца является средством достижения этой цели.
Ячейка Вигнера-Зейтца является примером примитивной ячейки , которая представляет собой элементарную ячейку , содержащую ровно одну точку решетки. Для любой данной решетки существует бесконечное количество возможных примитивных ячеек. Однако для любой данной решетки существует только одна ячейка Вигнера – Зейтца. Это место точек в пространстве, которые находятся ближе к этой точке решетки, чем к любой другой точке решетки.
Ячейка Вигнера-Зейтца, как и любая примитивная ячейка, является фундаментальной областью дискретной трансляционной симметрии решетки. Примитивная ячейка обратной решетки в импульсном пространстве называется зоной Бриллюэна .
Концепция разложения Вороного была исследована Питером Густавом Леженом Дирихле , что привело к названию области Дирихле . Дальнейшие вклады были сделаны Евграфом Федоровым ( Параллелоэдр Федорова ), Георгием Вороным ( Многогранник Вороного ), [1] [2] и Полом Ниггли ( Wirkungsbereich ). [3]
Применение к физике конденсированного состояния было впервые предложено Юджином Вигнером и Фредериком Зейтцем в статье 1933 года, где оно использовалось для решения уравнения Шредингера для свободных электронов в элементарном натрии . [4] Они аппроксимировали форму ячейки Вигнера-Зейтца в натрии, которая представляет собой усеченный октаэдр, как сферу равного объема, и решили уравнение Шредингера точно, используя периодические граничные условия , которые требуются на поверхности сферы. Аналогичный расчет, который также учитывал несферическую природу ячейки Вигнера-Зейтца, был выполнен позже Джоном К. Слейтером . [5]
Есть только пять топологически различных многогранников, которые замощают трехмерное пространство , ℝ 3 . Их называют параллелоэдрами . Они являются предметом математического интереса, например, в высших измерениях. [6] Эти пять параллелоэдров можно использовать для классификации трехмерных решеток с использованием концепции проективной плоскости, предложенной Джоном Хортоном Конвеем и Нилом Слоаном . [7] Однако, в то время как топологическая классификация считает, что любое аффинное преобразование приводит к идентичному классу, более конкретная классификация приводит к 24 различным классам многогранников Вороного с параллельными ребрами, которые замостили пространство. [3] Например, прямоугольный кубоид , прямоугольная призма и куб принадлежат к одному и тому же топологическому классу, но отличаются разными соотношениями сторон. Эта классификация 24 типов многогранников Вороного для решеток Браве была впервые изложена Борисом Делоне . [8]
Ячейка Вигнера-Зейтца вокруг точки решетки определяется как геометрическое место точек в пространстве, которые находятся ближе к этой точке решетки, чем к любой другой точке решетки. [9]
Математически можно показать, что ячейка Вигнера-Зейтца является примитивной клеткой . Это означает, что ячейка охватывает все прямое пространство, не оставляя никаких пробелов или дыр — свойство, известное как тесселяция .
Общая математическая концепция, воплощенная в ячейке Вигнера-Зейтца, чаще называется ячейкой Вороного , а разбиение плоскости на эти ячейки для заданного набора точечных узлов известно как диаграмма Вороного .
Ячейку можно выбрать, сначала выбрав точку решетки . После выбора точки ко всем близлежащим точкам решетки рисуются линии. В средней точке каждой линии рисуется еще одна линия, перпендикулярная каждому из первого набора линий. Наименьшая область, заключенная таким образом, называется примитивной ячейкой Вигнера-Зейтца .
Для трехмерной решетки шаги аналогичны, но на шаге 2 вместо рисования перпендикулярных линий в середине линий между точками решетки рисуются перпендикулярные плоскости.
Как и в случае со всеми примитивными ячейками, вся область или пространство внутри решетки может быть заполнено ячейками Вигнера – Зейтца, и пробелов не будет.
Соседние точки решетки постоянно проверяются до тех пор, пока заключенная в них площадь или объем не станет подходящей площадью или объемом для примитивной ячейки . Альтернативно, если базисные векторы решетки сокращаются с использованием сокращения решетки, необходимо использовать только заданное количество точек решетки. [10] В двумерных измерениях необходимо использовать только точки решетки, составляющие 4 элементарные ячейки, имеющие общую вершину с началом координат. В трехмерных измерениях необходимо использовать только точки решетки, составляющие 8 элементарных ячеек, имеющих общую вершину с началом координат.
Для составных решеток (кристаллов, которые имеют более одного вектора в основе ) каждая отдельная точка решетки представляет несколько атомов. Мы можем разбить каждую ячейку Вигнера-Зейтца на подячейки путем дальнейшего разложения Вороного по ближайшему атому, а не по ближайшему узлу решетки. [12] Например, кристаллическая структура алмаза содержит двухатомную основу. В алмазе атомы углерода имеют тетраэдрическую sp 3 связь , но поскольку тетраэдры не замостили пространство , вороное разложение кристаллической структуры алмаза фактически представляет собой триакис усеченные тетраэдрические соты . [13] Другим примером является применение разложения Вороного к атомам в фазах A15 , которое образует полиэдрическое приближение структуры Вейра-Фелана .
Ячейка Вигнера-Зейтца всегда имеет ту же точечную симметрию , что и лежащая в основе решетка Браве . [9] Например, куб , усеченный октаэдр и ромбический додекаэдр имеют точечную симметрию Oh , поскольку все соответствующие решетки Браве, использованные для их создания, принадлежат системе кубических решеток , которая имеет точечную симметрию Oh .
На практике сама ячейка Вигнера-Зейтца на самом деле редко используется для описания прямого пространства , вместо нее обычно используются обычные элементарные ячейки . Однако то же самое разложение чрезвычайно важно применительно к обратному пространству . Ячейка Вигнера-Зейтца в обратном пространстве называется зоной Бриллюэна и содержит информацию о том, будет ли материал проводником , полупроводником или изолятором .
