Гребенчатый фильтр

Фильтр обработки сигнала

Структура гребенчатого фильтра прямой связи

В обработке сигналов гребенчатый фильтр — это фильтр , реализованный путем добавления к самому себе задержанной версии сигнала , вызывающей конструктивные и деструктивные помехи . Частотная характеристика гребенчатого фильтра состоит из ряда регулярно расположенных вырезов между регулярно расположенными пиками (иногда называемых зубцами ), что создает вид гребенки .

Гребенчатые фильтры существуют в двух формах: с прямой связью и с обратной связью ; которые относятся к направлению задержки сигналов перед их добавлением на вход.

Гребенчатые фильтры могут быть реализованы в дискретной или непрерывной форме, которые очень похожи.

Приложения

Расширенный гребенчатый фильтр PAL-II (APCF-II, Motorola MC141627FT)

Гребенчатые фильтры используются в различных приложениях обработки сигналов, в том числе:

• Каскадные интеграторно-гребенчатые фильтры (CIC), обычно используемые для сглаживания во время операций интерполяции и прореживания , которые изменяют частоту дискретизации системы с дискретным временем.
• Гребенчатые фильтры 2D и 3D, реализованные аппаратно (а иногда и программно) в аналоговых телевизионных декодерах PAL и NTSC , уменьшают такие артефакты, как сканирование точек .
• Обработка аудиосигнала , включая задержку , флэнжер , синтез физического моделирования и синтез цифровых волноводов . Если задержка установлена ​​на несколько миллисекунд, гребенчатый фильтр может моделировать эффект стоячих акустических волн в цилиндрической полости или вибрирующей струне .
• В астрономии астрогребенка обещает повысить точность существующих спектрографов почти в сто раз.

В акустике гребенчатая фильтрация может возникнуть как нежелательный артефакт. Например, два динамика , воспроизводящие один и тот же сигнал на разных расстояниях от слушателя, создают эффект гребенчатой ​​фильтрации звука. ^[1] В любом замкнутом пространстве слушатели слышат смесь прямого звука и отраженного звука. Отраженный звук проходит более длинный путь с задержкой по сравнению с прямым звуком, и создается гребенчатый фильтр, в котором они смешиваются на слушателе. ^[2] Аналогично, гребенчатая фильтрация может возникнуть в результате монофонического микширования нескольких микрофонов, отсюда и эмпирическое правило 3:1 , согласно которому соседние микрофоны должны быть разнесены как минимум в три раза дальше, чем расстояние от источника до микрофона. ^{[ нужна цитата ]}

Реализация дискретного времени

Форма прямой связи

Структура гребенчатого фильтра прямой связи в дискретном времени

Общая структура гребенчатого фильтра прямой связи описывается разностным уравнением :

${\displaystyle y[n]=x[n]+\alpha x[n-K]}$

где – длина задержки (измеряется в выборках), а α – масштабный коэффициент, применяемый к задержанному сигналу. Z - преобразование обеих частей уравнения дает: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(z)=\left(1+\alpha z^{-K}\right)X(z)}$

Передаточная функция определяется как:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=1+\alpha z^{-K}={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

Частотная характеристика

Отклик величины прямой связи для различных положительных значений α и K = 1 в дискретное время

Отклик величины прямой связи для различных отрицательных значений α и K = 1 в дискретное время

Частотная характеристика системы с дискретным временем, выраженная в z -области, получается заменой где – мнимая единица измерения и – угловая частота . Следовательно, для гребенчатого фильтра прямой связи: ${\displaystyle z=e^{j\omega },}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)=1+\alpha e^{-j\omega K}}$

Используя формулу Эйлера , частотная характеристика также определяется выражением

${\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)={\bigl [}1+\alpha \cos(\omega K){\bigr ]}-j\alpha \sin(\omega K)}$

Часто интерес представляет отклик величины , который игнорирует фазу. Это определяется как:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\omega }\right)\right|={\sqrt {\Re \left\{H\left(e^{j\omega }\right)\right\}^{2}+\Im \left\{H\left(e^{j\omega }\right)\right\}^{2}}}}$

В случае гребенчатого фильтра прямой связи это:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|H(e^{j\omega })\right|&={\sqrt {(1+\alpha \cos(\omega K))^{2}+(\alpha \sin(\omega K))^{2}}}\\&={\sqrt {(1+\alpha ^{2})+2\alpha \cos(\omega K)}}\end{aligned}}}$

Срок является постоянным, тогда как срок периодически меняется . Следовательно, амплитудная характеристика гребенчатого фильтра является периодической. ${\displaystyle (1+\alpha ^{2})}$ ${\displaystyle 2\alpha \cos(\omega K)}$

На графиках показана периодическая реакция величины для различных значений некоторых важных свойств: ${\displaystyle \alpha .}$

• Отклик периодически падает до локального минимума (иногда называемого провалом ) и периодически повышается до локального максимума (иногда называемого пиком или зубцом ).
• Для положительных значений первый минимум возникает на половине периода задержки и после этого повторяется с частотой, кратной частоте задержки: ${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {1}{2K}},{\frac {3}{2K}},{\frac {5}{2K}}\cdots \\\omega &={\frac {\pi }{K}},{\frac {3\pi }{K}},{\frac {5\pi }{K}}\cdots \,\end{aligned}}}$$

• Уровни максимумов и минимумов всегда равноудалены от 1.
• Когда минимумы имеют нулевую амплитуду. В этом случае минимумы иногда называют нулями . ${\displaystyle \alpha =\pm 1,}$
• Максимумы для положительных значений совпадают с минимумами для отрицательных значений и наоборот. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Импульсивный ответ

Гребенчатый фильтр прямой связи — один из простейших фильтров с конечной импульсной характеристикой . ^[3] Его ответ — это просто первоначальный импульс со вторым импульсом после задержки.

Интерпретация полюс-ноль

Взглянем еще раз на передаточную функцию z -домена гребенчатого фильтра с прямой связью:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

числитель равен нулю, если z ^K = − α . Оно имеет K решений, равномерно расположенных по кругу в комплексной плоскости ; это нули передаточной функции. Знаменатель равен нулю в точке z ^K = 0 , что дает K полюсов в точке z = 0 . Это приводит к графику полюс-ноль, подобному показанному.

Форма для обратной связи

Структура гребенчатого фильтра обратной связи в дискретном времени

Аналогично, общая структура гребенчатого фильтра с обратной связью описывается разностным уравнением :

${\displaystyle y[n]=x[n]+\alpha y[n-K]}$

Это уравнение можно переставить так, чтобы все члены находились в левой части, а затем выполнить z- преобразование: ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \left(1-\alpha z^{-K}\right)Y(z)=X(z)}$

Таким образом, передаточная функция:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-K}}}={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

Частотная характеристика

Отклик величины обратной связи для различных положительных значений α и K = 2 в дискретное время

Отклик величины обратной связи для различных отрицательных значений α и K = 2 в дискретное время

Подставив в выражение z -домена гребенчатого фильтра обратной связи : ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$

${\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega K}}}\,,}$

ответ величины становится:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\omega }\right)\right|={\frac {1}{\sqrt {\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha \cos(\omega K)}}}\,.}$

Опять же, как показывают графики, реакция носит периодический характер. Гребенчатый фильтр обратной связи имеет некоторые общие свойства с формой прямой связи:

• Отклик периодически падает до локального минимума и возрастает до локального максимума.
• Максимумы для положительных значений совпадают с минимумами для отрицательных значений и наоборот. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ,}$
• Для положительных значений первый максимум возникает при 0 и после этого повторяется с частотой, кратной частоте задержки: ${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&=0,{\frac {1}{K}},{\frac {2}{K}},{\frac {3}{K}}\cdots \\\omega &=0,{\frac {2\pi }{K}},{\frac {4\pi }{K}},{\frac {6\pi }{K}}\cdots \end{aligned}}}$

Однако есть и некоторые важные различия, поскольку в знаменателе отклика величины есть член :

• Уровни максимумов и минимумов уже не равноудалены от 1. Максимумы имеют амплитуду1/1 − α.
• Фильтр стабилен только в том случае, если | α | строго меньше 1. Как видно из графиков, при | α | увеличивается, амплитуда максимумов растет все быстрее.

Импульсивный ответ

Гребенчатый фильтр обратной связи представляет собой простой тип фильтра с бесконечной импульсной характеристикой . ^[4] Если реакция стабильна, то ответ просто состоит из повторяющейся серии импульсов, амплитуда которых уменьшается с течением времени.

Интерпретация полюс-ноль

Взглянем еще раз на передаточную функцию z -домена гребенчатого фильтра обратной связи:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

На этот раз числитель равен нулю в точке z ^K = 0 , что дает K нулей в точке z = 0 . Знаменатель равен нулю, если z ^K = α . Оно имеет K решений, равномерно расположенных по кругу в комплексной плоскости ; это полюсы передаточной функции. Это приводит к графику полюс-ноль, подобному показанному ниже.

Непрерывная реализация времени

Гребенчатые фильтры также могут быть реализованы в непрерывном времени , что может быть выражено в области Лапласа как функция параметра комплексной частотной области, аналогичного области z. Аналоговые схемы используют некоторую форму аналоговой линии задержки в качестве элемента задержки. Реализации с непрерывным временем разделяют все свойства соответствующих реализаций с дискретным временем. ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

Форма прямой связи

Форму прямой связи можно описать уравнением:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha x(t-\tau )}$

где τ — задержка (измеряется в секундах). Это имеет следующую передаточную функцию:

${\displaystyle H(s)=1+\alpha e^{-s\tau }}$

Форма прямой связи состоит из бесконечного числа нулей, расположенных вдоль оси jω ( что соответствует области Фурье ).

Форма для обратной связи

Форма обратной связи имеет уравнение:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha y(t-\tau )}$

и следующая передаточная функция:

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1-\alpha e^{-s\tau }}}}$

Форма обратной связи состоит из бесконечного числа полюсов, расположенных вдоль оси jω.

Смотрите также

• Гребень Дирака
• Интерферометр Фабри – Перо

Рекомендации

1. Роджер Рассел. «Слух, колонки и гребенчатая фильтрация» . Проверено 22 апреля 2010 г.
2. «Основы акустики». Корпорация акустических наук. Архивировано из оригинала 7 мая 2010 г.
3. Смит, Дж.О. «Гребенчатые фильтры с прямой связью». Архивировано из оригинала 6 июня 2011 г.
4. Смит, Дж. О. «Гребенчатые фильтры с обратной связью». Архивировано из оригинала 6 июня 2011 г.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с гребенчатыми фильтрами, на Викискладе?