В специальной теории относительности четырехсила — это четырехвекторная сила , заменяющая классическую силу .
В специальной теории относительности
Четырехсила определяется как скорость изменения четырехимпульса частицы по отношению к собственному времени частицы :
![{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ mathrm {d} \ mathbf {P} \ over \ mathrm {d} \ tau }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для частицы с постоянной инвариантной массой где – четвертая скорость , поэтому мы можем связать четырехсилу с четырехкратным ускорением, как во втором законе Ньютона :![{\displaystyle м>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {U}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {A} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Здесь
![{\ displaystyle {\ mathbf {f} } = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left (\ gamma m {\ mathbf {u} } \ right) = {\ mathrm {d} \ mathbf {p} \over \mathrm {d} t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
![{\ displaystyle {\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u} } = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left (\ gamma mc ^ {2} \ right) = {\ mathrm {d} E \over \mathrm {d} t}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где и – векторы трехмерного пространства , описывающие скорость, импульс частицы и силу, действующую на нее соответственно.![{\displaystyle \mathbf {u} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {p} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {f} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Включая термодинамические взаимодействия
Из формул предыдущего раздела следует, что временная составляющая четырехсилы — это затраченная мощность, не считая релятивистских поправок . Это справедливо только в чисто механических ситуациях, когда теплообмен исчезает или им можно пренебречь.![{\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma /c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В полном термомеханическом случае не только работа , но и тепло способствует изменению энергии, которая является временной составляющей ковектора энергии-импульса . Временная составляющая четырехсилы в данном случае помимо мощности включает в себя скорость нагрева . [1] Обратите внимание, что работа и тепло не могут быть осмысленно разделены, поскольку они оба несут инерцию. [2] Этот факт распространяется и на контактные силы, т. е. на тензор напряжения-энергии-импульса . [3] [2]![{\displaystyle ч}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следовательно, в термомеханических ситуациях временная составляющая четырех сил не пропорциональна мощности , а имеет более общее выражение, которое следует давать в каждом конкретном случае, которое представляет собой запас внутренней энергии за счет комбинации работы и тепла: [2] [1] [4] [3] и который в ньютоновском пределе становится .![{\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h+\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В общей теории относительности
В общей теории относительности связь между четырехсилой и четырехускорением остается прежней, но элементы четырехсилы связаны с элементами четырехимпульса через ковариантную производную по собственному времени.
![{\displaystyle F^{\lambda}:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }} = {\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^ {\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кроме того, мы можем сформулировать силу, используя концепцию преобразований координат между различными системами координат. Предположим, что мы знаем правильное выражение силы в системе координат, в которой частица в данный момент находится в состоянии покоя. Затем мы можем выполнить преобразование в другую систему, чтобы получить соответствующее выражение силы. [5] В специальной теории относительности преобразование будет преобразованием Лоренца между системами координат, движущимися с относительной постоянной скоростью, тогда как в общей теории относительности это будет преобразование общей координаты.
Рассмотрим четырехсилу , действующую на частицу массы , находящуюся в данный момент в покое в системе координат. Релятивистская сила в другой системе координат, движущейся с постоянной скоростью относительно другой, получается с помощью преобразования Лоренца:![{\displaystyle F^{\mu }=(F^{0},\mathbf {F})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle м}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f^{\mu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=\mathbf {F} +(\gamma -1)\mathbf {v} {\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} \over v^ {2}},\\f^{0}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} = {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} .\end {выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где .![{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В общей теории относительности выражение силы принимает вид
![{\displaystyle f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
с ковариантной производной . Уравнение движения становится![{\displaystyle D/d\tau }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}} = f^{\mu }-m\Gamma _ {\nu \lambda }^{\mu } dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где находится символ Кристоффеля . Если нет внешней силы, это становится уравнением геодезических в искривленном пространстве-времени . Второй член в приведенном выше уравнении играет роль гравитационной силы. Если это правильное выражение для силы в свободно падающей системе отсчета , мы можем использовать принцип эквивалентности для записи четырех сил в произвольной координате :![{\displaystyle \Gamma _ {\nu \lambda }^{\mu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{f}^{\alpha }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \xi ^{\alpha }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{\mu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f^{\mu } = {\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_ {f}^{\alpha }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
В специальной теории относительности четыре силы Лоренца (четыре силы, действующие на заряженную частицу, находящуюся в электромагнитном поле) можно выразить как:
![{\displaystyle f_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
Смотрите также
Рекомендации
- ^ аб Грот, Ричард А.; Эринген, А. Джемаль (1966). «Релятивистская механика сплошной среды: Часть I - Механика и термодинамика». Межд. J. Engng Sci . 4 (6): 611–638, 664. doi : 10.1016/0020-7225(66)90008-5.
- ^ abc Эккарт, Карл (1940). «Термодинамика необратимых процессов. III. Релятивистская теория простой жидкости». Физ. Преподобный . 58 (10): 919–924. Бибкод : 1940PhRv...58..919E. doi : 10.1103/PhysRev.58.919.
- ^ ab CA Трусделл, Р.А. Тупен: Классические теории поля (в С. Флюгге (ред.): Энциклопедия физики, Том III-1 , Springer 1960). §§152–154 и 288–289.
- ^ Можен, Жерар А. (1978). «О ковариантных уравнениях релятивистской электродинамики сплошных сред. I. Общие уравнения». Дж. Математика. Физ . 19 (5): 1198–1205. Бибкод : 1978JMP....19.1198M. дои : 10.1063/1.523785.
- ^ Стивен, Вайнберг (1972). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности . Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN 0-471-92567-5.
- Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853953-3.