Теорема Каца–Бернштейна

Теорема Каца–Бернштейна — одна из первых характеристических теорем математической статистики . Легко видеть, что если случайные величины   и   независимы и нормально распределены с одинаковой дисперсией, то их сумма и разность также независимы. Теорема Каца–Бернштейна утверждает, что независимость суммы и разности двух независимых случайных величин характеризует нормальное распределение ( распределение Гаусса ). Эту теорему независимо доказали польско-американский математик Марк Кац и советский математик Сергей Бернштейн . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

Формулировка

Пусть   и   — независимые случайные величины. Если   и   независимы, то   и   имеют нормальное распределение ( распределение Гаусса ). ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi +\eta }$ ${\displaystyle \xi -\eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

Обобщение

Обобщением теоремы Каца–Бернштейна является теорема Дармуа–Скитовича , в которой вместо суммы и разности рассматриваются линейные формы от n независимых случайных величин.

Ссылки

• Кац М. «О характеристике нормального распределения», Американский журнал математики. 1939. 61. С. 726—728.
• Бернштейн С.Н. Об одном свойстве, характеризующем гауссовское распределение // Труды Ленинградского политехнического института . 1941. Т. 217, № 3. С. 21—22.