Критерий текучести Виллема–Варнке

Трехпараметрическая поверхность текучести Виллама-Варнке.

Критерий текучести Виллама -Варнке ^[1] — это функция, которая используется для прогнозирования того, когда произойдет разрушение в бетоне и других связно-фрикционных материалах, таких как камень , почва и керамика . Этот критерий текучести имеет функциональную форму

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$

где - первый инвариант тензора напряжений Коши, а - второй и третий инварианты девиаторной части тензора напряжений Коши. Существует три параметра материала ( - прочность на одноосное сжатие, - прочность на одноосное растяжение, - прочность на равнодвухосное сжатие), которые должны быть определены до того, как критерий текучести Виллама-Варнке может быть применен для прогнозирования разрушения. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$

В терминах критерий текучести Вильяма-Варнке можно выразить как ${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$

${\displaystyle f:={\sqrt {J_{2}}}+\lambda (J_{2},J_{3})~({\tfrac {I_{1}}{3}}-B)=0}$

где — функция, зависящая от и трех материальных параметров, и зависящая только от материальных параметров. Функцию можно интерпретировать как угол трения, который зависит от угла Лоде ( ). Величина интерпретируется как давление сцепления. Поэтому критерий текучести Виллама-Варнке можно рассматривать как комбинацию критериев текучести Мора-Кулона и Друкера-Прагера . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle B}$

Функция доходности Виллема-Варнке

Вид трехпараметрической поверхности текучести Виллама-Варнке в трехмерном пространстве главных напряжений для ${\displaystyle \sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7}$

След трехпараметрической поверхности текучести Виллама-Варнке в -плоскости для ${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7}$

В оригинальной статье трехпараметрическая функция доходности Уильяма-Варнке была выражена как

${\displaystyle f={\cfrac {1}{3z}}~{\cfrac {I_{1}}{\sigma _{c}}}+{\sqrt {\cfrac {2}{5}}}~{\cfrac {1}{r(\theta )}}{\cfrac {\sqrt {J_{2}}}{\sigma _{c}}}-1\leq 0}$

где — первый инвариант тензора напряжений, — второй инвариант девиаторной части тензора напряжений, — предел текучести при одноосном сжатии, а — угол Лоде, определяемый выражением ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{-1}\left({\cfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}\right)~.}$

Геометрическое место границы поверхности напряжений в девиаторной плоскости напряжений выражается в полярных координатах величиной, которая определяется выражением ${\displaystyle r(\theta )}$

${\displaystyle r(\theta ):={\cfrac {u(\theta )+v(\theta )}{w(\theta )}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}u(\theta ):=&2~r_{c}~(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})~\cos \theta \\v(\theta ):=&r_{c}~(2~r_{t}-r_{c}){\sqrt {4~(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})~\cos ^{2}\theta +5~r_{t}^{2}-4~r_{t}~r_{c}}}\\w(\theta ):=&4(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})\cos ^{2}\theta +(r_{c}-2~r_{t})^{2}\end{aligned}}}$

Величины и описывают векторы положения в местах и ​​могут быть выражены в терминах (здесь — разрушающее напряжение при равномерных двухосных сжатиях, а — разрушающее напряжение при одноосном растяжении) ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle \theta =0^{\circ },60^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma _{c},\sigma _{b},\sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle r_{c}:={\sqrt {\cfrac {6}{5}}}\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{3\sigma _{b}\sigma _{t}+\sigma _{c}(\sigma _{b}-\sigma _{t})}}\right]~;~~r_{t}:={\sqrt {\cfrac {6}{5}}}\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{c}(2\sigma _{b}+\sigma _{t})}}\right]}$

Параметр в модели задается выражением ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z:={\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{c}(\sigma _{b}-\sigma _{t})}}~.}$

Представление Хейга -Вестергаарда условия текучести Виллама-Варнке можно записать как

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,\quad \equiv \quad f:={\bar {\lambda }}(\theta )~\rho +{\bar {B}}~\xi -\sigma _{c}\leq 0}$

где

${\displaystyle {\bar {B}}:={\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~z}}~;~~{\bar {\lambda }}:={\cfrac {1}{{\sqrt {5}}~r(\theta )}}~.}$

Модифицированные формы критерия текучести Виллама-Варнке

Версия Ульма-Кусси-Базанта трехпараметрической поверхности текучести Виллама-Варнке в -плоскости для ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7}$

Альтернативной формой критерия текучести Виллама-Варнке в координатах Хейга-Вестергаарда является форма Ульма-Кусси-Базанта: ^[2]

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,\quad {\text{or}}\quad f:=\rho +{\bar {\lambda }}(\theta )~\left(\xi -{\bar {B}}\right)=0}$

где

${\displaystyle {\bar {\lambda }}:={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~{\cfrac {u(\theta )+v(\theta )}{w(\theta )}}~;~~{\bar {B}}:={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{b}-\sigma _{t}}}\right]}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{t}:=&{\cfrac {{\sqrt {3}}~(\sigma _{b}-\sigma _{t})}{2\sigma _{b}-\sigma _{t}}}\\r_{c}:=&{\cfrac {{\sqrt {3}}~\sigma _{c}~(\sigma _{b}-\sigma _{t})}{(\sigma _{c}+\sigma _{t})\sigma _{b}-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\end{aligned}}}$

Величины интерпретируются как коэффициенты трения. Для того чтобы поверхность текучести была выпуклой, критерий текучести Виллама-Варнке требует, чтобы и . ${\displaystyle r_{c},r_{t}}$ ${\displaystyle 2~r_{t}\geq r_{c}\geq r_{t}/2}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq {\cfrac {\pi }{3}}}$

Смотрите также

• Выход (инжиниринг)
• Поверхность текучести
• Пластичность (физика)

Ссылки

1. Willam, KJ и Warnke, EP (1975). «Конститутивные модели для трехосного поведения бетона». Труды Международной ассоциации по мостостроению и строительной технике , том 19, стр. 1–30.
2. Ульм, Ф. Дж., Кусси, О., Базант, З. (1999) Пожар в «туннеле». I: Химопластическое размягчение в быстро нагреваемом бетоне. Журнал инженерной механики ASCE, т. 125, № 3, стр. 272-282.

• Чен, В. Ф. (1982). Пластичность железобетона . McGraw Hill. Нью-Йорк.

Внешние ссылки

• Каспар Виллам и Э. П. Варнке (1974). Конститутивная модель для трехосного поведения бетона
• Палко, Дж. Л. (1993). Интерактивная модель надежности для керамики с нитевидной закалкой
• Пожар в «Туннеле». I: Химопластическое размягчение в быстро нагреваемом бетоне Франца-Йозефа Ульма, Оливье Кусси и Зденека П. Базанта.