Гипотеза Эллиотта–Халберстама

О распределении простых чисел в арифметических прогрессиях

В теории чисел гипотеза Эллиотта–Халберстама — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях . Она имеет множество приложений в теории решета . Она названа в честь Питера ДТА Эллиотта и Хайни Халберстама , которые сформулировали конкретную версию гипотезы в 1968 году. ^[1]

Одна из версий гипотезы выглядит следующим образом, и ее формулировка требует некоторых обозначений. Пусть , функция подсчета простых чисел , обозначает количество простых чисел, меньших или равных . Если — положительное целое число и взаимно просто с , то пусть обозначает количество простых чисел, меньших или равных , которые равны по модулю . Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях тогда говорит нам, что ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \pi (x;q,a)\sim {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\ \ (x\rightarrow \infty )}$

где - функция Эйлера . Если мы затем определим функцию ошибки ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle E(x;q)=\max _{{\text{gcd}}(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|}$

где максимум берется по всем взаимно простым с , то гипотеза Эллиотта–Халберстама — это утверждение, что для любого и существует константа такая, что ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \theta <1}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}x}}}$

для всех . ${\displaystyle x>2}$

Эта гипотеза была доказана для всех Энрико Бомбьери ^[2] и А.И. Виноградовым ^[3] ( теорема Бомбьери–Виноградова , иногда известная просто как «теорема Бомбьери»); этот результат уже весьма полезен, являясь усредненной формой обобщенной гипотезы Римана . Известно, что гипотеза неверна в конечной точке . ^[4] ${\displaystyle \theta <1/2}$ ${\displaystyle \theta =1}$

Гипотеза Эллиотта–Халберстама имеет несколько следствий. Одним из поразительных является результат, объявленный Дэном Голдстоном , Яношем Пинцем и Джемом Йылдырымом , ^{[5] [6],} который показывает (предполагая эту гипотезу), что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года Джеймс Мейнард показал, что при условии гипотезы Эллиотта–Халберстама можно показать существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, которые отличаются не более чем на 12. ^[7] В августе 2014 года группа Polymath показала, что при условии обобщенной гипотезы Эллиотта–Халберстама можно показать существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, которые отличаются не более чем на 6. ^[8] Без предположения какой-либо формы гипотезы наименьшая доказанная граница составляет 246.

Первоначальная гипотеза

На самом деле, первоначальная гипотеза Эллиотта-Халберстама не сформулирована четко в их статье ^[1] , но может быть выведена из (1) на странице 59 и комментария над теоремой на странице 62. В ней говорится, что

${\displaystyle \sum _{q\leq x}\varphi (q)\max _{(h,q)=1}\left(\pi (x,q,h)-{\frac {\operatorname {li} x}{\varphi (q)}}\right)^{2}\ll {\frac {x^{2}}{\log ^{A}x}}}$

при условии , что , где обозначает логарифмический интеграл , а функция Эйлера. ${\displaystyle X<x(\log x)^{-A-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {li} x}$ ${\displaystyle \varphi }$

Смотрите также

• Теорема Барбана–Дэвенпорта–Халберстама
• Сексуальный премьер
• Теорема Зигеля–Вальфиса

Примечания

1. Elliott, Peter DTA; Halberstam, Heini (1970). «Гипотеза в теории простых чисел». Symposia Mathematica, т. IV (INDAM, Рим, 1968/69) . Лондон: Academic Press. стр. 59–72. MR  0276195.
2. Бомбьери, Энрико (1965). «О большом решете». Mathematika . 12 (2): 201–225. doi :10.1112/s0025579300005313. MR  0197425.
3. Виноградов, Аскольд Иванович (1965). «Гипотеза плотности для L-рядов Дирихле». Изв. АН СССР. Сер. Матем. (на русском языке). 29 (4): 903–934. МР  0197414.Исправление. там же. 30 (1966), страницы 719–720. (Русский)
4. Фридлендер, Джон; Грэнвилл, Эндрю (1989). «Ограничения равнораспределения простых чисел I». Annals of Mathematics . 129 (2): 363–382. doi :10.2307/1971450. JSTOR  1971450. MR  0986796.
5. Goldston, DA; Pintz, J.; Yıldırım, CY (2009). «Primes in Tuples I». Annals of Mathematics . Вторая серия. 170 (2): 819–862. arXiv : math.NT/0508185 . doi : 10.4007/annals.2009.170.819 .
   Goldston, DA; Motohashi, Y.; Pintz, J.; Yıldırım, CY (апрель 2006 г.). «Существуют небольшие промежутки между простыми числами». Труды Японской академии, Серия A, Математические науки . 82 (4): 61–65. arXiv : math.NT/0505300 . doi : 10.3792/pjaa.82.61 .
   Goldston, DA; Graham, SW; Pintz, J.; Yıldırım, CY (2009). «Маленькие промежутки между простыми числами или почти простыми числами». Transactions of the American Mathematical Society . 361 (10): 5285–5330. arXiv : math.NT/0506067 . doi : 10.1090/S0002-9947-09-04788-6 .
6. Soundararajan, Kannan (2007). «Маленькие промежутки между простыми числами: работа Голдстона–Пинца–Йылдырыма». Бюллетень Американского математического общества . 44 (1): 1–18. arXiv : math/0605696 . doi :10.1090/S0273-0979-06-01142-6. MR  2265008. S2CID  119611838.
7. Мейнард, Джеймс (2015). «Маленькие промежутки между простыми числами». Annals of Mathematics . 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . doi : 10.4007/annals.2015.181.1.7. MR  3272929. S2CID  55175056.
8. DHJ Polymath (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие много простых чисел». Исследования в области математических наук . 1 (12). arXiv : 1407.4897 . doi : 10.1186/s40687-014-0012-7 . MR  3373710. S2CID  119699189.