Функционал Мамфорда-Шаха

Функционал Мамфорда–Шаха — это функционал , который используется для установления критерия оптимальности для сегментации изображения на подобласти. Изображение моделируется как кусочно-гладкая функция. Функционал штрафует расстояние между моделью и входным изображением, отсутствие гладкости модели в подобластях и длину границ подобластей. Минимизируя функционал, можно вычислить наилучшую сегментацию изображения. Функционал был предложен математиками Дэвидом Мамфордом и Джаянтом Шахом в 1989 году. ^[1]

Определение функционала Мамфорда–Шаха

Рассмотрим изображение I с областью определения D , назовем J моделью изображения и назовем B границами, которые связаны с моделью: функционал Мамфорда–Шаха E [ J , B ] определяется как

E[J,B]=\alpha \int _{D}(I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,\mathrm {d} {\vec {x}}+\beta \int _{D/B}{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\cdot {\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\,\mathrm {d} {\vec {x}}+\gamma \int _{B}ds

Оптимизация функционала может быть достигнута путем его аппроксимации другим функционалом, как это предложили Амброзио и Торторелли. ^[2]

Минимизация функционала

Предел Амброзио–Торторелли

Амброзио и Торторелли ^[2] показали, что функционал Мамфорда–Шаха E [ J , B ] может быть получен как предел семейства энергетических функционалов E [ J , z ,ε ], где граница B заменена непрерывной функцией z , величина которой указывает на наличие границы. Их анализ показывает, что функционал Мамфорда–Шаха имеет четко определенный минимум. Он также дает алгоритм для оценки минимума.

Определяемые ими функционалы имеют следующий вид:

E[J,z;\varepsilon ]=\alpha \int (I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,\mathrm {d } {\vec {x}}+\beta \int z({\vec {x}})|{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})|^{2}\,\ mathrm {d} {\vec {x}}+\gamma \int \{\varepsilon |{\vec {\nabla }}z({\vec {x}})|^{2}+\varepsilon ^{- 1}\phi ^{2}(z({\vec {x}}))\}\,\mathrm {d} {\vec {x}}

где ε > 0 — (малый) параметр, а ϕ ( z ) — потенциальная функция. Два типичных выбора для ϕ ( z ) — это

$\phi _{1}(z)=(1-z^{2})/2\quad z\in [-1,1].$ Этот выбор связывает множество ребер B с множеством точек z таким образом, что ϕ ₁ ( z ) ≈ 0
$\phi _{2}(z)=z(1-z)\quad z\in [0,1].$ Этот выбор связывает множество ребер B с множеством точек z таким образом, что ϕ ₂ ( z ) ≈ 1/4

Нетривиальным шагом в их выводе является доказательство того, что при последние два члена функции энергии (т.е. последний интегральный член функционала энергии) сходятся к интегралу множества ребер ∫ _B d s . $\epsilon \to 0$

Функционал энергии E [ J , z ,ε] можно минимизировать методами градиентного спуска , гарантируя сходимость к локальному минимуму.

Амброзио , Фуско и Хатчинсон установили результат, дающий оптимальную оценку размерности Хаусдорфа сингулярного множества минимизаторов энергии Мамфорда-Шаха. ^[3]

Минимизация путем разбиения на одномерные задачи

Функционал Мамфорда-Шаха может быть разделен на связанные одномерные подзадачи. Подзадачи решаются точно с помощью динамического программирования. ^[4]

Смотрите также

Примечания

^ Мамфорд и Шах (1989).
^ ab См. Амброзио и Торторелли (1990).
^ Амбросио, Фуско и Хатчинсон (2003)
^ Хом, Сторат и Вайнманн (2015)

Ссылки

Камилло, Де Леллис ; Фокарди, Маттео; Руффини, Берардо (октябрь 2013 г.), «Заметка о хаусдорфовой размерности сингулярного множества для минимизаторов энергии Мамфорда – Шаха», Advances in Calculus of Variation , 7 (4): 539–545, arXiv : 1403.3388 , doi : 10.1515/acv-2013-0107, ISSN 1864-8258, S2CID 2040612, Збл 1304.49091
Амброзио, Луиджи ; Фуско, Никола ; Хатчинсон, Джон Э. (2003), «Высшая интегрируемость градиента и размерность сингулярного множества для минимизаторов функционала Мамфорда-Шаха», Вариационное исчисление и уравнения в частных производных , 16 (2): 187–215, doi :10.1007/s005260100148, S2CID 55078333, Zbl 1047.49015
Амброзио, Луиджи ; Торторелли, Винченцо Мария (1990), «Аппроксимация функционалов, зависящих от скачков, эллиптическими функционалами с помощью Γ-сходимости», Сообщения по чистой и прикладной математике , 43 (8): 999–1036, doi :10.1002/cpa.3160430805, MR 1075076, Zbl 0722.49020
Амброзио, Луиджи ; Фуско, Никола ; Паллара, Диего (2000). Функции ограниченной вариации и проблемы свободного разрыва . Oxford Mathematical Monographs. Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press . С. 434. ISBN 9780198502456. Збл 0957.49001.
Мамфорд, Дэвид ; Шах, Джайант (1989), «Оптимальные аппроксимации кусочно-гладкими функциями и связанные с ними вариационные задачи» (PDF) , Сообщения по чистой и прикладной математике , XLII (5): 577–685, doi :10.1002/cpa.3160420503, MR 0997568, Zbl 0691.49036

Hohm, Kilian; Storath, Martin; Weinmann, Andreas (2015), "Алгоритмическая структура для регуляризации Мамфорда–Шаха обратных задач в визуализации" (PDF) , Обратные задачи , 31 (11): 115011, Bibcode :2015InvPr..31k5011H, doi :10.1088/0266-5611/31/11/115011, S2CID 15365352