Смешанный тензор

Тензор, имеющий как ковариантные, так и контравариантные индексы

В тензорном анализе смешанный тензор — это тензор , который не является ни строго ковариантным , ни строго контравариантным ; по крайней мере один из индексов смешанного тензора будет нижним индексом (ковариантным), а по крайней мере один из индексов будет верхним индексом (контрaвариантным).

Смешанный тензор типа или валентности , также обозначаемый как «тип ( M , N )», где M > 0 и N > 0, — это тензор, имеющий M контравариантных индексов и N ковариантных индексов. Такой тензор можно определить как линейную функцию, которая отображает ( M + N )-кортеж из M единичных форм и N векторов в скаляр . ${\textstyle {\binom {M}{N}}}$

Изменение типа тензора

Рассмотрим следующий октет связанных тензоров: первый из них ковариантный, последний контравариантный, а остальные смешанные. В обозначениях эти тензоры отличаются друг от друга ковариантностью/контравариантностью своих индексов. Заданный контравариантный индекс тензора может быть понижен с помощью метрического тензора g _μν , а заданный ковариантный индекс может быть повышен с помощью обратного метрического тензора g ^μν . Таким образом, g _μν можно было бы назвать оператором понижения индекса , а g ^μν — оператором повышения индекса . $${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.}$$

В общем случае ковариантный метрический тензор, свернут с тензором типа ( M , N ), дает тензор типа ( M − 1, N + 1), тогда как его контравариантный обратный тензор, свернут с тензором типа ( M , N ), дает тензор типа ( M + 1, N − 1).

Примеры

Например, смешанный тензор типа (1, 2) можно получить, повысив индекс ковариантного тензора типа (0, 3), где — тот же тензор, что и , поскольку δ Кронекера действует здесь как единичная матрица. $${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },}$$ ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }}$ ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }}$ $${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },}$$

Так же, $${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },}$$ $${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },}$$ $${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },}$$ $${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.}$$

Повышение индекса метрического тензора эквивалентно свёртыванию его с обратным, что даёт дельту Кронекера , поэтому любая смешанная версия метрического тензора будет равна дельте Кронекера, которая также будет смешанной. $${\displaystyle g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu },}$$

Смотрите также

• Ковариантность и контравариантность векторов
• Обозначение Эйнштейна
• исчисление Риччи
• Тензор (внутреннее определение)
• Двухточечный тензор

Ссылки

• Округ Колумбия Кей (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума, МакГроу Хилл (США). ISBN 0-07-033484-6.
• Уилер, JA; Мизнер, C.; Торн, KS (1973). "§3.5 Работа с тензорами". Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 85–86. ISBN 0-7167-0344-0.
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Старинные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.

Внешние ссылки

• Индекс Гимнастика, Вольфрам Альфа