Линейный пролет

В линейной алгебре порожденное подпространство

Заштрихованная плоскость — это линейная оболочка u и v в R ³ .

В математике линейная оболочка (также называемая линейной оболочкой ^[1] или просто пролетом ) набора S векторов ( из векторного пространства ), обозначаемая пролетом ( S ) , ^[2] определяется как набор всех линейных комбинаций векторов в S . ^[3] Например, два линейно независимых вектора охватывают плоскость . Линейный диапазон можно охарактеризовать либо как пересечение всех линейных подпространств , содержащих S , либо как наименьшее подпространство, содержащее S. Таким образом, линейная оболочка набора векторов сама по себе является векторным пространством. Промежутки можно обобщить на матроиды и модули .

Чтобы выразить, что векторное пространство V является линейным диапазоном подмножества S , обычно используются следующие фразы: S охватывает V , S является охватывающим набором V , V охватывается /создается S , или S является генератором . или генераторная установка V.

Определение

Учитывая векторное пространство V над полем K , диапазон множества S векторов (не обязательно конечного ) определяется как пересечение W всех подпространств V , содержащих S. W называется подпространством , охватываемым S или векторами из S. И наоборот, S называется охватывающим множеством W , и мы говорим, что S охватывает W.

Альтернативно, диапазон S может быть определен как набор всех конечных линейных комбинаций элементов (векторов) S , что следует из приведенного выше определения. ^{[4] [5] [6] [7]}

$${\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.}$$

В случае бесконечного S бесконечные линейные комбинации (т. е. когда комбинация может включать бесконечную сумму, при условии, что такие суммы определены каким-либо образом, например, в банаховом пространстве ) исключаются из определения; обобщение , допускающее это , не эквивалентно.

Примеры

Реальное векторное пространство имеет {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0 , 1)} в качестве остовного множества. Этот конкретный связующий набор также является базисом . Если бы (-1, 0, 0) было заменено на (1, 0, 0), это также сформировало бы канонический базис . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Другой охватывающий набор для того же пространства определяется как {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1 ⁄ 2 , 3), (1, 1, 1)}, но этот набор не является базисом, так как линейно зависима .

Набор {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } не является охватывающим набором , поскольку его диапазон представляет собой пространство всех векторов, в которых последний компонент равен нулю. Это пространство также охватывает множество {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, поскольку (1, 1, 0) представляет собой линейную комбинацию (1, 0, 0) и (0, 0, 0). 1, 0). Таким образом, натянутое пространство не может быть отождествлено с удалением третьих компонент, равных нулю. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Пустой набор является охватывающим набором {(0, 0, 0)}, поскольку пустой набор является подмножеством всех возможных векторных пространств в , а {(0, 0, 0)} является пересечением всех этих векторов. пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Набор мономов x ⁿ , где n — неотрицательное целое число, охватывает пространство многочленов .

Теоремы

Эквивалентность определений

Набор всех линейных комбинаций подмножества S из V , векторного пространства над K , является наименьшим линейным подпространством V , содержащим S.

Доказательство. Сначала мы докажем, что область S является подпространством V . Поскольку S является подмножеством V , нам нужно только доказать существование нулевого вектора 0 в диапазоне S , что диапазон S замкнут при сложении и что диапазон S замкнут при скалярном умножении. Полагая , тривиально, что нулевой вектор V существует в промежутке S , поскольку . Сложение двух линейных комбинаций S также дает линейную комбинацию S :, где все , и умножение линейной комбинации S на скаляр даст еще одну линейную комбинацию S :. Таким образом, диапазон S является подпространством V . ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{i},\mu _{i}\in K}$ ${\displaystyle c\in K}$ ${\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$

Предположим, что W — линейное подпространство V , содержащее S. Отсюда следует, что , поскольку каждое v _i является линейной комбинацией S (тривиально). Поскольку W замкнуто относительно сложения и скалярного умножения, то каждая линейная комбинация должна содержаться в W . Таким образом, диапазон S содержится в каждом подпространстве V , содержащем S , и пересечение всех таких подпространств или наименьшее такое подпространство равно множеству всех линейных комбинаций S. ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$

Размер связующего набора не меньше размера линейно независимого набора.

Каждое остовное множество S векторного пространства V должно содержать по крайней мере столько же элементов, сколько любой линейно независимый набор векторов из V .

Доказательство. Пусть – остовное множество и – линейно независимый набор векторов из V . Мы хотим это показать . ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ ${\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}$ ${\displaystyle m\geq n}$

Поскольку S охватывает V , то оно также должно охватывать V и быть линейной комбинацией S. Таким образом , он линейно зависим, и мы можем удалить из S один вектор , который представляет собой линейную комбинацию других элементов. Этот вектор не может быть каким-либо из w _i , поскольку W линейно независим. Результирующим набором является , который является охватывающим набором V . Мы повторяем этот шаг n раз, где результирующий набор после p -го шага представляет собой объединение и m - p векторов из S . ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{1}}$ ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}$

До n- го шага гарантируется _, что всегда будет некоторое количество vi _, которое нужно удалить из S, для каждого сопряженного к v , и, таким образом, существует по крайней мере столько же vi , сколько имеется w _i , т. е. . Чтобы убедиться в этом, предположим от противного, что . Тогда на m- м шаге у нас есть набор , и мы можем присоединить еще один вектор . Но, поскольку является охватывающим набором V , является линейной комбинацией . Это противоречие, поскольку W линейно независима. ${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$

Охватывающее множество можно свести к базису

Пусть V — конечномерное векторное пространство. Любой набор векторов, охватывающий V , можно свести к базису для V путем отбрасывания векторов, если это необходимо (т. е. если в наборе есть линейно зависимые векторы). Если выбранная аксиома верна, это верно без предположения, что V имеет конечную размерность. Это также указывает на то, что базис является минимальным остовным множеством, когда V конечномерно.

Обобщения

Обобщая определение диапазона точек в пространстве, подмножество X основного набора матроида называется охватывающим набором, если ранг X ^равен рангу всего основного ^{набора .}

Определение векторного пространства также можно обобщить на модули. ^{[8] [9]} Учитывая R -модуль A и набор элементов a ₁ , ..., an _n из A , подмодуль A, натянутый на a ₁ , ..., an _n, является суммой циклических модулей.

$${\displaystyle Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}}$$

Ra _iAA

Замкнутый линейный диапазон (функциональный анализ)

В функциональном анализе замкнутая линейная оболочка набора векторов — это минимальное замкнутое множество, содержащее линейную оболочку этого набора.

Предположим, что X — нормированное векторное пространство, и пусть E — любое непустое подмножество X. Замкнутая линейная оболочка E , обозначаемая или , является пересечением всех замкнутых линейных подпространств X , которые содержат E . ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}$

Одна из математических формулировок этого вопроса такова:

${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.}$

Замкнутая линейная оболочка множества функций x ⁿ на интервале [0, 1], где n — целое неотрицательное число, зависит от используемой нормы. Если используется норма L2 , ^то замкнутая линейная оболочка представляет собой гильбертово пространство функций , интегрируемых с квадратом на отрезке. Но если использовать максимальную норму , замкнутая линейная оболочка будет пространством непрерывных функций на отрезке. В любом случае замкнутая линейная область содержит функции, которые не являются полиномами и поэтому не входят в саму линейную область. Однако мощность множества функций в замкнутой линейной области равна мощности континуума , которая равна мощности множества полиномов.

Примечания

Линейная оболочка множества плотна в замкнутой линейной оболочке. Более того, как указано в лемме ниже, замкнутая линейная оболочка действительно является замыканием линейной оболочки.

Замкнутые линейные промежутки важны при работе с замкнутыми линейными подпространствами (которые сами по себе очень важны, см. лемму Рисса ).

Полезная лемма

Пусть X — нормированное пространство, а E — любое непустое подмножество X. Затем

1. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$— замкнутое линейное подпространство X , содержащее E ,
2. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}}$, а именно. это закрытие , ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (E)}$
3. ${\displaystyle E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.}$

(Поэтому обычный способ найти замкнутую линейную промежутку — сначала найти линейную промежутку, а затем замыкание этой линейной промежутка.)

Смотрите также

• Аффинная оболочка
• Коническая комбинация
• Выпуклая оболочка

Цитаты

1. Энциклопедия математики (2020). Линейный корпус.
2. Экслер (2015), стр. 29-30, §§ 2.5, 2.8.
3. Экслер (2015) с. 29, § 2.7
4. Хефферон (2020) с. 100, гл. 2, Определение 2.13.
5. Экслер (2015), стр. 29-30, §§ 2.5, 2.8.
6. Роман (2005), стр. 41-42.
7. MathWorld (2021) Пространство векторного пространства.
8. Роман (2005) с. 96, гл. 4
9. Лейн и Биркгоф (1999), с. 193, гл. 6

Источники

Учебники

• Экслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра сделана правильно (3-е изд.). Спрингер . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Ортогональное издание. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Лейн, Сондерс Мак ; Биркгоф, Гарретт (1999) [1988]. Алгебра (3-е изд.). Издательство AMS Челси . ISBN 978-0821816462.
• Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра (2-е изд.). Спрингер . ISBN 0-387-24766-1.
• Ринн, Брайан П.; Янгсон, Мартин А. (2008). Линейный функциональный анализ . Спрингер. ISBN 978-1848000049.
• Лэй, Дэвид К. (2021) Линейная алгебра и ее приложения (6-е издание) . Пирсон.

Интернет

• Ланкхэм, Исайя; Нахтергаэле, Бруно ; Шиллинг, Энн (13 февраля 2010 г.). «Линейная алгебра — как введение в абстрактную математику» (PDF) . Калифорнийский университет в Дэвисе . Проверено 27 сентября 2011 г.
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Векторный космический пролет». Математический мир . Проверено 16 февраля 2021 г.
• «Линейный корпус». Энциклопедия математики . 5 апреля 2020 г. Проверено 16 февраля 2021 г.

Внешние ссылки

• Линейные комбинации и диапазон: понимание линейных комбинаций и диапазонов векторов, khanacademy.org.
• Сандерсон, Грант (6 августа 2016 г.). «Линейные комбинации, диапазон и базисные векторы». Сущность линейной алгебры. Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. – на YouTube .