Шум Джонсона – Найквиста

Электронный шум из-за тепловой вибрации внутри проводника

Все эти три схемы эквивалентны: (A) резистор при ненулевой температуре, имеющий шум Джонсона; (B) Бесшумный резистор, включенный последовательно с источником напряжения , создающим шум (т. е. эквивалентная схема Тевенена); (C) Бесшумное сопротивление, подключенное параллельно источнику тока , создающему шум (т. е. эквивалентная схема Нортона).

Шум Джонсона-Найквиста ( тепловой шум , шум Джонсона или шум Найквиста ) — это электронный шум , создаваемый тепловым возбуждением носителей заряда (обычно электронов ) внутри электрического проводника в состоянии равновесия, которое происходит независимо от любого приложенного напряжения . Тепловой шум присутствует во всех электрических цепях , а в чувствительном электронном оборудовании (например, радиоприемниках ) может заглушать слабые сигналы и может быть ограничивающим фактором чувствительности электроизмерительных приборов. Тепловой шум увеличивается с ростом температуры. Некоторое чувствительное электронное оборудование, такое как приемники радиотелескопов, охлаждается до криогенных температур, чтобы уменьшить тепловой шум в их цепях. Общий статистический физический вывод этого шума называется теоремой о флуктуации-диссипации , где для характеристики среды используется обобщенный импеданс или обобщенная восприимчивость .

Тепловой шум в идеальном резисторе примерно белый , что означает, что спектральная плотность мощности почти постоянна во всем частотном спектре , но затухает до нуля на чрезвычайно высоких частотах ( терагерц для комнатной температуры ). При ограничении конечной полосы пропускания тепловой шум имеет почти гауссово распределение амплитуды . ^[1]

История

Этот тип шума был обнаружен и впервые измерен Джоном Б. Джонсоном в Bell Labs в 1926 году. ^{[2] [3]} Он описал свои открытия Гарри Найквисту , также из Bell Labs, который смог объяснить результаты. ^[4]

Вывод

Как заявил Найквист в своей статье 1928 года, сумма энергии в нормальных режимах электрических колебаний будет определять амплитуду шума. Найквист использовал закон равнораспределения Больцмана и Максвелла. Используя концепцию потенциальной энергии и гармонических осцилляторов закона равнораспределения, ^[5]

${\displaystyle \left\langle H\right\rangle =k_{\rm {B}}T}$

где – плотность мощности шума в (Вт/Гц), – постоянная Больцмана и – температура . Умножение уравнения на полосу пропускания дает результат в виде мощности шума. ${\displaystyle \left\langle H\right\rangle }$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle N=k_{\rm {B}}T\Delta f}$

где N — мощность шума, а Δf — полоса пропускания .

Шумовое напряжение и мощность

Тепловой шум отличается от дробового шума , который состоит из дополнительных флуктуаций тока, возникающих при подаче напряжения и начале протекания макроскопического тока. В общем случае приведенное выше определение применимо к носителям заряда в любом типе проводящей среды (например, ионам в электролите ), а не только к резисторам . Его можно смоделировать с помощью источника напряжения, представляющего шум неидеального резистора, включенного последовательно с идеальным безшумовым резистором.

Односторонняя спектральная плотность мощности или отклонение напряжения (среднеквадратичное) на герц полосы пропускания определяется выражением

${\displaystyle {\overline {v_{n}^{2}}}=4k_{\text{B}}TR}$

где k _B — постоянная Больцмана в джоулях на кельвин , T — абсолютная температура резистора в кельвинах, а R — номинал резистора в омах (Ом). Использование этого уравнения для быстрого расчета при комнатной температуре:

${\displaystyle {\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}=0.13{\sqrt {R}}~\mathrm {nV} /{\sqrt {\mathrm {Hz} }}.}$

Например, резистор сопротивлением 1 кОм при температуре 300 К имеет

${\displaystyle {\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}={\sqrt {4\cdot 1.38\cdot 10^{-23}~\mathrm {J} /\mathrm {K} \cdot 300~\mathrm {K} \cdot 1000~\Omega }}=4.07\cdot 10^{-9}~\mathrm {V} /{\sqrt {\mathrm {Hz} }}.}$

Для заданной полосы пропускания среднеквадратичное значение (RMS) напряжения определяется выражением ${\displaystyle v_{n}}$

${\displaystyle v_{n}={\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}{\sqrt {\Delta f}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\Delta f}}}$

где Δf — полоса пропускания в герцах, в которой измеряется шум. Для резистора сопротивлением 1 кОм при комнатной температуре и полосе пропускания 10 кГц среднеквадратичное шумовое напряжение составляет 400 нВ. ^[6] Следует запомнить полезное эмпирическое правило: сопротивление 50 Ом при полосе пропускания 1 Гц соответствует шуму 1 нВ при комнатной температуре.

Резистор при коротком замыкании рассеивает мощность шума

${\displaystyle P={v_{n}^{2}}/R=4k_{\text{B}}\,T\Delta f.}$

Шум, создаваемый резистором, может передаваться на остальную схему; максимальная передача мощности шума происходит при согласовании импедансов , когда эквивалентное сопротивление Тевенена оставшейся цепи равно шумогенерирующему сопротивлению. В этом случае каждый из двух участвующих резисторов рассеивает шум как в себе, так и в другом резисторе. Поскольку на любом из этих резисторов падает только половина напряжения источника, результирующая мощность шума определяется выражением

${\displaystyle P=k_{\text{B}}\,T\Delta f}$

где P — мощность теплового шума в ваттах. Обратите внимание, что это не зависит от сопротивления, создающего шум.

Шумовой ток

Источник шума также можно смоделировать источником тока, включенным параллельно с резистором. Взятие нортоновского эквивалента источника напряжения соответствует делению шумового напряжения на R. Это дает среднеквадратичное значение источника тока как:

${\displaystyle i_{n}={v_{n} \over R}={\sqrt {{4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.}$

Мощность шума в децибелах

Мощность сигнала часто измеряется в дБм ( децибелы относительно 1 милливатт ). Из приведенного выше уравнения мощность шума в резисторе при комнатной температуре в дБм равна:

${\displaystyle P_{\mathrm {dBm} }=10\ \log _{10}(k_{\text{B}}T\Delta f/1\,{\textrm {mW}})\ {\textrm {dBm}}.}$

При комнатной температуре (300 К) это примерно

${\displaystyle P_{\mathrm {dBm} }=-173.8\ {\textrm {dBm}}+10\ \log _{10}(\Delta f{\text{ in Hz}})\ {\textrm {dB}}.}$^{[7] [8] : 260}

Используя это уравнение, легко рассчитать мощность шума для различных полос пропускания:

Тепловой шум на конденсаторах

Идеальные конденсаторы, как устройства без потерь, не имеют теплового шума, но, как обычно используется с резисторами в RC-цепи , эта комбинация имеет так называемый шум kTC . Шумовая полоса пропускания RC-цепи равна Δ f = 1/(4 RC ). ^[9] Когда это подставляется в уравнение теплового шума, результат имеет необычно простую форму, поскольку значение сопротивления ( R ) выпадает из уравнения. Это связано с тем, что более высокое R уменьшает полосу пропускания настолько же, насколько увеличивает шум.

Среднеквадратичное и среднеквадратичное напряжение шума, генерируемое в таком фильтре, составляют: ^[10]

${\displaystyle {\overline {v_{n}^{2}}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}=k_{\text{B}}T/C}$

${\displaystyle v_{n}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}.}$

Шумовой заряд равен произведению емкости на напряжение:

${\displaystyle Q_{n}=Cv_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}}$

${\displaystyle {\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}{\overline {v_{n}^{2}}}=C^{2}k_{\text{B}}T/C=k_{\text{B}}TC}$

Этот зарядовый шум является источником термина « шум kTC ».

Несмотря на независимость от номинала резистора, 100% шума kTC возникает в резисторе. Следовательно, если резистор и конденсатор имеют разные температуры, в приведенном выше расчете следует использовать только температуру резистора.

Крайним случаем является предел нулевой полосы пропускания, называемый шумом сброса , остающимся на конденсаторе при размыкании идеального переключателя. Сопротивление бесконечно, но формула по-прежнему применима; однако теперь среднеквадратичное значение следует интерпретировать не как среднее значение по времени, а как среднее значение по многим таким событиям сброса, поскольку напряжение постоянно, когда полоса пропускания равна нулю. В этом смысле шум Джонсона RC-цепи можно рассматривать как неотъемлемый эффект термодинамического распределения числа электронов на конденсаторе, даже без участия резистора.

Шум вызван не самим конденсатором, а термодинамическими колебаниями количества заряда на конденсаторе. Как только конденсатор отключается от проводящей цепи, термодинамические колебания фиксируются на случайном значении со стандартным отклонением , как указано выше. Шум сброса емкостных датчиков часто является ограничивающим источником шума, например, в датчиках изображения .

Любая система, находящаяся в тепловом равновесии , имеет переменные состояния со средней энергией кТ /2 на степень свободы . Используя формулу для энергии конденсатора ( E  = ½ CV ² ), можно увидеть, что средняя энергия шума на конденсаторе также равна ½ C ( kT / C ) = kT /2. Тепловой шум конденсатора может быть получен из этого соотношения без учета сопротивления.

Обобщенные формы

Описанный выше шум напряжения представляет собой частный случай чисто резистивного компонента на низких частотах. В целом, термоэлектрический шум по-прежнему связан с резистивным откликом во многих более общих электрических случаях, как следствие теоремы о флуктуации-диссипации . Ниже отмечены различные обобщения. Все эти обобщения имеют общее ограничение: они применяются только в тех случаях, когда рассматриваемый электрический компонент является чисто пассивным и линейным. ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$

Реактивные сопротивления

В оригинальной статье Найквиста также представлен обобщенный шум для компонентов, имеющих частично реактивную реакцию, например, источников, содержащих конденсаторы или катушки индуктивности. ^[4] Такой компонент можно описать частотно-зависимым комплексным электрическим сопротивлением . Формула для спектральной плотности мощности последовательного шумового напряжения: ${\displaystyle Z(f)}$

${\displaystyle S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].}$

Функция просто равна 1, за исключением очень высоких частот или вблизи абсолютного нуля (см. ниже). ${\displaystyle \eta (f)}$

Действительная часть импеданса, как правило, зависит от частоты, поэтому шум Джонсона-Найквиста не является белым шумом. Среднеквадратичное напряжение шума в диапазоне частот можно найти путем интегрирования спектральной плотности мощности: ${\displaystyle \operatorname {Re} [Z(f)]}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\sqrt {\langle v_{n}^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}}$.

В качестве альтернативы для описания шума Джонсона можно использовать параллельный шумовой ток, его спектральная плотность мощности равна

${\displaystyle S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].}$

где электрическая проводимость ; Обратите внимание, что ${\displaystyle Y(f)=1/Z(f)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} [Y(f)]=\operatorname {Re} [Z(f)]/|Z(f)|^{2}}$

Квантовые эффекты на высоких частотах или низких температурах

Найквист также отметил, что квантовые эффекты возникают при очень высоких частотах или при очень низких температурах, близких к абсолютному нулю. ^[4] Функция в общем случае определяется формулой ^[11] ${\displaystyle \eta (f)}$

${\displaystyle \eta (f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {hf}{k_{\text{B}}T}},}$

где – постоянная Планка , – повышающий коэффициент. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \eta (f)}$

На очень высоких частотах функция начинает экспоненциально убывать до нуля. При комнатной температуре этот переход происходит в терагерцовом диапазоне, что намного превышает возможности традиционной электроники, поэтому его можно использовать для работы обычной электроники. ${\displaystyle f\gtrsim k_{\text{B}}T/h}$ ${\displaystyle \eta (f)}$ ${\displaystyle \eta (f)=1}$

Связь с законом Планка

Формула Найквиста по существу такая же, как и формула, полученная Планком в 1901 году для электромагнитного излучения абсолютно черного тела в одном измерении, т. е. это одномерная версия закона Планка об излучении абсолютно черного тела . ^[12] Другими словами, горячий резистор будет создавать электромагнитные волны в линии передачи точно так же, как горячий объект создает электромагнитные волны в свободном пространстве.

В 1946 году Роберт Х. Дике уточнил эту зависимость ^[13] и связал ее со свойствами антенн, в частности с тем фактом, что средняя апертура антенны во всех различных направлениях не может быть больше, чем , где λ - длина волны. Это происходит из-за различной частотной зависимости трехмерного и одномерного закона Планка. ${\displaystyle \lambda ^{2}/(4\pi )}$

Многополюсные электрические сети

Ричард К. Твисс распространил формулы Найквиста на многопортовые пассивные электрические сети, включая невзаимные устройства, такие как циркуляторы и изоляторы . ^[14] Тепловой шум появляется на каждом порту и может быть описан как случайные последовательные источники напряжения, включенные последовательно с каждым портом. Случайные напряжения на разных портах могут быть коррелированы, а их амплитуды и корреляции полностью описываются набором функций кросс-спектральной плотности, связывающих различные шумовые напряжения.

${\displaystyle S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})}$

где – элементы матрицы импеданса . Опять же, альтернативное описание шума заключается в использовании параллельных источников тока, применяемых к каждому порту. Их кросс-спектральная плотность определяется выражением ${\displaystyle Z_{mn}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

${\displaystyle S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})}$

где матрица проводимости . ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}}$

Сплошные электродинамические среды

Полное обобщение шума Найквиста можно найти в флуктуационной электродинамике, которая описывает плотность шумового тока внутри сплошных сред с диссипативным откликом в функции непрерывного отклика, такой как диэлектрическая проницаемость или магнитная проницаемость . Уравнения флуктуационной электродинамики обеспечивают общую основу для описания как шума Джонсона – Найквиста, так и излучения черного тела в свободном пространстве . ^[15]

Смотрите также

• Теорема о флуктуации-диссипации
• Шум выстрела
• Розовый шум
• Уравнение Ланжевена
• Подъем над термиком

Рекомендации

1. Джон Р. Барри; Эдвард А. Ли; Дэвид Г. Мессершмитт (2004). Цифровые коммуникации. Спринтер. п. 69. ИСБН 9780792375487.
2. Аноним (1927). «Протокол собрания в Филадельфии от 28, 29, 30 декабря 1926 г.». Физический обзор . 29 (2): 350–373. Бибкод : 1927PhRv...29..350.. doi :10.1103/PhysRev.29.350.
3. Джонсон, Дж. (1928). «Тепловое перемешивание электричества в проводниках». Физический обзор . 32 (97): 97–109. Бибкод : 1928PhRv...32...97J. дои : 10.1103/physrev.32.97.
4. Найквист, Х. (1928). «Тепловое перемешивание электрического заряда в проводниках». Физический обзор . 32 (110): 110–113. Бибкод : 1928PhRv...32..110N. дои : 10.1103/physrev.32.110.
5. Томаси, Уэйн (1994). Электронная связь. Прентис Холл PTR. ISBN 9780132200622.
6. Результат калькулятора Google для комнатной температуры 1 кОм и полосы пропускания 10 кГц.
7. Пирс, младший (1956). «Физические источники шума». Труды ИРЭ . 44 (5): 601–608. дои : 10.1109/JRPROC.1956.275123. S2CID  51667159.
8. Визмюллер, Питер (1995), Руководство по проектированию RF , Artech House, ISBN 0-89006-754-6
9. Лундберг, Кент Х. «Источники шума в объемных КМОП» (PDF) . п. 10.
10. Сарпешкар, Р.; Дельбрюк, Т.; Мид, Калифорния (ноябрь 1993 г.). «Белый шум в МОП-транзисторах и резисторах» (PDF) . Журнал IEEE «Схемы и устройства» . 9 (6): 23–29. дои : 10.1109/101.261888. S2CID  11974773.
11. Каллен, Герберт. «Необратимость и обобщенный шум». Физический обзор . 83 (1): 34.
12. Урик, виджей; Уильямс, Кейт Дж.; МакКинни, Джейсон Д. (30 января 2015 г.). Основы микроволновой фотоники. Джон Уайли и сыновья. п. 63. ИСБН 9781119029786.
13. Дикке, Р.Х. (1 июля 1946 г.). «Измерение теплового излучения на микроволновых частотах». Обзор научных инструментов . 17 (7): 268–275. Бибкод : 1946RScI...17..268D. дои : 10.1063/1.1770483 . PMID  20991753. S2CID  26658623.
14. Твисс, RQ (1955). «Теоремы Найквиста и Тевенена, обобщенные для невзаимных линейных сетей». Журнал прикладной физики . 26 (5): 599–602. Бибкод : 1955JAP....26..599T. дои : 10.1063/1.1722048.
15. Питаевский, Л.П .; Лифшиц, Э.М. (1980). «Глава VIII. Электромагнитные колебания». Статистическая физика. Часть 2: Теория конденсированного состояния . Том. 9 (1-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-7506-2636-1.

 Эта статья включает общедоступные материалы из Федерального стандарта 1037C. Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г. (в поддержку MIL-STD-188 ).

Внешние ссылки

• Шум усилителя в радиочастотных системах
• Тепловой шум (бакалавриат) с подробной математикой