Самая аэродинамичная форма для сверхзвуковых транспортных средств.
Тело Сирса – Хаака
Тело Сирса -Хаака - это форма с наименьшим теоретическим волновым сопротивлением в сверхзвуковом потоке для тонкого твердого тела или вращения с заданной длиной и объемом тела. Математический вывод предполагает сверхзвуковой поток с малыми возмущениями (линеаризованный), который определяется уравнением Прандтля – Глауэрта . Вывод и форма были опубликованы независимо двумя отдельными исследователями: Вольфгангом Хааком в 1941 году и позже Уильямом Сирсом в 1947 году. [1] [2] [3]
Теория Кармана-Мура показывает, что волновое сопротивление масштабируется как квадрат второй производной распределения площади (см. полное выражение ниже), поэтому для низкого волнового сопротивления необходимо, чтобы оно было гладким . Таким образом, тело Сирса–Хаака заострено на каждом конце и плавно растет до максимума, а затем плавно уменьшается ко второй точке.
Полезные формулы
Площадь поперечного сечения тела Сирса – Хаака равна
его объем
его радиус
производная (наклон) равна
вторая производная
где:
х — отношение расстояния от носа к длине всего тела (всегда находится в пределах от 0 до 1),
r — местный радиус,
- максимальный радиус (происходит при x = 0,5, в центре формы),
Согласно теории Кармана-Мура , сила сопротивления волны определяется выражением
где – площадь поперечного сечения тела, перпендикулярного оси тела; здесь представляет собой переднюю кромку, а - заднюю кромку, хотя теория Кармана-Мура не различает эти концы, поскольку коэффициент сопротивления не зависит от направления движения в линейной теории. Вместо мы можем определить функцию и разложить ее последовательно
где . Серия начинается с из-за состояния . У нас есть
Обратите внимание, что объем тела зависит только от коэффициента .
Чтобы рассчитать силу сопротивления, сначала мы перепишем формулу силы сопротивления, проинтегрировав ее по частям один раз:
где обозначает главное значение Коши . Теперь мы можем заменить расширение и интегрировать выражение, используя следующие два тождества:
Конечный результат, выраженный через коэффициент сопротивления , просто дается формулой [4]
Поскольку зависит только от , минимальное значение достигается при .
Таким образом, положив на , получим ,
где радиус как функция .
Обобщение RT Jones
Вывод Сирса-Хаака по форме тела верен только в пределах стройного тела. Теория была обобщена на тонкие, но неосесимметричные формы Робертом Т. Джонсом в отчете NACA 1284. [5] В этом расширении область определяется на конусе Маха , вершина которого находится в точке , а не на плоскости, как предполагалось. от Сирс и Хаак. Следовательно, теория Джонса делает ее применимой к более сложным формам, таким как целые сверхзвуковые самолеты.
Правило области
На первый взгляд связанная концепция - это правило площади Уиткомба , которое гласит, что волновое сопротивление из-за объема в трансзвуковом потоке зависит в первую очередь от распределения общей площади поперечного сечения, а для низкого волнового сопротивления это распределение должно быть плавным. Распространенным заблуждением является то, что тело Сирса-Хаака имеет идеальное распределение площадей в соответствии с правилом площадей, но это неверно. Уравнение Прандтля -Глауэрта , которое является отправной точкой в выводе формы тела Сирса-Хаака, недействительно в трансзвуковом потоке, где применяется правило площадей .
^ Сирс, WR (1947). На снарядах минимального волнового сопротивления. Ежеквартальный журнал прикладной математики, 4 (4), 361–366.
^ Паланиаппан, Картик (2004). Тела, имеющие минимальное сопротивление давлению в сверхзвуковом потоке - исследование нелинейных эффектов (PDF) . 22-я конференция и выставка по прикладной аэродинамике. Энтони Джеймсон . Проверено 16 сентября 2010 г.
^ Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6 (Том 6). Эльзевир. стр. 473-474.
^ Отчет NACA 1284, Теория сопротивления крыла и корпуса на сверхзвуковых скоростях, Роберт Т. Джонс, 8 июля 1953 г.
Внешние ссылки
Сайт Haack Mini Drag Rifle Bullet – https://web.archive.org/web/20160306044740/http://www.lima-wiederladetechnik.de/englisch/haack_minimum_drag_bullet.htm
Geschoßformen kleinsten Wellenwiderstandes В. Хаака, Bericht 139 der Lilienthal-Gesellschaft (1941)