q-гауссово распределение

Распределение вероятностей

q - Гауссиан — это распределение вероятностей, возникающее в результате максимизации энтропии Тсаллиса при соответствующих ограничениях. Это один из примеров распределения Цаллиса . q - гауссиан является обобщением гауссиана точно так же, как энтропия Тсаллиса является обобщением стандартной энтропии Больцмана-Гиббса или энтропии Шеннона . ^[1] Нормальное распределение восстанавливается при q  → 1.

Q - Гауссиан применялся к задачам в области статистической механики , геологии , анатомии , астрономии , экономики , финансов и машинного обучения . Распределение часто отдается предпочтение из-за его тяжелых хвостов по сравнению с гауссовым для 1 < q < 3. Поскольку q -гауссово распределение представляет собой PDF ограниченной случайной величины . Это делает в биологии и других областях ^[2] q -распределение Гаусса более подходящим, чем распределение Гаусса , для моделирования эффекта внешней стохастичности. Обобщенный q -аналог классической центральной предельной теоремы ^[3] был предложен в 2008 году, в котором ограничение независимости для переменных iid ослаблено до степени, определяемой параметром q , с восстановлением независимости при q  → 1. Однако доказательство такой теоремы до сих пор отсутствует. ^[4] ${\displaystyle q<1}$

В областях с тяжелым хвостом распределение эквивалентно t -распределению Стьюдента с прямым сопоставлением между q и степенями свободы . Таким образом, практикующий специалист, использующий одно из этих распределений, может параметризовать одно и то же распределение двумя разными способами. Выбор q -гауссовой формы может возникнуть, если система неэкстенсивна или отсутствует связь с небольшими размерами выборок.

Характеристика

Функция плотности вероятности

Стандартный q -гауссиан имеет функцию плотности вероятности ^[3]

${\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})}$

где

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \over 1-q}}$

является q -экспонентой , а коэффициент нормализации определяется выражением ${\displaystyle C_{q}}$

${\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ for }}-\infty <q<1}$

${\displaystyle C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ for }}q=1\,}$

${\displaystyle C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ for }}1<q<3.}$

Обратите внимание, что для q - гауссовского распределения это PDF ограниченной случайной величины . ${\displaystyle q<1}$

Функция совокупной плотности

Для кумулятивной функции плотности ^[5] ${\displaystyle 1<q<3}$

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {q-1}}\,\Gamma \left({1 \over q-1}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)}},}$

где – гипергеометрическая функция . Поскольку гипергеометрическая функция определена для | г | < 1 , но x неограничен, можно использовать преобразование Пфаффа . ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Для , ${\displaystyle q<1}$

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {1-q}}\,\Gamma \left({5-3q \over 2(q-1)}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({2-q \over 1-q}\right)}}&-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}<x<{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\1&x>{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}.\end{cases}}}$$

Энтропия

Подобно тому, как нормальное распределение представляет собой максимальное распределение информационной энтропии для фиксированных значений первого момента и второго момента (с фиксированным нулевым моментом , соответствующим условию нормировки), q -гауссово распределение является максимальным распределением энтропии Тсаллиса для фиксированных значений этих три момента. ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{0})=1}$

Связанные дистрибутивы

t -распределение Стьюдента

Хотя это можно оправдать интересной альтернативной формой энтропии, статистически это масштабированная репараметризация t -распределения Стьюдента , введенного У. Госсетом в 1908 году для описания статистики малой выборки. В исходной презентации Госсета параметр степеней свободы ν был ограничен положительным целым числом, связанным с размером выборки, но легко заметить, что функция плотности Госсета действительна для всех действительных значений ν . ^{[ нужна ссылка ]} Масштабированная репараметризация вводит альтернативные параметры q и β , которые связаны с ν .

Учитывая t -распределение Стьюдента с ν степенями свободы, эквивалентный q -гауссиан имеет

${\displaystyle q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ with }}\beta ={\frac {1}{3-q}}}$

с обратным

${\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.}$

Всякий раз , когда функция представляет собой просто масштабированную версию t -распределения Стьюдента . ${\displaystyle \beta \neq {1 \over {3-q}}}$

Иногда утверждают, что это распределение является обобщением t -распределения Стьюдента на отрицательные и/или нецелые степени свободы. Однако теория t -распределения Стьюдента тривиально распространяется на все действительные степени свободы, где носитель распределения теперь компактен , а ^{не бесконечен} в случае ν <0 ^.

Трехпараметрическая версия

Как и во многих распределениях с центром в нуле, q -гауссиан можно тривиально расширить, включив в него параметр местоположения µ . Тогда плотность будет определяться выражением

${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}$

Генерация случайных отклонений

Преобразование Бокса -Мюллера было обобщено, чтобы обеспечить возможность случайной выборки из q -гауссиан. ^[6] Стандартный метод Бокса-Мюллера генерирует пары независимых нормально распределенных переменных из уравнений следующей формы.

${\displaystyle Z_{1}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})}$

${\displaystyle Z_{2}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})}$

Обобщенный метод Бокса – Мюллера может генерировать пары q -гауссовских отклонений, которые не являются независимыми. На практике из пары равномерно распределенных переменных будет получено только одно отклонение. Следующая формула будет генерировать отклонения от q -гауссиана с указанным параметром q и ${\displaystyle \beta ={1 \over {3-q}}}$

${\displaystyle Z={\sqrt {-2{\text{ ln}}_{q'}(U_{1})}}{\text{ cos}}(2\pi U_{2})}$

где q -логарифм и _ ${\displaystyle {\text{ ln}}_{q}}$ ${\displaystyle q'={{1+q} \over {3-q}}}$

Эти отклонения можно преобразовать для генерации отклонений от произвольного q -гауссиана с помощью

${\displaystyle Z'=\mu +{Z \over {\sqrt {\beta (3-q)}}}}$

Приложения

Физика

Показано, что импульсное распределение холодных атомов в диссипативных оптических решетках является q -гауссовым. ^[7]

Распределение q -Гаусса также получается как асимптотическая функция плотности вероятности положения одномерного движения массы, подверженной действию двух сил: детерминированной силы типа (определяющей бесконечную потенциальную яму) и стохастической силы белого шума , где это белый шум . Обратите внимание, что в приближении перезатухания/малой массы вышеупомянутая сходимость не удается для , как недавно было показано. ^[8] ${\textstyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$ ${\textstyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}$ ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\displaystyle q<0}$

Финансы

Распределение финансовой прибыли на Нью-Йоркской фондовой бирже, NASDAQ и других площадках интерпретировалось как q -гауссиан. ^{[9] [10]}

Смотрите также

• Константино Цаллис
• Статистика Цаллиса
• Энтропия Цаллиса
• Распространение Цаллиса
• q -экспоненциальное распределение
• Q-гауссовский процесс

Примечания

1. Цаллис, К. Неаддитивная энтропия и неэкстенсивная статистическая механика - обзор через 20 лет. Браз. Дж. Физ. 2009, 39, 337–356.
2. д'Онофрио А. (ред.) Ограниченные шумы в физике, биологии и технике. Биркхаузер (2013)
3. Умаров, Сабир; Цаллис, Константино; Стейнберг, Стэнли (2008). «О q-центральной предельной теореме, согласующейся с неэкстенсивной статистической механикой» (PDF) . Милан Дж. Математика . Биркхаузер Верлаг. 76 : 307–328. дои : 10.1007/s00032-008-0087-y. S2CID  55967725 . Проверено 27 июля 2011 г.
4. Хилхорст, HJ (2010), «Замечание о q -модифицированной центральной предельной теореме», Журнал статистической механики: теория и эксперимент , 2010 (10): P10023, arXiv : 1008.4259 , Bibcode : 2010JSMTE..10..023H, doi : 10.1088/1742-5468/2010/10/P10023, S2CID  119316670.
5. https://reference.wolframcloud.com/language/ref/TsallisQGaussianDistribution.html.
6. В. Тистлтон, Дж. А. Марш, К. Нельсон и К. Цаллис, Обобщенный метод Бокса-Мюллера для генерации q -гауссовских случайных отклонений, IEEE Transactions on Information Theory 53, 4805 (2007)
7. Дуглас, П.; Бергамини, С.; Ренцони, Ф. (2006). «Настраиваемые распределения Цаллиса в диссипативных оптических решетках» (PDF) . Письма о физических отзывах . 96 (11): 110601. Бибкод : 2006PhRvL..96k0601D. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.110601. ПМИД  16605807.
8. Доминго, Дарио; д'Онофрио, Альберто; Фландоли, Франко (2017). «Ограниченность против неограниченности шума, связанного с q-статистикой Тсаллиса: роль перезатухающего приближения». Журнал математической физики . Издательство АИП. 58 (3): 033301. arXiv : 1709.08260 . Бибкод : 2017JMP....58c3301D. дои : 10.1063/1.4977081. ISSN  0022-2488. S2CID  84178785.
9. Борланд, Лиза (7 августа 2002 г.). «Формулы ценообразования опционов, основанные на негауссовой модели цен на акции». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество (APS). 89 (9): 098701. arXiv : cond-mat/0204331 . Бибкод : 2002PhRvL..89i8701B. doi : 10.1103/physrevlett.89.098701. ISSN  0031-9007. PMID  12190447. S2CID  5740827.
10. Л. Борланд, Оценка опционов на акции, в «Неэкстенсивная энтропия – междисциплинарные приложения», ред. М. Гелл-Манн и К. Цаллис (Oxford University Press, Нью-Йорк, 2004 г.)

дальнейшее чтение

• Джунипер, Дж. (2007) «Распределение Цаллиса и обобщенная энтропия: перспективы будущих исследований процесса принятия решений в условиях неопределенности» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 г. Проверено 24 июня 2011 г., Центр полной занятости и равенства, Университет Ньюкасла, Австралия

Внешние ссылки

• Статистика Цаллиса, статистическая механика неэкстенсивных систем и дальних взаимодействий