Антилинейное отображение

Сопряженно-однородное аддитивное отображение

В математике функция между двумя комплексными векторными пространствами называется антилинейной или сопряженно -линейной, если она справедлива для всех векторов и каждого комплексного числа , где обозначает комплексно сопряженное число ${\displaystyle f:V\to W}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (additivity) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (conjugate homogeneity) }}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s.}$

Антилинейные отображения противопоставляются линейным отображениям , которые являются аддитивными отображениями , которые являются однородными , а не сопряженно однородными . Если векторные пространства вещественны, то антилинейность совпадает с линейностью.

Антилинейные отображения встречаются в квантовой механике при изучении обращения времени и в спинорном исчислении, где принято заменять черточки над базисными векторами и компонентами геометрических объектов точками, поставленными над индексами. Скалярнозначные антилинейные отображения часто возникают при работе со сложными внутренними произведениями и гильбертовыми пространствами .

Определения и характеристики

Функция называется антилинейной или сопряженно-линейной, если она аддитивна и сопряженно-однородна . Антилинейный функционал на векторном пространстве — это скалярнозначное антилинейное отображение. ${\displaystyle V}$

Функция называется аддитивной , если, а называется сопряженно-однородной, если . Напротив, линейное отображение — это функция, которая является аддитивной и однородной , где называется однородной, если. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y}$$ $${\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$

Антилинейное отображение может быть эквивалентно описано в терминах линейного отображения из в комплексно-сопряженное векторное пространство ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {W}}.}$

Примеры

Антилинейное двойственное отображение

Для комплексного векторного пространства ранга 1 мы можем построить антилинейное двойственное отображение, которое является антилинейным отображением, отправляющим элемент для в для некоторых фиксированных действительных чисел. Мы можем распространить это на любое конечномерное комплексное векторное пространство, где если мы запишем стандартный базис и каждый стандартный базисный элемент как , то антилинейное комплексное отображение в будет иметь вид для ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }$$ ${\displaystyle x_{1}+iy_{1}}$ ${\displaystyle x_{1},y_{1}\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}$$ ${\displaystyle a_{1},b_{1}.}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ $${\displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}$$ ${\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .}$

Изоморфизм антилинейного дуального с вещественным дуальным

Антилинейное двойственное ^{[1] стр. 36} комплексного векторного пространства является особым примером, поскольку оно изоморфно действительному двойственному векторному пространству, лежащему в основе этого действительного векторного пространства. Это задается отображением, отправляющим антилинейное отображение в В другом направлении существует обратное отображение, отправляющее действительный двойственный вектор в, дающее искомое отображение. ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).}$ $${\displaystyle \ell :V\to \mathbb {C} }$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} (\ell ):V\to \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle \lambda :V\to \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle \ell (v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)}$$

Характеристики

Композиция двух антилинейных отображений является линейным отображением . Класс полулинейных отображений обобщает класс антилинейных отображений.

Антидуальное пространство

Вектор пространства всех антилинейных форм на векторном пространстве называется алгебраическим антидвойственным пространством Если — топологическое векторное пространство , то векторное пространство всех непрерывных антилинейных функционалов на , обозначенное как , называется непрерывным антидвойственным пространством или просто антидвойственным пространством [ ^2], если это не приводит к путанице. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$

Когда — нормированное пространство , то каноническая норма на (непрерывном) антидвойственном пространстве, обозначенном как , определяется с помощью того же уравнения: ^[2] ${\displaystyle H}$ ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ ${\textstyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}$ $${\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

Эта формула идентична формуле для дуальной нормы на непрерывном дуальном пространстве , которая определяется формулой ^[2] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}$$

Каноническая изометрия между дуальным и антидуальным

Комплексное сопряжение функционала определяется путем отправления в Он удовлетворяет для любого и каждого Это точно говорит о том, что каноническая антилинейная биекция, определяемая как , так и ее обратная, являются антилинейными изометриями и, следовательно, также гомеоморфизмами . ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}$ ${\textstyle {\overline {f(x)}}.}$ $${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}$$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$ $${\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}$

Если то и это каноническое отображение сводится к тождественному отображению. ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}$

Внутренние пространства продукта

Если является внутренним произведением пространства , то каноническая норма на и на удовлетворяет закону параллелограмма , что означает, что поляризационное тождество может быть использовано для определения канонического внутреннего произведения на и также на , которое в этой статье будет обозначаться обозначениями , где это внутреннее произведение делает и в гильбертовых пространствах. Внутренние произведения и являются антилинейными по своим вторым аргументам. Более того, каноническая норма, индуцированная этим внутренним произведением (то есть норма, определяемая ), согласуется с дуальной нормой (то есть, как определено выше супремумом по единичному шару); явно, это означает, что следующее выполняется для каждого ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$ ${\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }:}$ $${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}$$

Если — пространство внутренних произведений , то внутренние произведения в двойственном пространстве и антидвойственном пространстве, обозначенные соответственно и , связаны соотношениями и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ ${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}$ ${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}$ $${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}$$ $${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

Смотрите также

• Функциональное уравнение Коши  – Функциональное уравнение
• Комплексное сопряжение  – основная операция над комплексными числами
• Комплексно-сопряженное векторное пространство  – Математическая концепцияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Основная теорема гильбертовых пространств
• Пространство внутреннего произведения  — обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств.
• Линейная карта  – Математическая функция в линейной алгебре
• Матричное сходство
• Теорема о представлении Рисса  – Теорема о двойственном к гильбертову пространству
• Полуторалинейная форма  – Обобщение билинейной формы
• Обращение времени  – Симметрия обращения времени в физике

Цитаты

1. Биркенхейк, Кристина (2004). Комплексные абелевы многообразия. Герберт Ланге (Второе, дополненное изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC  851380558.
2. Treves 2006, стр. 112–123.

Ссылки

• Будинич, П. и Траутман, А. Спинорная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 3.3). 
• Хорн и Джонсон, Матричный анализ, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 4.6). 
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.