Комплексное измерение

В математике комплексная размерность обычно относится к размерности комплексного многообразия или комплексного алгебраического многообразия . ^[1] Это пространства, в которых локальные окрестности точек (или неособых точек в случае многообразия) моделируются декартовым произведением вида для некоторого , а комплексная размерность является показателем степени в этом произведении. Поскольку в свою очередь может быть смоделировано , пространство с комплексной размерностью будет иметь действительную размерность . ^[2] То есть гладкое многообразие комплексной размерности имеет действительную размерность ; и комплексное алгебраическое многообразие комплексной размерности , вдали от любой особой точки , также будет гладким многообразием действительной размерности . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$

Однако для действительного алгебраического многообразия (то есть многообразия, определяемого уравнениями с действительными коэффициентами) его размерность обычно относится к его комплексной размерности, а его действительная размерность относится к максимальной из размерностей многообразий, содержащихся в наборе его действительных точек. Действительная размерность не больше размерности и равна ей, если многообразие неприводимо и имеет действительные точки, которые не являются особыми . Например, уравнение определяет многообразие (комплексной) размерности 2 (поверхность), но действительной размерности 0 — оно имеет только одну действительную точку, (0, 0, 0), которая является особой. ^[3] ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

Те же соображения применимы к коразмерности . Например, гладкая комплексная гиперповерхность в комплексном проективном пространстве размерности n будет многообразием размерности 2( n − 1). Комплексная гиперплоскость не разделяет комплексное проективное пространство на две компоненты, поскольку имеет вещественную коразмерность 2.

Ссылки

1. Каваньяро, Кэтрин ; Хейт, Уильям Т. II (2001), Словарь классической и теоретической математики, CRC Press, стр. 22, ISBN 978-1-58488-050-9.
2. Марсден, Джеррольд Э .; Ратиу, Тюдор С. (1999), Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем, Тексты по прикладной математике, т. 17, Springer, стр. 152, ISBN 978-0-387-98643-2.
3. Бейтс, Дэниел Дж.; Хауенштейн, Джонатан Д.; Соммес, Эндрю Дж.; Уомплер, Чарльз У. (2013), Численное решение полиномиальных систем с помощью Бертини, Программное обеспечение, среды и инструменты, т. 25, SIAM, стр. 225, ISBN 978-1-61197-270-2.