Функция, действующая на пространство физических состояний в физике
В физике оператор — это функция из пространства физических состояний в другое пространство физических состояний. Простейшим примером полезности операторов является изучение симметрии (что делает понятие группы полезным в этом контексте). Благодаря этому они являются полезными инструментами в классической механике . Операторы еще более важны в квантовой механике , где они составляют неотъемлемую часть формулировки теории.
Операторы в классической механике
В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется лагранжианом или , что то же самое , гамильтонианом , функцией обобщенных координат q , обобщенных скоростей и сопряженных им импульсов :
![{\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если L или H не зависят от обобщенной координаты q , то это означает, что L и H не меняются при изменении q , что, в свою очередь, означает, что динамика частицы остается той же самой, даже когда q изменяется, соответствующие импульсы сопряжены с теми, координаты сохранятся (это часть теоремы Нётер , а инвариантность движения относительно координаты q является симметрией ). С этими симметриями связаны операторы классической механики.
Говоря более технически, когда H инвариантен относительно действия определенной группы преобразований G :
.
Элементами G являются физические операторы, которые отображают между собой физические состояния.
Таблица операторов классической механики
где – матрица вращения вокруг оси, определяемой единичным вектором и углом θ .
![{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Генераторы
Если преобразование бесконечно мало , действие оператора должно иметь вид
![{\displaystyle I+\эпсилон А,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где — тождественный оператор, — это параметр с небольшим значением, который будет зависеть от текущего преобразования и называется генератором группы . Опять же, в качестве простого примера, мы выведем генератор пространственных сдвигов для 1D-функций.![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \epsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Как было заявлено, . Если бесконечно мало, то можно написать![{\displaystyle T_{a}f(x)=f(xa)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a=\epsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x)-\epsilon f'(x).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эту формулу можно переписать как
![{\ displaystyle T _ {\ epsilon } f (x) = (I- \ epsilon D) f (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – генератор группы трансляции, которая в данном случае является оператором производной . Таким образом, говорят, что генератор переводов является производной.![{\displaystyle D}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Экспоненциальная карта
Вся группа может быть восстановлена при нормальных обстоятельствах из генераторов с помощью экспоненциального отображения . В случае с переводами идея работает следующим образом.
Перевод для конечного значения может быть получен повторным применением бесконечно малого перевода:![{\displaystyle а}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ lim _ {N \ to \ infty } T_ {a/N} \ cdots T_ {a/N} f (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
с указанием времени подачи заявления . Если велико, то каждый из факторов можно считать бесконечно малым:![{\displaystyle \cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x). }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Но этот предел можно переписать в экспоненциальном виде:
![{\displaystyle T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в степенной ряд :
![{\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!} - {a^{3}D^{3} \over 3! }+\cdots \right)f(x).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Правую часть можно переписать как
![{\displaystyle f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!} }f^{(3)}(x)+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
это просто разложение Тейлора , которое было нашим первоначальным значением для .![{\ displaystyle f (xa)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle T_ {a} f (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Математические свойства физических операторов сами по себе представляют собой очень важную тему. Дополнительную информацию см. в C*-алгебре и теореме Гельфанда – Наймарка .
Операторы в квантовой механике
Математическая формулировка квантовой механики (КМ) построена на концепции оператора.
Физические чистые состояния в квантовой механике представляются в виде векторов единичной нормы (вероятности нормированы на единицу) в специальном комплексном гильбертовом пространстве . Эволюция времени в этом векторном пространстве задается применением оператора эволюции .
Любая наблюдаемая , т. е. любая величина, которую можно измерить в физическом эксперименте, должна быть сопоставлена с самосопряженным линейным оператором . Операторы должны выдавать реальные собственные значения , поскольку это значения, которые могут возникнуть в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть эрмитовыми . [1] Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. Ниже приведены математические подробности об эрмитовых операторах.
В формулировке КМ волновой механики волновая функция меняется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, импульса и времени ( подробности см. в пространстве положения и импульса ), поэтому наблюдаемые величины являются дифференциальными операторами .
В формулировке матричной механики норма физического состояния должна оставаться фиксированной, поэтому оператор эволюции должен быть унитарным , а операторы могут быть представлены в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая одно физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.
Волновая функция
Волновая функция должна быть интегрируемой с квадратом (см. пространства Lp ) , что означает:
![{\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r})|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\ mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и нормируемый, так что:
![{\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r})|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Два случая собственных состояний (и собственных значений):
- для дискретных собственных состояний , образующих дискретный базис, поэтому любое состояние представляет собой сумму
![{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где c i — комплексные числа такие, что | с я | 2 = c i * c i — вероятность измерения состояния , а соответствующий набор собственных значений a i также дискретен — либо конечен , либо счетен . В этом случае внутренний продукт двух собственных состояний определяется как , где обозначает дельту Кронекера . Однако,![{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ langle \ phi _ {i} \ vert \ phi _ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta _ {мн}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- для континуума собственных состояний , образующих непрерывный базис, любое состояние является целостным.
![{\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi)\,d\phi |\phi \rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где c ( φ ) — комплексная функция такая, что | с (φ)| 2 = c (φ) * c (φ) — вероятность измерения состояния , причем существует несчетно бесконечное множество собственных значений a . В этом случае внутренний продукт двух собственных состояний определяется как , где здесь обозначается дельта Дирака .![{\displaystyle |\phi \rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta (xy)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Линейные операторы в волновой механике
Пусть ψ — волновая функция квантовой системы и любой линейный оператор для некоторой наблюдаемой A (например, положения, импульса, энергии, углового момента и т. д.). Если ψ — собственная функция оператора , то![{\displaystyle {\hat {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где a — собственное значение оператора, соответствующее измеренному значению наблюдаемой, т.е. наблюдаемая A имеет измеренное значение a .
Если ψ — собственная функция данного оператора , то определенная величина (собственное значение a ) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемой A производится в состоянии ψ . И наоборот, если ψ не является собственной функцией , то у нее нет собственного значения для , и в этом случае наблюдаемая не имеет ни одного определенного значения. Вместо этого измерения наблюдаемой A дадут каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением ψ относительно ортонормированного собственного базиса ).![{\displaystyle {\hat {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В обозначениях бра-кет можно записать вышеизложенное;
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r}) = {\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a \psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \ \\end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
которые равны, если - собственный вектор или собственный вектор наблюдаемой A .![{\displaystyle \left|\psi \right\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Благодаря линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор del , который сам по себе является вектором (полезен в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).
Оператор в n -мерном пространстве можно записать:
![{\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где e j — базисные векторы, соответствующие каждому компонентному оператору A j . Каждый компонент будет давать соответствующее собственное значение . Действуя таким образом на волновую функцию ψ :![{\displaystyle a_{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j} \right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _ {j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
в котором мы использовали![{\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В обозначениях бра-кет:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r}) =\mathbf {\hat {A}} \ left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{ j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j= 1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left \langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \ вправо\rangle \end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Коммутация операторов на Ψ
Если две наблюдаемые A и B имеют линейные операторы и коммутатор определяется формулой:![{\displaystyle {\hat {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {B}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left[{\hat {A}}, {\hat {B}} \right] = {\hat {A}}{\hat {B}} - {\hat {B}}{\hat {А}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Воздействие коммутатора на ψ дает:
![{\displaystyle \left[{\hat {A}}, {\hat {B}} \right]\psi = {\hat {A}}{\hat {B}}\psi - {\hat {B} }{\hat {A}}\psi .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если ψ — собственная функция с собственными значениями a и b для наблюдаемых A и B соответственно, и если операторы коммутируют:
![{\displaystyle \left[{\hat {A}}, {\hat {B}}\right]\psi =0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
тогда наблюдаемые A и B могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью, т. е. неопределенности одновременно . Тогда говорят, что ψ является одновременной собственной функцией A и B. Чтобы проиллюстрировать это:![{\displaystyle \Delta A=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta B=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}}, {\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi ) -b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это показывает, что измерение A и B не вызывает какого-либо сдвига состояния, т. е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет возмущений из-за измерения). Предположим, мы измеряем А, чтобы получить значение а. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Измеряем А еще раз. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние ( ψ ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.
Если операторы не ездят на работу:
![{\displaystyle \left[{\hat {A}}, {\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
они не могут быть подготовлены одновременно с произвольной точностью, и между наблюдаемыми существует соотношение неопределенности
![{\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
даже если ψ является собственной функцией, приведенное выше соотношение выполняется. Примечательными парами являются соотношения неопределенностей положения и импульса, энергии и времени, а также угловые моменты (спиновые, орбитальные и полные) вокруг любых двух ортогональных осей (таких как L x и L y или s y и s z и т. д.). .). [2]
Ожидаемые значения операторов на Ψ
Ожидаемое значение (эквивалентно среднему или среднему значению) — это среднее измерение наблюдаемой частицы в области R. Ожидаемое значение оператора рассчитывается по формуле: [3]![{\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\ psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это можно обобщить на любую функцию F оператора:
![{\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r})^{*}\left[F\ left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r})\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\ left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примером F является двукратное действие A на ψ , т.е. возведение оператора в квадрат или выполнение его дважды:
![{\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2} \\\Rightarrow \left\langle {\hat {A} }^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left( \mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эрмитовы операторы
Определение эрмитова оператора : [1]
![{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Отсюда в обозначениях брекета:
![{\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}} \right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left| {\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Важные свойства эрмитовых операторов включают в себя:
- действительные собственные значения,
- собственные векторы с разными собственными значениями ортогональны ,
- собственные векторы могут быть выбраны как полный ортонормированный базис ,
Операторы в матричной механике
Оператор можно записать в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент может быть связан с другим [3] выражением:![{\displaystyle \phi _{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle A_ {ij} = \ left \ langle \ phi _ {i} \ left | {\ шляпа {A}} \ right | \ phi _ {j} \ right \ rangle,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
который является матричным элементом:
![{\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12} &\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Еще одним свойством эрмитова оператора является то, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. [1] В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет подходящему базисному набору векторов представлять состояние квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются так же, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического полинома :
![{\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a {\hat {I}}\right)=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где I — единичная матрица размера n × n , как оператор она соответствует единичному оператору. Для дискретной основы:
![{\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
а на постоянной основе:
![{\displaystyle {\hat {I}} =\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратный оператор
Несингулярный оператор имеет обратный, определяемый следующим образом:![{\displaystyle {\hat {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}} = {\hat {I}} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если оператор не имеет обратного, то это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:
![{\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и, следовательно, определитель сингулярного оператора равен нулю.
Таблица операторов QM
Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., например, [1] [4] ). Векторы, выделенные жирным шрифтом с циркумфлексами, не являются единичными векторами , это 3-векторные операторы; все три пространственных компонента вместе взятые.
Примеры применения квантовых операторов
Процедура извлечения информации из волновой функции заключается в следующем. В качестве примера рассмотрим импульс частицы p . Оператор импульса в позиционном базисе в одном измерении:
![{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Действуя на ψ, мы получаем:
![{\displaystyle {\hat {p}}\psi = -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
если ψ — собственная функция , то собственное значение импульса p — это значение импульса частицы, найденное по формуле:![{\displaystyle {\шляпа {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла , чтобы стать:
![{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} = -i\hbar \nabla .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это можно записать в декартовых координатах (с использованием стандартных декартовых базисных векторов e x , e y , e z );
![{\displaystyle \mathbf {e} _ {\mathrm {x} {\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _ {\ mathrm {y} }{\hat {p}}_{ y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\ frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z } {\frac {\partial }{\partial z}}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
то есть:
![{\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\ hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\! }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Процесс нахождения собственных значений тот же. Поскольку это векторное и операторное уравнение, если ψ является собственной функцией, то каждый компонент оператора импульса будет иметь собственное значение, соответствующее этому компоненту импульса. Действуя на ψ , получаем:![{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p }}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ abcd Молекулярная квантовая механика, части I и II: Введение в квантовую химию (том 1), П. В. Аткинс, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
- ^ Баллентайн, Л.Е. (1970), «Статистическая интерпретация квантовой механики», Обзоры современной физики , 42 (4): 358–381, Бибкод : 1970RvMP...42..358B, doi : 10.1103/RevModPhys.42.358
- ^ ab Квантовая механика демистифицирована, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546-9
- ^ Операторы - Фейнмановские лекции по физике