Электромагнитный четырехпотенциальный

Электромагнитный четырех-потенциал — это релятивистская векторная функция , из которой можно вывести электромагнитное поле . Он объединяет как электрический скалярный потенциал , так и магнитный векторный потенциал в один четырех-вектор . ^[1]

При измерении в заданной системе отсчета и для заданной калибровки первый компонент электромагнитного четырехпотенциала традиционно принимается за электрический скалярный потенциал, а остальные три компонента составляют магнитный векторный потенциал. В то время как и скалярный, и векторный потенциал зависят от системы отсчета, электромагнитный четырехпотенциал является лоренц-ковариантным .

Как и другие потенциалы, многие различные электромагнитные 4-потенциалы соответствуют одному и тому же электромагнитному полю в зависимости от выбора калибровки.

В этой статье используется обозначение индекса тензора и метрическое соглашение о знаках Минковского (+ − − −) . См. также ковариация и контравариация векторов и повышение и понижение индексов для получения более подробной информации об обозначениях. Формулы приведены в единицах СИ и единицах Гаусса-СГС .

Определение

Контравариантный электромагнитный четырехпотенциал можно определить как: ^[2]

где ϕ — электрический потенциал , а A — магнитный потенциал ( векторный потенциал ). Единица измерения A ^α — В · с · м ⁻¹ в СИ и Мx · см ⁻¹ в гауссовой системе СГС .

Электрические и магнитные поля, связанные с этими четырьмя потенциалами, следующие: ^[3]

В специальной теории относительности электрические и магнитные поля преобразуются под действием преобразований Лоренца . Это можно записать в виде тензора второго ранга – электромагнитного тензора . 16 контравариантных компонентов электромагнитного тензора, используя метрическое соглашение Минковского (+ − − −) , записываются в терминах электромагнитного четырехпотенциала и четырехградиента как :

F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}

Если вместо этого указанная подпись (− + + +), то:

F'\,^{\mu \nu }=\partial '\,^{\mu }A^{\nu }-\partial '\,^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}

Это по существу определяет 4-потенциал в терминах физически наблюдаемых величин, а также сводится к приведенному выше определению.

В шкале Лоренца

Часто для упрощения уравнений Максвелла используется калибровочное условие Лоренца в инерциальной системе отсчета : ^[2] $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$

где J ^α — компоненты четырехтока , а

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }

— оператор Даламбера . В терминах скалярного и векторного потенциалов это последнее уравнение принимает вид:

Для заданного распределения заряда и тока ρ ( r , t ) и j ( r , t ) решения этих уравнений в единицах СИ следующие: ^[3]

{\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},\end{aligned}}

где

t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}

это замедленное время . Иногда это также выражается с помощью

\rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right)\right],

где квадратные скобки означают, что время должно оцениваться в запаздывающем времени. Конечно, поскольку приведенные выше уравнения являются просто решением неоднородного дифференциального уравнения , любое решение однородного уравнения может быть добавлено к ним для удовлетворения граничных условий . Эти однородные решения в общем случае представляют волны, распространяющиеся от источников за пределами границы.

Когда приведенные выше интегралы оцениваются для типичных случаев, например, для осциллирующего тока (или заряда), обнаруживается, что они дают как компонент магнитного поля, изменяющийся в соответствии с r ⁻² (поле индукции), так и компонент, убывающий в соответствии с r ⁻¹ (поле излучения). ^{[ необходимо разъяснение ]}

Свобода измерения

При приведении к одной форме (в тензорной записи, ) четырехпотенциал (обычно записываемый как вектор или, в тензорной записи) может быть разложен ^[^{необходимо разъяснение}^] с помощью теоремы о разложении Ходжа как сумма точной , коточной и гармонической формы, $A_{\mu }$ $A$ $A^{\mu }$

A=d\alpha +\delta \beta +\gamma

В этом разложении существует калибровочная свобода в $A$ , и только коточная форма оказывает какое-либо влияние на электромагнитный тензор.

F=dA

Точные формы закрыты, как и гармонические формы в соответствующей области, поэтому и , всегда. Поэтому независимо от того, что и есть, мы остаемся с просто $dd\alpha =0$ $d\gamma =0$ $\alpha$ $\gamma$

F=d\delta \beta

В бесконечном плоском пространстве Минковского каждая замкнутая форма точна. Поэтому этот член исчезает. Каждое калибровочное преобразование может быть записано как $\gamma$ $A$

A\Rightarrow A+d\alpha

Смотрите также

Ссылки

^ Гравитация, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
^ ab DJ Griffiths (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
^ ab IS Grant, WR Phillips (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.

Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е) . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.
Джексон, Дж. Д. (1999). Классическая электродинамика (3-я) . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.