q-гауссово распределение

Распределение вероятностей

Q -гауссиана — это распределение вероятностей, возникающее из максимизации энтропии Цаллиса при соответствующих ограничениях. Это один из примеров распределения Цаллиса . Q -гауссиана — это обобщение гауссовой функции таким же образом, как энтропия Цаллиса — это обобщение стандартной энтропии Больцмана–Гиббса или энтропии Шеннона . ^[1] Нормальное распределение восстанавливается при q  → 1.

Q -гауссово распределение применялось к задачам в области статистической механики , геологии , анатомии , астрономии , экономики , финансов и машинного обучения . ^{[ требуется ссылка ]} Распределение часто предпочитают из-за его тяжелых хвостов по сравнению с гауссовым для 1 < q < 3. Для q -гауссово распределение является PDF ограниченной случайной величины . Это делает в биологии и других областях ^[2] q -гауссово распределение более подходящим, чем гауссово распределение, для моделирования эффекта внешней стохастичности. Обобщенный q -аналог классической центральной предельной теоремы ^[3] был предложен в 2008 году, в котором ограничение независимости для переменных iid ослабляется до степени, определяемой параметром q , при этом независимость восстанавливается при q  → 1. Однако доказательство такой теоремы все еще отсутствует. ^[4] ${\displaystyle q<1}$

В областях тяжелого хвоста распределение эквивалентно распределению Стьюдента t с прямым отображением между q и степенями свободы . Таким образом, практикующий специалист, использующий одно из этих распределений, может параметризовать одно и то же распределение двумя различными способами. Выбор q -гауссовой формы может возникнуть, если система не является обширной или если отсутствует связь с малыми размерами выборок.

Характеристика

Функция плотности вероятности

Стандартный q -гауссов распределенный закон имеет функцию плотности вероятности ^[3]

${\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})}$

где

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \over 1-q}}$

является q -экспонентой , а нормировочный коэффициент определяется как ${\displaystyle C_{q}}$

${\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ for }}-\infty <q<1}$

${\displaystyle C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ for }}q=1\,}$

${\displaystyle C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ for }}1<q<3.}$

Обратите внимание, что для q - распределения Гаусса это плотность вероятности ограниченной случайной величины . ${\displaystyle q<1}$

Функция кумулятивной плотности

Для функции кумулятивной плотности это ^[5] ${\displaystyle 1<q<3}$

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {q-1}}\,\Gamma \left({1 \over q-1}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)}},}$

где — гипергеометрическая функция . Поскольку гипергеометрическая функция определена для | z | < 1, но x не ограничен, можно использовать преобразование Пфаффа . ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Для , ${\displaystyle q<1}$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {1-q}}\,\Gamma \left({5-3q \over 2(1-q)}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({2-q \over 1-q}\right)}}&-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}<x<{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\1&x>{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}.\end{cases}}}$$

Энтропия

Так же, как нормальное распределение является распределением максимальной информационной энтропии для фиксированных значений первого момента и второго момента (при фиксированном нулевом моменте, соответствующем условию нормировки), q -гауссово распределение является распределением максимальной энтропии Тсаллиса для фиксированных значений этих трех моментов. ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{0})=1}$

Связанные дистрибутивы

Студенческийт-распределение

Хотя это может быть оправдано интересной альтернативной формой энтропии, статистически это масштабированная репараметризация t -распределения Стьюдента, введенного У. Госсетом в 1908 году для описания статистики малых выборок. В оригинальном представлении Госсета параметр степеней свободы ν был ограничен положительным целым числом, связанным с размером выборки, но легко заметить, что функция плотности Госсета действительна для всех действительных значений ν . ^{[ необходима цитата ]} Масштабированная репараметризация вводит альтернативные параметры q и β , которые связаны с ν .

При наличии t -распределения Стьюдента с ν степенями свободы эквивалентное q -гауссовское распределение имеет вид

${\displaystyle q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ with }}\beta ={\frac {1}{3-q}}}$

с обратным

${\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.}$

Всякий раз, когда , функция представляет собой просто масштабированную версию t -распределения Стьюдента . ${\displaystyle \beta \neq {1 \over {3-q}}}$

Иногда утверждается, что распределение является обобщением t -распределения Стьюдента на отрицательные и/или нецелые степени свободы. Однако теория t -распределения Стьюдента тривиально распространяется на все действительные степени свободы, где носитель распределения теперь компактен , а не бесконечен в случае ν < 0. ^{[ необходима цитата ]}

Трехпараметрическая версия

Как и многие распределения, центрированные на нуле, q -гауссовское распределение может быть тривиально расширено для включения параметра местоположения μ . Плотность тогда определяется как

${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}$

Генерация случайных отклонений

Преобразование Бокса –Мюллера было обобщено, чтобы обеспечить случайную выборку из q -гауссианов. ^[6] Стандартный метод Бокса–Мюллера генерирует пары независимых нормально распределенных переменных из уравнений следующего вида.

${\displaystyle Z_{1}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})}$

${\displaystyle Z_{2}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})}$

Обобщенный метод Бокса–Мюллера может генерировать пары q -гауссовых отклонений, которые не являются независимыми. На практике только одно отклонение будет сгенерировано из пары равномерно распределенных переменных. Следующая формула сгенерирует отклонения от q -гауссовой с указанным параметром q и ${\displaystyle \beta ={1 \over {3-q}}}$

${\displaystyle Z={\sqrt {-2{\text{ ln}}_{q'}(U_{1})}}{\text{ cos}}(2\pi U_{2})}$

где q -логарифм и​ ${\displaystyle {\text{ ln}}_{q}}$ ${\displaystyle q'={{1+q} \over {3-q}}}$

Эти отклонения можно преобразовать для генерации отклонений от произвольного q -гауссовского распределения с помощью

${\displaystyle Z'=\mu +{Z \over {\sqrt {\beta (3-q)}}}}$

Приложения

Физика

Было показано, что распределение импульса холодных атомов в диссипативных оптических решетках является q -гауссовым. ^[7]

Распределение q -Гаусса также получается как асимптотическая функция плотности вероятности положения одномерного движения массы, подверженной действию двух сил: детерминированной силы типа (определяющей бесконечную потенциальную яму) и стохастической силы белого шума , где - белый шум . Обратите внимание, что в приближении сверхдемпфированной/малой массы вышеупомянутая сходимость нарушается для , как недавно было показано. ^[8] ${\textstyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$ ${\textstyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}$ ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\displaystyle q<0}$

Финансы

Распределения финансовой доходности на Нью-Йоркской фондовой бирже, NASDAQ и в других местах интерпретируются как q -гауссианы. ^{[9] [10]}

Смотрите также

• Константино Цалис
• Статистика Цалли
• Энтропия Цаллиса
• Распределение Цаллиса
• q - экспоненциальное распределение
• Q-гауссовский процесс

Примечания

1. Tsallis, C. Неаддитивная энтропия и неэкстенсивная статистическая механика — обзор спустя 20 лет. Braz. J. Phys. 2009, 39, 337–356
2. d'Onofrio A. (ред.) Ограниченные шумы в физике, биологии и инженерии. Birkhauser (2013)
3. Умаров, Сабир; Цалис, Константино; Стейнберг, Стэнли (2008). «О q-центральной предельной теореме, согласующейся с Nonextensive Statistical Mechanics» (PDF) . Milan J. Math . 76 . Birkhauser Verlag: 307–328. doi :10.1007/s00032-008-0087-y. S2CID  55967725 . Получено 27.07.2011 .
4. Hilhorst, HJ (2010), «Заметка о q -модифицированной центральной предельной теореме», Журнал статистической механики: теория и эксперимент , 2010 (10): 10023, arXiv : 1008.4259 , Bibcode : 2010JSMTE..10..023H, doi : 10.1088/1742-5468/2010/10/P10023, S2CID  119316670.
5. https://reference.wolframcloud.com/language/ref/TsallisQGaussianDistribution.html ^{[ пустой URL ]}
6. W. Thistleton, JA Marsh, K. Nelson и C. Tsallis, Обобщенный метод Бокса-Мюллера для генерации q -гауссовых случайных отклонений, IEEE Transactions on Information Theory 53, 4805 (2007)
7. Дуглас, П.; Бергамини, С.; Рензони, Ф. (2006). «Настраиваемые распределения Цаллиса в диссипативных оптических решетках» (PDF) . Physical Review Letters . 96 (11): 110601. Bibcode :2006PhRvL..96k0601D. doi :10.1103/PhysRevLett.96.110601. PMID  16605807.
8. Доминго, Дарио; д'Онофрио, Альберто; Фландоли, Франко (2017). «Ограниченность против неограниченности шума, связанного с q-статистикой Цаллиса: роль сверхдемпфированного приближения». Журнал математической физики . 58 (3). Издательство AIP: 033301. arXiv : 1709.08260 . Bibcode : 2017JMP....58c3301D. doi : 10.1063/1.4977081. ISSN  0022-2488. S2CID  84178785.
9. Борланд, Лиза (2002-08-07). "Формулы ценообразования опционов на основе негауссовой модели цен акций". Physical Review Letters . 89 (9). Американское физическое общество (APS): 098701. arXiv : cond-mat/0204331 . Bibcode : 2002PhRvL..89i8701B. doi : 10.1103/physrevlett.89.098701. ISSN  0031-9007. PMID  12190447. S2CID  5740827.
10. Л. Борланд, Ценообразование опционов на акции, в книге Nonextensive Entropy – Interdisciplinary Applications, под ред. М. Гелл-Манна и К. Цаллиса (Oxford University Press, Нью-Йорк, 2004)

Дальнейшее чтение

• Juniper, J. (2007) "Распределение Цаллиса и обобщенная энтропия: перспективы будущих исследований принятия решений в условиях неопределенности" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-06 . Получено 2011-06-24 ., Центр полной занятости и равенства, Университет Ньюкасла, Австралия

Внешние ссылки

• Статистика Цаллиса, статистическая механика для неэкстенсивных систем и дальнодействующих взаимодействий