число Маха

Отношение скорости объекта, движущегося в жидкости, к местной скорости звука

Число Маха ( M или Ma ), часто только Маха , ( / m ɑː k / ; немецкий: [max] ) — безразмерная величина в гидродинамике , представляющая отношение скорости потока за границей к локальной скорости звука . ^{[1] [2]} Он назван в честь чешского физика и философа Эрнста Маха .

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}},}$

где:

M – местное число Маха,

u - локальная скорость потока относительно границ (внутренних, например, объекта, погруженного в поток, или внешнего, например, канала), и

c — скорость звука в среде, которая в воздухе изменяется пропорционально квадратному корню из термодинамической температуры .

По определению, при скорости  1 Маха локальная скорость потока u равна скорости звука. При скорости  0,65 Маха u составляет 65% скорости звука (дозвуковая), а при скорости  1,35 Маха u на 35% быстрее скорости звука (сверхзвуковой). Пилоты высотных аэрокосмических аппаратов используют число Маха полета, чтобы выразить истинную воздушную скорость транспортного средства , но поле потока вокруг транспортного средства варьируется в трех измерениях с соответствующими вариациями местного числа Маха.

F /A-18 Hornet создает паровой конус на околозвуковой скорости непосредственно перед достижением скорости звука.

Локальная скорость звука и, следовательно, число Маха зависят от температуры окружающего газа. Число Маха в основном используется для определения приближения, с помощью которого поток можно рассматривать как несжимаемый поток . Средой может быть газ или жидкость. Граница может перемещаться в среде или быть неподвижной, пока среда течет вдоль нее, или они могут двигаться обе с разными скоростями : значение имеет их относительная скорость по отношению друг к другу. Граница может быть границей объекта, погруженного в среду, или канала, такого как сопло , диффузор или аэродинамическая труба , направляющая среду. Поскольку число Маха определяется как отношение двух скоростей, оно является безразмерной величиной. Если M  <0,2–0,3 и поток квазистационарный и изотермический , эффекты сжимаемости будут небольшими, и можно использовать упрощенные уравнения потока несжимаемой жидкости. ^{[1] [2]}

Этимология

Число Маха названо в честь физика и философа Эрнста Маха ^[3] по предложению авиационного инженера Якоба Аккерета в 1929 году. ^[4] Слово Мах всегда пишется с заглавной буквы, поскольку оно происходит от имени собственного, и поскольку число Маха является безразмерной величиной, а не единицей измерения , число идет после слова Мах; второе число Маха - 2 Маха  вместо 2  Маха (или Маха). Это чем-то напоминает раннюю современную единицу измерения глубины океана ( синоним сажени ), которая также указывалась на единицу измерения и, возможно, повлияла на использование термина Мах. В течение десятилетия, предшествовавшего полету человека со скоростью, превышающей скорость звука , авиационные инженеры называли скорость звука числом Маха , а не 1 Маха . ^[5]

Обзор

Скорость звука (синий) зависит только от изменения температуры на высоте (красный) и может быть рассчитана на основе нее, поскольку изолированные эффекты плотности и давления на скорость звука компенсируют друг друга. Скорость звука увеличивается с высотой в двух областях стратосферы и термосферы из-за эффектов нагрева в этих регионах.

Число Маха является мерой характеристик сжимаемости потока жидкости : жидкость (воздух) ведет себя под влиянием сжимаемости аналогичным образом при заданном числе Маха, независимо от других переменных. ^[6] Согласно модели Международной стандартной атмосферы , сухой воздух на среднем уровне моря , стандартная температура 15 °C (59 °F), скорость звука составляет 340,3 метра в секунду (1116,5 футов/с; 761,23 миль в час; 1225,1 км). /ч; 661,49 узлов). ^[7] Скорость звука не является константой; в газе она увеличивается пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры , а поскольку температура атмосферы обычно снижается с увеличением высоты от уровня моря до 11 000 метров (36 089 футов), скорость звука также уменьшается. Например, в стандартной модели атмосферы температура снижается до -56,5 ° C (-69,7 ° F) на высоте 11 000 метров (36 089 футов) с соответствующей скоростью звука (  1 Маха) 295,0 метров в секунду (967,8 футов / с); 659,9 миль/ч; 1062 км/ч; 573,4 узлов), 86,7% от значения уровня моря.

Появление в уравнении неразрывности

В качестве меры сжимаемости потока число Маха может быть получено из соответствующего масштабирования уравнения неразрывности . ^[8] Полное уравнение неразрывности для обычного потока жидкости: где – производная материала , – плотность , – скорость потока . Для изменений плотности, вызванных изэнтропическим давлением, где – скорость звука. Затем уравнение неразрывности можно немного изменить, чтобы учесть это соотношение: Следующий шаг — обезразмерить переменные как таковые: где — характерный масштаб длины, — характерный масштаб скорости, — эталонное давление и — эталонная плотность. Тогда безразмерная форма уравнения неразрывности может быть записана как: где число Маха . В пределе уравнение неразрывности сводится к — это стандартное требование для несжимаемого потока . $${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {u}})=0\equiv -{1 \over {\rho }}{D\rho \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$ ${\displaystyle D/Dt}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bf {u}}}$ ${\displaystyle dp=c^{2}d\rho }$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle -{1 \over {\rho c^{2}}}{Dp \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$ $${\displaystyle {\bf {x}}^{*}={\bf {x}}/L,\quad t^{*}=Ut/L,\quad {\bf {u}}^{*}={\bf {u}}/U,\quad p^{*}=(p-p_{\infty })/\rho _{0}U^{2},\quad \rho ^{*}=\rho /\rho _{0}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{\infty }}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ $${\displaystyle -{U^{2} \over {c^{2}}}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}\implies -{\text{M}}^{2}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}}$$ ${\displaystyle {\text{M}}=U/c}$ ${\displaystyle {\text{M}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {u}}=0}$

Классификация режимов Маха

Хотя термины «дозвуковой» и «сверхзвуковой» в самом чистом смысле относятся к скоростям ниже и выше местной скорости звука соответственно, аэродинамики часто используют одни и те же термины, чтобы говорить об определенных диапазонах значений Маха. Это происходит из-за наличия трансзвукового режима вокруг полета (набегающего потока) M = 1, где аппроксимации уравнений Навье-Стокса , используемые для дозвукового проектирования, больше не применимы; Самое простое объяснение состоит в том, что обтекание планера локально начинает превышать M = 1, хотя число Маха набегающего потока ниже этого значения.

Между тем, сверхзвуковой режим обычно используется, чтобы говорить о наборе чисел Маха, для которых можно использовать линеаризованную теорию, когда, например, поток ( воздуха ) не вступает в химическую реакцию и где теплообменом между воздухом и транспортным средством можно разумно пренебречь. в расчетах.

В следующей таблице указаны режимы или диапазоны значений Маха , а не чистые значения слов «дозвуковой» и «сверхзвуковой» .

Как правило, НАСА определяет высокий гиперзвук как любое число Маха от 10 до 25, а скорость входа в атмосферу - как любое число, превышающее 25 Маха. К самолетам, работающим в этом режиме, относятся космические шаттлы и различные космические самолеты, находящиеся в стадии разработки.

Высокоскоростное обтекание объектов

Полет можно условно разделить на шесть категорий:

Для сравнения: требуемая скорость для низкой околоземной орбиты составляет примерно 7,5 км/с = 25,4 Маха в воздухе на больших высотах.

На околозвуковых скоростях поле течения вокруг объекта включает как дозвуковую, так и сверхзвуковую части. Трансзвуковой период начинается с появлением вокруг объекта первых зон течения М > 1. В случае аэродинамического профиля (например, крыла самолета) это обычно происходит над крылом. Сверхзвуковой поток может замедлиться до дозвукового только при нормальном толчке; обычно это происходит перед задней кромкой. (Рис.1а)

С увеличением скорости зона течения М > 1 увеличивается как в сторону передней, так и в сторону задней кромки. При достижении и прохождении М = 1 нормальный скачок достигает задней кромки и становится слабым косым скачком: течение над скачком замедляется, но остается сверхзвуковым. Впереди объекта создается нормальная ударная волна, и единственной дозвуковой зоной в поле потока является небольшая область вокруг передней кромки объекта. (Рис.1б)

Рис. 1. Число Маха при околозвуковом обтекании профиля; М < 1 (а) и М > 1 (б).

Когда самолет превышает 1 Маха (т.е. звуковой барьер ), прямо перед самолетом создается большая разница давления . Эта резкая разница давлений, называемая ударной волной , распространяется назад и наружу от самолета в форме конуса (так называемый конус Маха ). Именно эта ударная волна вызывает звуковой удар , слышимый, когда над головой пролетает быстро движущийся самолет. Человек внутри самолета этого не услышит. Чем выше скорость, тем уже конус; при чуть большем M = 1 это вообще не конус, а ближе к слегка вогнутой плоскости.

На полностью сверхзвуковой скорости ударная волна начинает принимать форму конуса, и течение либо полностью сверхзвуковое, либо (в случае тупого объекта) между носовой частью объекта и создаваемой им впереди ударной волной остается лишь очень маленькая дозвуковая область потока. самого себя. (В случае острого предмета между носом и ударной волной воздуха нет: ударная волна начинается от носа.)

По мере увеличения числа Маха увеличивается и сила ударной волны , и конус Маха становится все более узким. Когда поток жидкости пересекает ударную волну, его скорость уменьшается, а температура, давление и плотность увеличиваются. Чем сильнее шок, тем значительнее изменения. При достаточно больших числах Маха температура над ударной волной возрастает настолько, что начинается ионизация и диссоциация молекул газа за ударной волной. Такие течения называются гиперзвуковыми.

Понятно, что любой объект, движущийся с гиперзвуковой скоростью, будет также подвергаться воздействию тех же экстремальных температур, что и газ за носовой ударной волной, и, следовательно, выбор термостойких материалов становится важным.

Высокоскоростное течение в канале

Когда поток в канале становится сверхзвуковым, происходит одно существенное изменение. Сохранение массового расхода заставляет ожидать, что сжатие канала потока приведет к увеличению скорости потока (т.е. сужение канала приводит к более быстрому потоку воздуха), и на дозвуковых скоростях это справедливо. Однако как только поток становится сверхзвуковым, соотношение площади потока и скорости меняется на противоположное: расширение канала фактически увеличивает скорость.

Очевидный результат: для ускорения потока до сверхзвука необходимо сужающееся-расширяющееся сопло, в котором сужающаяся часть ускоряет поток до звуковых скоростей, а расширяющаяся часть продолжает ускорение. Такие сопла называются соплами Лаваля, и в крайних случаях они способны развивать гиперзвуковую скорость (13 Маха (15 900 км/ч; 9 900 миль в час) при 20 ° C).

Авиационный махометр или электронная система полетной информации ( EFIS ) может отображать число Маха, полученное на основе давления торможения ( трубка Пито ) и статического давления.

Расчет

Если известна скорость звука, число Маха, с которым летит самолет, можно рассчитать по формуле

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}}}$

где:

М — число Маха

u - скорость движущегося самолета,

c — скорость звука на данной высоте (точнее, температура)

а скорость звука зависит от термодинамической температуры как:

${\displaystyle c={\sqrt {\gamma \cdot R_{*}\cdot T}},}$

где:

${\displaystyle \gamma \,}$- отношение удельной теплоты газа при постоянном давлении к теплоте при постоянном объеме (1,4 для воздуха)

${\displaystyle R_{*}}$– удельная газовая постоянная воздуха.

${\displaystyle T,}$– статическая температура воздуха.

Если скорость звука неизвестна, число Маха можно определить путем измерения различных давлений воздуха (статического и динамического) и использования следующей формулы, полученной из уравнения Бернулли для чисел Маха меньше 1,0. Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для расчета числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке выглядит следующим образом: ^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right]}}\,}$

где:

q _c – ударное давление (динамическое давление),

p — статическое давление

${\displaystyle \gamma \,}$- отношение удельной теплоты газа при постоянном давлении к теплоте при постоянном объеме (1,4 для воздуха)

Формула для расчета числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке получена из сверхзвукового уравнения Пито Рэлея :

${\displaystyle {\frac {p_{t}}{p}}=\left[{\frac {\gamma +1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\cdot \left[{\frac {\gamma +1}{1-\gamma +2\gamma \,\mathrm {M} ^{2}}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}}$

Расчет числа Маха по давлению в трубке Пито

Число Маха является функцией температуры и истинной воздушной скорости. Однако летные приборы самолета используют для расчета числа Маха перепад давления, а не температуру.

Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для расчета числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке находится из уравнения Бернулли для M <1 (выше): ^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {5\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {2}{7}}-1\right]}}\,}$

Формулу для расчета числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке можно найти из сверхзвукового уравнения Пито Рэлея (см. выше) с использованием параметров для воздуха:

${\displaystyle \mathrm {M} \approx 0.88128485{\sqrt {\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)\left(1-{\frac {1}{7\,\mathrm {M} ^{2}}}\right)^{2.5}}}}$

где:

q _c — динамическое давление, измеренное за нормальным скачком.

Как можно видеть, M появляется в обеих частях уравнения, и для практических целей для численного решения необходимо использовать алгоритм поиска корня (уравнение представляет собой септическое уравнение в M ² и, хотя некоторые из них могут быть решены явно , теорема Абеля–Руффини гарантирует, что не существует общего вида корней этих многочленов). Сначала определяется, действительно ли M превышает 1,0, путем расчета M из дозвукового уравнения. Если в этой точке M больше 1,0, то значение M из дозвукового уравнения используется в качестве начального условия для итерации сверхзвукового уравнения с фиксированной точкой, которое обычно сходится очень быстро. ^[9] Альтернативно можно использовать метод Ньютона .

Смотрите также

• Критическое число Маха  - концепция аэродинамики
• Махметр  - Летный прибор
• Ramjet  - сверхзвуковой атмосферный реактивный двигатель.
• ГПВРД  - реактивный двигатель, в котором сгорание происходит в сверхзвуковом потоке воздуха.
• Скорость звука  - Скорость звуковой волны в упругой среде.
• Истинная воздушная скорость  - скорость самолета относительно воздушной массы, через которую он летит.
• Порядки величины (скорости)  - Сравнение широкого диапазона скоростей.

Примечания

1. Янг, Дональд Ф.; Мансон, Брюс Р.; Окииси, Теодор Х .; Хюбш, Уэйд В. (21 декабря 2010 г.). Краткое введение в механику жидкости (5-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 95. ИСБН 978-0-470-59679-1. LCCN  2010038482. OCLC  667210577. OL  24479108M.
2. Гребель, Уильям П. (19 января 2001 г.). Инженерная механика жидкости (1-е изд.). ЦРК Пресс . п. 16. ISBN 978-1-56032-733-2. OCLC  1034989004. ОЛ  9794889М.
3. "Эрнст Мах". Британская энциклопедия . 2016 . Проверено 6 января 2016 г.
4. Якоб Акерет: Der Luftwiderstand bei sehr großen Geschwindigkeiten. Schweizerische Bauzeitung 94 (октябрь 1929 г.), стр. 179–183. См. также: Н. Ротт: Якоб Аккерт и история числа Маха. Ежегодный обзор механики жидкости 17 (1985), стр. 1–9.
5. Боди, Уоррен М., Lockheed P-38 Lightning , ISBN Widewing Publications 0-9629359-0-5 . 
6. Нэнси Холл (ред.). "Число Маха". НАСА .
7. Клэнси, LJ (1975), Аэродинамика, Таблица 1, Pitman Publishing, Лондон, ISBN 0-273-01120-0 
8. Кунду, П.Дж.; Коэн, ИМ; Даулинг, Д.Р. (2012). Механика жидкости (5-е изд.). Академическая пресса. стр. 148–149. ISBN 978-0-12-382100-3.
9. Олсон, Уэйн М. (2002). «AFFTC-TIH-99-02, Летные испытания летательных аппаратов ». (PDF). Летно-испытательный центр ВВС, авиабаза Эдвардс, Калифорния, ВВС США. Архивировано 4 сентября 2011 года в Wayback Machine .

Внешние ссылки

• Gas Dynamics Toolbox Рассчитайте число Маха и параметры нормальной ударной волны для смесей идеальных и несовершенных газов.
• Страница НАСА, посвященная числу Маха. Интерактивный калькулятор числа Маха.
• Калькулятор стандартной атмосферы NewByte и преобразователь скорости