Клубок (математика)

Узел крендель (−2,3,7) имеет два правых поворота в первом сплетении , три левых поворота во втором и семь левых поворотов в третьем.

В математике клубок обычно представляет собой одно из двух взаимосвязанных понятий:

• По определению Джона Конвея , n -клубок — это правильное вложение несвязного объединения n дуг в 3-шар ; вложение должно отправлять концы дуг в 2 n отмеченных точек на границе шара.
• В теории связей клубок — это вложение n дуг и m окружностей в — отличие от предыдущего определения в том, что оно включает в себя как окружности, так и дуги, и разбивает границу на две (изоморфные) части, что алгебраически более удобно — это позволяет добавлять клубки, например, накладывая их друг на друга. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\times [0,1]}$

(Совершенно иное использование термина «запутывание» появляется в работе Н. Робертсона и П. Д. Сеймура «Graph minors X. Obstructors to tree-decomposition», журнал комбинаторной теории B 52 (1991) 153–190, где он использовался для описания разделения в графах. Это использование было распространено на матроиды .)

Остальная часть статьи посвящена обсуждению понимания Конвеем клубков; о понимании теории связей см. ту же статью .

Два n -клубка считаются эквивалентными, если существует окружающая изотопия одного клубка к другому, сохраняющая границу 3-шара фиксированной. Теорию клубков можно считать аналогичной теории узлов , за исключением того, что вместо замкнутых петель используются струны, концы которых прибиты гвоздями. См. также теорию кос .

Диаграммы клубков

Без потери общности, считайте, что отмеченные точки на границе 3-шара лежат на большом круге. Клубок можно расположить так, чтобы он находился в общем положении относительно проекции на плоский диск, ограниченный большим кругом. Затем проекция дает нам диаграмму клубка , где мы отмечаем переходы сверху и снизу, как в диаграммах узлов .

Спутывания часто отображаются в виде диаграмм спутываний на диаграммах узлов или связей и могут использоваться в качестве строительных блоков для диаграмм связей , например, связей типа «крендель» .

Рациональные и алгебраические переплетения

Некоторые операции над клубками:

Слева: плетение a и его отражение ⁻ a . Справа вверху: сложение плетений, обозначенное a + b . Справа по центру: произведение плетений, обозначенное ab , эквивалентно ⁻ a + b . Справа внизу: ветвление, обозначенное a , b , эквивалентно ⁻ a + ⁻ b

Рациональный узел — это 2-узелок, гомеоморфный тривиальному 2-узеку с помощью карты пар, состоящей из 3-шара и двух дуг. Четыре конечные точки дуг на граничной окружности диаграммы узла обычно обозначаются как NE, NW, SW, SE, а символы указывают на направления по сторонам света.

Произвольная диаграмма рационального сплетения может выглядеть очень сложной, но всегда существует диаграмма определенной простой формы: начните с диаграммы сплетения, состоящей из двух горизонтальных (вертикальных) дуг; добавьте "поворот", т. е. одиночный перекресток, поменяв местами конечные точки NE и SE (конечные точки SW и SE); продолжайте, добавляя больше поворотов, используя либо конечные точки NE и SE, либо конечные точки SW и SE. Можно предположить, что каждый поворот не меняет диаграмму внутри диска, содержащего ранее созданные перекрестки.

Мы можем описать такую ​​диаграмму, рассматривая числа, заданные последовательными поворотами вокруг одного и того же набора конечных точек, например, (2, 1, -3) означает начало с двух горизонтальных дуг, затем 2 поворота с использованием конечных точек NE/SE, затем 1 поворот с использованием конечных точек SW/SE, а затем 3 поворота с использованием конечных точек NE/SE, но поворот в противоположном направлении от предыдущего. Список начинается с 0, если вы начинаете с двух вертикальных дуг. Диаграмма с двумя горизонтальными дугами тогда будет (0), но мы назначаем (0, 0) диаграмме с вертикальными дугами. Необходимо соглашение для описания «положительного» или «отрицательного» поворота. Часто «рациональная путаница» относится к списку чисел, представляющих простую диаграмму, как описано.

Дробь рационального клубка тогда определяется как число, заданное непрерывной дробью . Дробь, заданная (0,0), определяется как . Конвей доказал, что дробь хорошо определена и полностью определяет рациональный клубок с точностью до эквивалентности клубков. ^[1] Доступное доказательство этого факта дано в:. ^[2] Конвей также определил дробь произвольного клубка, используя многочлен Александера . ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )}$ ${\displaystyle [a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\dots ]}$ ${\displaystyle \infty }$

Операции над клубками

Существует «арифметика» клубков с операциями сложения, умножения и обратными действиями. Алгебраический клубок получается из сложения и умножения рациональных клубков.

Замыкание числителя рационального клубка определяется как связь, полученная путем соединения "северных" конечных точек вместе, а также "южных" конечных точек вместе. Замыкание знаменателя определяется аналогично путем группировки "восточных" и "западных" конечных точек. Рациональные связи определяются как такие замыкания рациональных клубков.

нотация Конвея

Одной из причин изучения Конвеем спутываний было желание разработать более систематическую систему обозначений узлов, чем традиционная нумерация, используемая в таблицах.

Приложения

Было показано, что клубки полезны при изучении топологии ДНК . Действие данного фермента можно проанализировать с помощью теории клубков. ^[3]

Смотрите также

• Головоломка-путаница

Ссылки

1. Conway, JH (1970). «Перечисление узлов и связей и некоторые из их алгебраических свойств» (PDF) . В Leech, J. (ред.). Вычислительные проблемы в абстрактной алгебре . Оксфорд, Англия: Pergamon Press. стр. 329–358.
2. Кауфман, Луис Х.; Ламбропулу, София (12 января 2004 г.). «О классификации рациональных плетений». Advances in Applied Mathematics . 33 (2): 199–237. arXiv : math/0311499 . Bibcode : 2003math.....11499K. doi : 10.1016/j.aam.2003.06.002. S2CID  119143716.
3. Эрнст, К.; Самнерс, Д.У. (ноябрь 1990 г.). «Исчисление рациональных клубков: применение к рекомбинации ДНК». Математические труды Кембриджского философского общества . 108 (3): 489–515. Bibcode : 1990MPCPS.108..489E. doi : 10.1017/s0305004100069383. ISSN  0305-0041.

Дальнейшее чтение

• Адамс, CC (2004). Книга узлов: Элементарное введение в математическую теорию узлов . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. xiv+307. ISBN 0-8218-3678-1.

Внешние ссылки

• MacKay, David . "Код Metapost для рисования клубков и других изображений". Inference Group . Получено 2018-04-13 .
• Голдман, Джей Р.; Кауфман, Луис Х. (1997). «Рациональные плетения» (PDF) . Достижения в прикладной математике . 18 (3): 300–332. doi : 10.1006/aama.1996.0511 .