Алексей Васильевич Погорелов ( русский : Алексе́й Васильевич Погоре́лов , украинский : Олексі́й Васи́льович Погорє́лов ; 3 марта 1919 — 17 декабря 2002) — советский математик . Специалист в области выпуклой [1] [2] [3] и дифференциальной геометрии , геометрических уравнений в частных производных и теории упругих оболочек, автор новых школьных учебников по геометрии и вузовских учебников по аналитической геометрии , дифференциальной геометрии и основаниям геометрии.
Его именем названы теорема единственности Погорелова и теорема Александрова–Погорелова .
Родился в Короча в крестьянской семье. В 1931 году из-за коллективизации родители Погорелова бежали из села в Харьков , где его отец устроился рабочим на строительство Харьковского тракторного завода. В 1935 году Погорелов занял первое место на математической олимпиаде в Харьковском государственном университете . После окончания средней школы в 1937 году поступил на математический факультет Харьковского государственного университета. Был лучшим студентом факультета.
В 1941 году, после вступления Советского Союза в Великую Отечественную войну , Погорелов был направлен на 11-месячную учёбу в Военно-воздушную инженерную академию имени Н. Е. Жуковского. Во время учёбы курсанты периодически отправлялись на несколько месяцев на фронт в качестве техников по обслуживанию самолётов. После победы Красной Армии над фашистами под Москвой обучение продолжалось полный семестр. После окончания академии он работал в Центральном аэрогидродинамическом институте имени Н. Е. Жуковского (ЦАГИ) инженером-конструктором.
Желание завершить университетское образование и профессионально специализироваться в геометрии привело Погорелова в МГУ. По рекомендации И. Г. Петровского (декана механико-математического факультета) и известного геометра В. Ф. Кагана Погорелов познакомился с А. Д. Александровым — основоположником теории негладких выпуклых поверхностей. Возникло много новых вопросов по этой теории. Александров предложил Погорелову дать ответ на один из них. Через год задача была решена, и Погорелов был зачислен в аспирантуру механико-математического факультета МГУ. Его научным руководителем по разделам теории Александрова стал Николай Ефимов . После защиты кандидатской диссертации в 1947 году он был демобилизован и переехал в Харьков, где начал работать в Институте математики Харьковского государственного университета и на кафедре геометрии университета. В 1948 году защитил докторскую диссертацию. В 1951 году он стал членом-корреспондентом АН Украины, в 1960 году — членом-корреспондентом АН СССР (отделение физико-математических наук). В 1961 году он стал академиком АН Украины. В 1976 году он стал академиком АН СССР (отделение математики). С 1950 по 1960 год он был заведующим кафедрой геометрии Харьковского государственного университета. С 1960 по 2000 год он был заведующим отделом геометрии Физико -технического института низких температур им. В.И. Веркина НАН Украины.
С 2000 года жил в Москве и работал в Математическом институте им . В. А. Стеклова.
Он скончался 17 декабря 2002 года и был похоронен в Москве на Николо-Архангельском кладбище.
К началу XX века были разработаны методы решения локальных задач, связанных с регулярными поверхностями. К тридцатым годам были разработаны методы решения задач геометрии «в целом». Эти методы были связаны в основном с теорией уравнений в частных производных. Математики были беспомощны, когда поверхности были негладкими (например, с коническими точками, ребристыми точками и т. п.) и когда внутренняя геометрия задавалась не гладкой положительно определенной квадратичной формой, а просто метрическим пространством достаточно общего вида. Прорыв в изучении негладких метрик и негладких поверхностей совершил выдающийся геометр А. Д. Александров. Он разработал теорию метрических пространств неотрицательной кривизны, так называемых метрических пространств Александрова. Как частный случай, эта теория охватывала внутреннюю геометрию общих выпуклых поверхностей, то есть границы выпуклых тел. Александров изучал связи между внутренней и внешней геометрией общих выпуклых поверхностей. Он доказал, что всякая метрика неотрицательной кривизны, заданная на двумерной сфере (включая негладкие метрики, так называемые внутренние метрики), может быть изометрически погружена в трехмерное евклидово пространство в виде замкнутой выпуклой поверхности, но ответы на следующие фундаментальные вопросы были неизвестны:
После решения этих задач созданная Александровым теория получила бы «полное гражданство» в математике и могла бы применяться также в классическом регулярном случае. На каждый из этих 3 вопросов Погорелов ответил положительно. Используя синтетические геометрические методы, он разработал геометрические методы получения априорных оценок для решений уравнений Монжа-Ампера . С одной стороны, он использовал эти уравнения для решения геометрических задач; с другой стороны, исходя из геометрических соображений, он построил обобщенное решение уравнения Монжа-Ампера, а затем доказал его регулярность для регулярной правой части уравнения. Фактически, в этих пионерских работах Погорелов заложил основу области геометрического анализа . Он доказал следующие фундаментальные результаты:
Для областей на выпуклых поверхностях утверждения 1) и 2) неверны. Локальные и глобальные свойства поверхностей существенно различаются. Доказав утверждение 1), Погорелов завершил решение проблемы, открытой более века. Первый результат в этом направлении был получен Коши для замкнутых выпуклых многогранников в 1813 году.
Доказанные Погореловым теоремы легли в основу его нелинейной теории тонких оболочек. Эта теория рассматривает те упругие состояния оболочки, которые существенно отличаются от исходной формы. При таких деформациях срединная поверхность тонкой оболочки испытывает изгиб с сохранением метрики. Это позволяет, используя доказанные Погореловым теоремы для выпуклых поверхностей, исследовать потерю устойчивости и закритическое упругое состояние выпуклых оболочек при заданной деформации. Такие оболочки являются наиболее распространенными элементами современных конструкций.
Результаты 1) и 2) обобщены для регулярных поверхностей в римановом пространстве. Кроме того, решена проблема Вейля для риманова пространства : доказано, что регулярная метрика гауссовой кривизны, большей некоторой константы c, на двумерной сфере может быть изометрически погружена в полное трехмерное риманово пространство кривизны <c в виде регулярной поверхности. Изучая методы, развитые при доказательстве этого результата, лауреат Абелевской премии М. Громов ввел понятие псевдоголоморфных кривых, которые являются основным инструментом в современной симплектической геометрии .
Замкнутая выпуклая гиперповерхность однозначно определяется не только метрикой, но и гауссовой кривизной как функцией единичных нормалей. Более того, гиперповерхность однозначно определяется с точностью до параллельного переноса. Это доказал Г. Минковский. Но будет ли гиперповерхность регулярной при условии, что гауссова кривизна K(n) является регулярной функцией единичной нормали? Погорелов доказал, что если положительная функция K(n) принадлежит классу С k , k≥3 , то опорная функция будет иметь класс регулярности С k+1,v , 0<v<1 .
Самой сложной частью доказательства теоремы было получение априорных оценок для производных опорной функции гиперповерхности до третьего порядка включительно. Метод априорных оценок Погорелова был использован С.-Т. Яу для получения априорных оценок для решений комплексных уравнений Монжа-Ампера. Это был главный шаг в доказательстве существования многообразий Калаби-Яу, которые играют важную роль в теоретической физике. Уравнение Монжа-Ампера имеет вид
Априорные оценки в задаче Минковского являются априорными для решения уравнения Монжа-Ампера с функцией
В то время не было подхода к изучению этого полностью нелинейного уравнения. А. В. Погорелов создал теорию уравнения Монжа-Ампера геометрическими методами. Сначала, идя от многогранников, он доказал существование обобщенных решений при естественных условиях в правой части. После этого он нашел априорные оценки для производных до третьего порядка включительно для регулярных решений. Используя априорные оценки, он доказал регулярность строго выпуклых решений, существование решений задачи Дирихле и их регулярность. Уравнение Монжа-Ампера является неотъемлемой частью транспортной задачи Монжа-Канторовича, оно используется в конформной, аффинной, кэлеровой геометриях, в метеорологии и в финансовой математике. Погорелов как-то сказал об уравнении Монжа-Ампера: это великое уравнение, с которым мне выпала честь работать.
Одна из наиболее концептуальных работ Погорелова относится к циклу работ о гладких поверхностях ограниченной внешней кривизны . А. Д. Александров создал теорию общих метрических многообразий, естественным образом обобщающих римановы многообразия . В частности, он ввел класс двумерных многообразий ограниченной кривизны. Они исчерпывают класс всех метризованных двумерных многообразий, допускающих в окрестности каждой точки равномерную аппроксимацию римановыми метриками с абсолютной интегральной кривизной (т. е. интегралом от модуля гауссовой кривизны), ограниченной в совокупности.
Естественно, возник вопрос о классе поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, несущих такую метрику с сохранением связей между метрикой и внешней геометрией поверхности. Частично отвечая на этот вопрос, Погорелов ввел класс С 1 -гладких поверхностей с требованием ограниченности площади сферического изображения с учетом кратности покрытия в некоторой окрестности каждой точки поверхности. Такие поверхности называются поверхностями ограниченной внешней кривизны.
Для таких поверхностей также существует очень тесная связь между внутренней геометрией поверхности и ее внешней формой: полная поверхность с ограниченной внешней кривизной и неотрицательной внутренней кривизной (не равной нулю) является либо замкнутой выпуклой поверхностью, либо неограниченной выпуклой поверхностью; полная поверхность с нулевой внутренней кривизной и ограниченной внешней кривизной является цилиндром.
Первая работа А. В. Погорелова о поверхностях ограниченной внешней кривизны была опубликована в 1953 г. В 1954 г. Дж. Нэш опубликовал работу о С 1 -изометрических погружениях, которая была улучшена Н. Кейпером в 1955 г. Из этих исследований следует, что риманова метрика, заданная на двумерном многообразии, при весьма общих предположениях допускает реализацию на С 1 -гладкой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Причем эта реализация осуществляется столь же свободно, как и топологическое погружение в пространство многообразия, на котором задана метрика. Отсюда ясно, что для С 1 -поверхностей, даже с хорошей внутренней метрикой, невозможно сохранить связи между внутренней и внешней кривизной. Даже в случае, если С 1 -поверхность несет регулярную метрику положительной гауссовой кривизны, то это не влечет локальной выпуклости поверхности. Это подчеркивает естественность класса поверхностей ограниченной внешней кривизны, введенного Погореловым.
Погорелов решил четвертую проблему Гильберта , поставленную Д. Гильбертом на II Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году. Он нашел все, с точностью до изоморфизма, реализации систем аксиом классических геометрий (Евклида, Лобачевского и эллиптической), если опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятие угла, и дополнить эти системы аксиомой «неравенства треугольника».
Погорелов одним из первых предложил (в 1970 году) новую идею в конструкции криотурбогенератора со сверхпроводящей обмоткой возбуждения и принимал активное участие в технических расчетах и создании соответствующих промышленных образцов.
В 2015 году одна из улиц Харькова была названа в честь Погорелова.
В 2007 году Национальная академия наук Украины учредила премию имени А. П. Погорелова за достижения в области геометрии и топологии.
Один из астероидов назван в честь Погорелова: (19919) Pogorelov .
