гипотеза abc

Произведение различных простых делителей a,b,c, где c равно a+b, редко намного меньше c.

Математик Йозеф Остерле

Математик Дэвид Массер

Гипотеза abc (также известная как гипотеза Остерле-Массера ) — это гипотеза в теории чисел , возникшая в результате обсуждения Джозефа Остерле и Дэвида Массера в 1985 году. [ ^{1] [2]} Она формулируется в терминах трех положительных целых чисел и (отсюда и название), которые относительно просты и удовлетворяют . Гипотеза по существу утверждает, что произведение различных простых делителей обычно не намного меньше . Ряд известных гипотез и теорем теории чисел непосредственно вытекает из гипотезы abc или ее версий. Математик Дориан Голдфельд назвал гипотезу abc «самой важной нерешенной проблемой диофантового анализа ». ^[3] ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle c}$

Гипотеза abc возникла в результате попыток Остерле и Массера понять гипотезу Шпиро об эллиптических кривых ^[4] , которая включает в себя больше геометрических структур, чем гипотеза abc . Было показано, что гипотеза abc эквивалентна модифицированной гипотезе Шпиро. ^[1]

Были предприняты различные попытки доказать гипотезу abc , но ни одна из них не получила широкого признания. Шиничи Мочизуки заявил, что у него есть доказательство в 2012 году, но основное математическое сообщество до сих пор считает эту гипотезу недоказанной. ^{[5] [6] [7]}

Составы

Прежде чем сформулировать гипотезу, необходимо ввести понятие радикала целого числа : для положительного целого числа радикал , обозначенный , является произведением различных простых делителей . Например, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{rad}}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\text{rad}}(16)={\text{rad}}(2^{4})={\text{rad}}(2)=2}$

${\displaystyle {\text{rad}}(17)=17}$

${\displaystyle {\text{rad}}(18)={\text{rad}}(2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6}$

${\displaystyle {\text{rad}}(1000000)={\text{rad}}(2^{6}\cdot 5^{6})=2\cdot 5=10}$

Если a , b и c — взаимно простые ^{[примечания 1]} положительные целые числа такие, что a + b = c , то получается, что «обычно» . Гипотеза abc касается исключений. В частности, там говорится, что: ${\displaystyle c<{\text{rad}}(abc)}$

Для каждого положительного действительного числа ε существует только конечное число троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c , таких, что ^[8]

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Эквивалентная формулировка:

Для каждого положительного действительного числа ε существует константа K _ε такая, что для всех троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c : ^[8]

${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Эквивалентно (используя маленькое обозначение o ):

Для всех троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c , rad( abc ) не меньше c ^{1- o (1)} .

Четвертая эквивалентная формулировка гипотезы включает качество q ( a , b , c ) тройки ( a , b , c ), которое определяется как

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}{\textrm {rad}}(abc){\big )}}}.}$

Например:

q (4, 127, 131) = log(131) / log(рад(4·127·131)) = log(131)/log(2·127·131) = 0,46820...

q (3, 125, 128) = log(128) / log(рад(3·125·128)) = log(128)/log(30) = 1,426565...

Типичная тройка ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c будет иметь c < rad( abc ), т.е. q ( a , b , c ) < 1. Тройки с q > 1, такие как в Второй пример довольно особенный: они состоят из чисел, делящихся на большие степени малых простых чисел . Четвертая формулировка:

Для каждого положительного действительного числа ε существует только конечное число троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c таких, что q ( a , b , c ) > 1 + ε .

Хотя известно, что существует бесконечно много троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c таких, что q ( a , b , c ) > 1, гипотеза предсказывает, что только конечное число из них имеют q > 1,01 или q > 1,001 или даже q > 1,0001 и т. д. В частности, если гипотеза верна, то должна существовать тройка ( a , b , c ), которая достигает максимально возможного качества q ( a , b , c ).

Примеры троек с малым радикалом

Условие ε > 0 необходимо, поскольку существует бесконечно много троек a , b , c с c > rad( abc ). Например, пусть

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.}$

Целое число b делится на 9:

${\displaystyle b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).}$

Используя этот факт, производится следующий расчет:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&={\tfrac {2}{3}}b\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}}$

Заменяя показатель степени 6 n другими показателями, заставляя b иметь большие квадратные множители, отношение между радикалом и c можно сделать сколь угодно малым. В частности, пусть p > 2 — простое число, и рассмотрим

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.}$

Теперь можно правдоподобно утверждать, что ^b делится на p2 :

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}}$

На последнем шаге используется тот факт, что p ² делит 2 ^{p ( p −1)}  − 1. Это следует из маленькой теоремы Ферма , которая показывает, что для p  > 2 2 ^{p −1}  =  pk  + 1 для некоторого целого числа k . Возведение обеих частей в степень p показывает, что 2 ^{p ( p −1)}  =  p ² (...) + 1.

И теперь с аналогичным расчетом, как указано выше, следующие результаты:

${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.}$

Список троек высшего качества (троек с особенно малым радикалом относительно c ) приведен ниже; самое высокое качество, 1,6299, было обнаружено Эриком Рейссатом (Ландо и Звонкин 2004, стр. 137) для

а = 2,

б = 3 ¹⁰ ·109 =6 436 341 ,

в = 23 ⁵ =6 436 343 ,

рад( abc ) =15 042 .

Некоторые последствия

Гипотеза abc имеет большое количество следствий. К ним относятся как известные результаты (некоторые из которых были доказаны отдельно только с момента формулировки гипотезы), так и гипотезы, для которых она дает условное доказательство . Последствия включают в себя:

• Теорема Рота о диофантовой аппроксимации алгебраических чисел . ^{[9] [8]}
• Гипотеза Морделла ( в общих чертах уже доказанная Гердом Фалтингсом ). ^[10]
• Как эквивалент, гипотеза Войты в размерности 1. ^[11]
• Гипотеза Эрдеша – Вудса, допускающая конечное число контрпримеров. ^[12]
• Существование бесконечного числа простых чисел, не являющихся вифериховскими, в каждой базе b > 1. ^[13]
• Слабая форма гипотезы Маршалла Холла о разделении квадратов и кубов целых чисел. ^[14]
• Великая теорема Ферма имеет знаменитое трудное доказательство Эндрю Уайлса . Однако это легко следует, по крайней мере для , из эффективной формы слабой версии гипотезы abc . Гипотеза abc утверждает, что lim sup множества всех качеств (определенных выше) равен 1, что подразумевает гораздо более слабое утверждение о том, что существует конечная верхняя граница качеств. Гипотеза о том, что 2 является такой верхней границей, достаточна для очень краткого доказательства Великой теоремы Ферма для . ^[15] ${\displaystyle n\geq 6}$ ${\displaystyle n\geq 6}$
• Гипотеза Ферма -Каталана — обобщение Великой теоремы Ферма о степенях, которые являются суммами степеней. ^[16]
• L -функция L ( s , χ d ₎ , образованная с помощью символа Лежандра , не имеет нуля Зигеля , учитывая единую версию гипотезы abc в числовых полях , а не только гипотезу abc , сформулированную выше для целых рациональных чисел. ^[17]
• Многочлен P ( x ) имеет лишь конечное число совершенных степеней для всех целых чисел x, если P имеет по крайней мере три простых нуля . ^[18]
• Обобщение теоремы Тайдемана о количестве решений y ^m = x ⁿ + k (теорема Тайдемана отвечает на случай k = 1) и гипотезы Пиллаи (1931) о количестве решений Ay ^m = Bx ⁿ + k .
• В качестве эквивалента можно использовать гипотезу Гранвилля-Ланжевена о том, что если f - двоичная форма без квадратов степени n > 2, то для каждого вещественного β > 2 существует константа C ( f , β ) такая, что для всех взаимно простых целых чисел x , y радикал f ( x , y ) превышает C · max{| х |, | y |} ^{п - β} . ^[19]
• все многочлены (x^n-1)/(x-1) имеют бесконечное количество свободных от квадратов значений. ^[20]

• В качестве эквивалента можно использовать модифицированную гипотезу Шпиро , которая дает оценку rad( abc ) ^{1,2+ ε} . ^[1]
• Домбровский (1996) показал, что из гипотезы abc следует, что диофантово уравнение n ! + A = k ² имеет лишь конечное число решений для любого данного целого числа A .
• Существуют ~ c _f N целые положительные числа n ≤ N , для которых f ( n )/B' не содержит квадратов, причем c _f > 0 — положительная константа, определенная как: ^[21]
  ${\displaystyle c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).}$
• Гипотеза Била , обобщение Великой теоремы Ферма, предполагающая, что если A , B , C , x , y и z — положительные целые числа с A ^x + B ^y = C ^z и x , y , z > 2, то A , B , и C имеют общий простой делитель. Гипотеза abc подразумевала бы, что существует лишь конечное число контрпримеров.
• Гипотеза Ланга , нижняя оценка высоты некрученной рациональной точки эллиптической кривой.
• Отрицательное решение проблемы Эрдеша–Улама о плотных множествах евклидовых точек с рациональными расстояниями. ^[22]
• Эффективная версия теоремы Зигеля о целых точках на алгебраических кривых . ^[23]

Теоретические результаты

Гипотеза abc подразумевает, что c может быть ограничено сверху почти линейной функцией радикала abc . Известны экспоненциальные границы . В частности, были доказаны следующие границы:

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$(Стюарт и Тайдеман, 1986),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$(Стюарт и Ю, 1991) и

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}}$(Стюарт и Ю, 2001).

В этих границах K ₁ и K ₃ являются константами , которые не зависят от a , b или c , а K ₂ является константой, которая зависит от ε ( эффективно вычислимым образом), но не от a , b или c . Оценки применимы к любой тройке, для которой c > 2.

Существуют также теоретические результаты, которые дают нижнюю границу наилучшей возможной формы гипотезы abc . В частности, Стюарт и Тейдеман (1986) показали, что существует бесконечно много троек ( a , b , c ) взаимно простых целых чисел с a + b = c и

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)\exp {\left(k{\sqrt {\log c}}/\log \log c\right)}}$

для всех k < 4. Константа k была улучшена до k = 6,068 ван Франкенхейзеном (2000).

Результаты вычислений

В 2006 году математический факультет Лейденского университета в Нидерландах совместно с голландским научным институтом Кеннислинк запустил проект ABC@Home , систему грид-вычислений , целью которого является обнаружение дополнительных троек a , b , c с rad( abc ) < в . Хотя никакой конечный набор примеров или контрпримеров не может разрешить гипотезу abc , есть надежда, что закономерности в тройках, обнаруженные в рамках этого проекта, приведут к пониманию гипотезы и теории чисел в более общем плане.

По состоянию на май 2014 года ABC@Home обнаружила 23,8 миллиона троек. ^[25]

Примечание: качество q ( a , b , c ) тройки ( a , b , c ) определено выше.

Утонченные формы, обобщения и связанные с ними утверждения

Гипотеза abc представляет собой целочисленный аналог теоремы Мейсона–Стотерса для многочленов.

Усиление, предложенное Бейкером (1998), гласит, что в гипотезе abc можно заменить rad( abc ) на

ε ^{− ω} рад( abc ),

где ω — общее количество различных простых чисел, делящих a , b и c . ^[27]

Эндрю Грэнвилл заметил, что минимум функции выше имеет место, когда ${\displaystyle {\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.}$

Это вдохновило Бейкера (2004) предложить более точную форму гипотезы abc , а именно:

${\displaystyle c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega !}}}$

где κ - абсолютная константа. После некоторых вычислительных экспериментов он обнаружил, что значение κ является допустимым . Эта версия называется «явной abc- гипотезой». ${\displaystyle 6/5}$

Бейкер (1998) также описывает родственные гипотезы Эндрю Грэнвилла , которые дали бы верхние оценки c в виде

${\displaystyle K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),}$

где Ω( n ) — общее количество простых множителей числа n , а

${\displaystyle O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},}$

где Θ( n ) — количество целых чисел до n , делящихся только на простые числа, делящие n .

Роберт, Стюарт и Тененбаум (2014) предложили более точное неравенство, основанное на Роберте и Тененбаум (2013). Пусть k = рад( abc ). Они предположили, что существует константа C ₁ такая, что

${\displaystyle c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)}$

тогда как существует константа C ₂ такая, что

${\displaystyle c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)}$

выполняется бесконечно часто.

Броукин и Бжезинский (1994) сформулировали гипотезу n — версию гипотезы abc, включающую n > 2 целых числа.

Заявленные доказательства

Люсьен Шпиро предложил решение в 2007 году, но вскоре после этого оно было признано неверным. ^[28]

С августа 2012 года Шиничи Мотидзуки заявил о доказательстве гипотезы Шпиро и, следовательно, гипотезы abc . ^[5] Он выпустил серию из четырех препринтов, развивающих новую теорию, которую он назвал межуниверсальной теорией Тейхмюллера (IUTT), которая затем применяется для доказательства гипотезы abc . ^[29] Эти статьи не получили широкого признания в математическом сообществе как доказательство abc . ^[30] Это происходит не только из-за их длины и сложности их понимания, ^[31] но также и потому, что по крайней мере один конкретный момент в аргументации был определен некоторыми другими экспертами как пробел. ^[32] Хотя несколько математиков поручились за правильность доказательства ^[33] и попытались передать свое понимание через семинары по IUTT, им не удалось убедить сообщество теории чисел в целом. ^{[34] [35]}

В марте 2018 года Питер Шольце и Якоб Стикс посетили Киото для переговоров с Мотидзуки. ^{[36] [37]} Хотя они и не разрешили разногласия, они сделали их более четкими. Шольце и Стикс написали отчет, в котором утверждалась и объяснялась ошибка в логике доказательства, а также утверждалось, что образовавшийся пробел был «настолько серьезным, что ... небольшие изменения не спасут стратегию доказательства»; ^[32] Мотидзуки утверждал, что они неправильно поняли важные аспекты теории и сделали неверные упрощения. ^{[38] [39] [40]}

3 апреля 2020 года два математика из Киотского исследовательского института , где работает Мотидзуки, объявили, что заявленное им доказательство будет опубликовано в журнале института « Публикации Исследовательского института математических наук» . Мотидзуки, главный редактор журнала, отказался от рецензирования статьи. ^[6] Это заявление было воспринято со скептицизмом Кираном Кедлаем и Эдвардом Френкелем , а издание Nature охарактеризовало его как «маловероятное, что оно переведет многих исследователей в лагерь Мотидзуки». ^[6] В марте 2021 года доказательство Мотидзуки было опубликовано в RIMS. ^[41]

Смотрите также

• Список нерешенных задач по математике

Примечания

1. Когда a + b = c , любой общий фактор двух значений обязательно разделяется третьим. Таким образом, из взаимной простоты a , b , c следует попарная взаимно простая простота a , b , c . Поэтому в данном случае не имеет значения, какую концепцию мы используем.

Рекомендации

1. Остерле 1988.
2. Массер 1985.
3. Голдфельд 1996.
4. Фесенко, Иван (сентябрь 2015 г.). «Теория арифметической деформации с помощью арифметических фундаментальных групп и неархимедовых тета-функций, заметки о работе Шиничи Мотидзуки». Европейский журнал математики . 1 (3): 405–440. дои : 10.1007/s40879-015-0066-0 .
5. Болл, Питер (10 сентября 2012 г.). «Доказательство глубокой связи между простыми числами». Природа . дои : 10.1038/nature.2012.11378 . Проверено 19 марта 2018 г.
6. Castelvecchi, Давиде (9 апреля 2020 г.). «Математическое доказательство потрясающей теории чисел будет опубликовано». Природа . 580 (7802): 177. Бибкод : 2020Natur.580..177C. дои : 10.1038/d41586-020-00998-2. PMID  32246118. S2CID  214786566.
7. Дальнейший комментарий П. Шольце на сайте Not Even Wrong math.columbia.edu ^{[ самостоятельно опубликованный источник? ]}
8. Вальдшмидт 2015.
9. Бомбьери (1994), с.  ^{[ нужна страница ]} .
10. Элкис (1991).
11. Ван Франкенхейсен (2002).
12. Ланжевен (1993).
13. Сильверман (1988).
14. Нитай (1996).
15. Гранвилл, Эндрю; Такер, Томас (2002). «Это так же просто, как abc» (PDF) . Уведомления АМС . 49 (10): 1224–1231.
16. Померанс (2008).
17. Гранвилл и Старк (2000).
18. Гипотеза ABC, Фриц Бойкерс, ABC-DAY, Лейден, Утрехтский университет, 9 сентября 2005 г.
19. Моллин (2009); Моллин (2010, стр. 297)
20. Броукин (2000, стр. 10)
21. Гранвилл (1998).
22. Пастен, Гектор (2017), «Определимость орбит Фробениуса и результат на рациональных множествах расстояний», Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99–126, doi : 10.1007/s00605-016-0973-2, MR  3592123, S2CID  7805117
23. arXiv : math/0408168 Андреа Суррока, теорема Сигела и гипотеза abc, Riv. Мат. унив. Парма (7) 3, 2004, С. 323–332.
24. "Synthese resultaten", RekenMeeMetABC.nl (на голландском языке), заархивировано из оригинала 22 декабря 2008 г. , получено 3 октября 2012 г..
25. «Данные, собранные sofar», ABC@Home , заархивировано из оригинала 15 мая 2014 г. , получено 30 апреля 2014 г.
26. «100 непобедимых троек». Рекен Ми встретил ABC . 07.11.2010.
27. Бомбьери и Гублер (2006), с. 404.
28. «Теоремы конечности для динамических систем», Люсьен Шпиро, выступление на конференции по L-функциям и автоморфным формам (по случаю 60-летия Дориана Голдфельда), Колумбийский университет, май 2007 г. См. Войт, Питер (26 мая 2007 г.), «Доказательство гипотезы abc?», даже не неверно.
29. Мотидзуки, Шиничи (4 марта 2021 г.). «Межуниверсальная теория Тейхмюллера IV: вычисления лог-объемов и теоретико-множественные основы». Публикации НИИ математических наук . 57 (1): 627–723. дои : 10.4171/PRIMS/57-1-4. S2CID  3135393.
30. Калегари, Фрэнк (17 декабря 2017 г.). «Гипотеза ABC (пока) не доказана» . Проверено 17 марта 2018 г.
31. Ревелл, Тимоти (7 сентября 2017 г.). «Непонятное математическое доказательство ABC теперь имеет непонятное 300-страничное «резюме»». Новый учёный .
32. Шольце, Питер ; Стикс, Джейкоб . «Почему abc — до сих пор остается догадкой» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2020 г. Проверено 23 сентября 2018 г.(обновленная версия майского отчета. Архивировано 8 февраля 2020 г. на Wayback Machine )
33. Фесенко, Иван (28 сентября 2016 г.). «Фукуген». Вывод . 2 (3) . Проверено 30 октября 2021 г.
34. Конрад, Брайан (15 декабря 2015 г.). «Заметки Брайана Конрада о семинаре IUT в Оксфорде» . Проверено 18 марта 2018 г.
35. Кастельвекки, Давиде (8 октября 2015 г.). «Самая большая загадка математики: Шиничи Мотидзуки и непостижимое доказательство». Природа . 526 (7572): 178–181. Бибкод : 2015Natur.526..178C. дои : 10.1038/526178a . ПМИД  26450038.
36. Кларрайх, Эрика (20 сентября 2018 г.). «Столкновение титанов математики из-за эпического доказательства гипотезы ABC». Журнал Кванта .
37. «Дискуссии на IUTeich в марте 2018 г.» . Проверено 2 октября 2018 г.Веб-страница Мотидзуки, описывающая дискуссии и дающая ссылки на последующие публикации и дополнительные материалы.
38. Мотидзуки, Шиничи . «Отчет о дискуссиях, состоявшихся с 15 по 20 марта 2018 г. относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Проверено 1 февраля 2019 г. ...дискуссии... представляют собой первые подробные,...содержательные дискуссии, касающиеся негативных позиций... ИУТч.
39. Мочизуки, Шиничи (июль 2018 г.). «Комментарии к рукописи Шольце-Стикса, касающейся межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . S2CID  174791744 . Проверено 2 октября 2018 г.
40. Мотидзуки, Шиничи . «Комментарии к рукописи Шольце-Стикса (версия 2018–2008 гг.), касающейся межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Проверено 2 октября 2018 г.
41. Мотидзуки, Шиничи . «Доказательство Мотидзуки гипотезы ABC» . Проверено 13 июля 2021 г.

Источники

• Бейкер, Алан (1998). «Логарифмические формы и abc- гипотеза». В Дьёри, Кальман (ред.). Теория чисел. Диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты. Материалы международной конференции, Эгер, Венгрия, 29 июля – 2 августа 1996 г. Берлин: де Грюйтер. стр. 37–44. ISBN 3-11-015364-5. Збл  0973.11047.
• Бейкер, Алан (2004). «Опыты по abc-гипотезе». Публикации Mathematicae Дебрецен . 65 (3–4): 253–260. дои : 10.5486/PMD.2004.3348 . S2CID  253834357.
• Бомбьери, Энрико (1994). «Теорема Рота и abc-гипотеза» (Препринт). ETH Цюрих.^{[ ненадежный источник? ]}
• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том. 4. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-71229-3. Збл  1130.11034.
• Броукин, Ежи ; Бжезинский, Юлиуш (1994). «Некоторые замечания по abc -гипотезе». Математика. Комп . 62 (206): 931–939. Бибкод : 1994MaCom..62..931B. дои : 10.2307/2153551. JSTOR  2153551.
• Броукин, Ежи (2000). « АВС- гипотеза». В Бамбе, РП; Думир, ВК; Ханс-Гилл, Р.Дж. (ред.). Теория чисел . Тенденции в математике. Базель: Биркхойзер. стр. 75–106. ISBN 3-7643-6259-6.
• Домбровский, Анджей (1996). «О диофантовом уравнении x !+ A = y2 ^» . Новый архив Вискунде, IV . 14 : 321–324. Збл  0876.11015.
• Элкис, Северная Дакота (1991). «ABC подразумевает Морделла». Уведомления о международных математических исследованиях . 1991 (7): 99–109. дои : 10.1155/S1073792891000144 .
• Фрей, Герхард (1997). «О троичных уравнениях типа Ферма и связях с эллиптическими кривыми». Модульные формы и Великая теорема Ферма . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 527–548. ISBN 0-387-94609-8.
• Голдфельд, Дориан (1996). «За последней теоремой». Математические горизонты . 4 (сентябрь): 26–34. дои : 10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR  25678079.
• Голдфельд, Дориан (2002). «Модулярные формы, эллиптические кривые и abc-гипотеза». В Вюстхольце, Гисберт (ред.). Панорама по теории чисел или Вид из сада Бейкера. По материалам конференции в честь 60-летия Алана Бейкера, Цюрих, Швейцария, 1999 год . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 128–147. ISBN 0-521-80799-9. Збл  1046.11035.
• Гауэрс, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре, ред. (2008). Принстонский спутник математики . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 361–362, 681. ISBN. 978-0-691-11880-2.
• Гранвилл, А. (1998). «ABC позволяет нам считать квадраты» (PDF) . Уведомления о международных математических исследованиях . 1998 (19): 991–1009. дои : 10.1155/S1073792898000592 .
• Гранвилл, Эндрю ; Старк, Х. (2000). «ABC не подразумевает никаких «нулей Зигеля» для L-функций символов с отрицательным показателем» (PDF) . Математические изобретения . 139 (3): 509–523. Бибкод : 2000InMat.139..509G. дои : 10.1007/s002229900036. S2CID  6901166.
• Гранвилл, Эндрю ; Такер, Томас (2002). «Это так же просто, как abc» (PDF) . Уведомления АМС . 49 (10): 1224–1231. CiteSeerX  10.1.1.146.610 .
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7.
• Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004). «Графы на поверхностях и их приложениях». Энциклопедия математических наук: Маломерная топология II . Том. 141. Шпрингер-Верлаг. ISBN 3-540-00203-0.
• Ланжевен, М. (1993). «Cas d'égalité pour le theorème de Mason etapplications de la abc ABBC ». Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 317 (5): 441–444.
• Массер, Д.В. (1985). «Открытые проблемы». Ин Чен, WWL (ред.). Труды симпозиума по аналитической теории чисел . Лондон: Имперский колледж.
• Моллин, РА (2009). «Заметка об ABC-гипотезе» (PDF) . Дальневосточный журнал математических наук . 33 (3): 267–275. ISSN  0972-0871. Збл  1241.11034. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 14 июня 2013 г.
• Моллин, Ричард А. (2010). Расширенная теория чисел с приложениями . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8328-6. Збл  1200.11002.
• Нитадж, Абдеррахман (1996). «Гипотеза abc ». Энсен. Математика. (На французском). 42 (1–2): 3–24.
• Остерле, Жозеф (1988), «Новые подходы к «теореме» Ферма», Asterisque , Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN  0303-1179, MR  0992208
• Померанс, Карл (2008). «Вычислительная теория чисел». Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 361–362.
• Сильверман, Джозеф Х. (1988). «Критерий Вифериха и abc-гипотеза». Журнал теории чисел . 30 (2): 226–237. дои : 10.1016/0022-314X(88)90019-4 . Збл  0654.10019.
• Роберт, Оливье; Стюарт, Кэмерон Л .; Тененбаум, Жеральд (2014). «Уточнение гипотезы abc» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 46 (6): 1156–1166. дои : 10.1112/blms/bdu069. S2CID  123460044.
• Роберт, Оливье; Тененбаум, Жеральд (ноябрь 2013 г.). «Sur la répartition du noyau d'un entier» [О распределении ядра целого числа]. Indagationes Mathematicae (на французском языке). 24 (4): 802–914. дои : 10.1016/j.indag.2013.07.007 .
• Стюарт, CL ; Тайдеман, Р. (1986). «О гипотезе Эстерле-Массера». Монашефте по математике . 102 (3): 251–257. дои : 10.1007/BF01294603. S2CID  123621917.
• Стюарт, CL ; Ю, Кунруи (1991). «О гипотезе abc ». Математические Аннален . 291 (1): 225–230. дои : 10.1007/BF01445201. S2CID  123894587.
• Стюарт, CL ; Ю, Кунруи (2001). «О гипотезе abc , II». Математический журнал Дьюка . 108 (1): 169–181. дои : 10.1215/S0012-7094-01-10815-6.
• ван Франкенхейсен, Махиэль (2000). «Нижняя граница в гипотезе abc». Дж. Теория чисел . 82 (1): 91–95. дои : 10.1006/jnth.1999.2484 . МР  1755155.
• Ван Франкенхейсен, Махиел (2002). «Гипотеза ABC подразумевает неравенство высоты Войты для кривых». Дж. Теория чисел . 95 (2): 289–302. дои : 10.1006/jnth.2001.2769 . МР  1924103.
• Вальдшмидт, Мишель (2015). «Лекция о гипотезе abc и некоторых ее последствиях» (PDF) . Математика в 21 веке . Спрингерские труды по математике и статистике. Том. 98. стр. 211–230. дои : 10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.

Внешние ссылки

• ABC@home Проект распределенных вычислений под названием ABC@Home .
• Просто как ABC: Легко следовать, подробное объяснение Брайана Хейса.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза abc». Математический мир .
• Домашняя страница гипотезы ABC Абдеррахмана Нитажа
• Веб-страница Барта де Смита ABC Triples
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• Азбука теории чисел Ноама Д. Элкиса
• Вопросы о Number автора Барри Мазура
• Философия, лежащая в основе работы Мотидзуки над гипотезой ABC на MathOverflow
• Вики-страница проекта ABC Conjecture Polymath со ссылками на различные источники комментариев к статьям Мотидзуки.
• abc Гипотеза Числофил видео
• Новости о IUT от Мотидзуки