AH Лайтстоун

канадский математик

AH Lightstone в шахматах

Альберт Гарольд Лайтстоун (1926–1976) ^[1] был канадским математиком. Он был одним из пионеров нестандартного анализа , докторантом Абрахама Робинсона , а позже соавтором Робинсона книги «Неархимедовы поля и асимптотические разложения» . ^[2]

Биография

Лайтстоун получил докторскую степень в Университете Торонто в 1955 году под руководством Абрахама Робинсона; его диссертация называлась « Вклад в теорию квантификации» . ^[3] Он был профессором математики в Университете Карлтона ^[4] и Университете Квинс . ^[5]

Исследовать

Десятичные гиперреальные числа

В своей статье "Infinitesimals" в American Mathematical Monthly в 1972 году ^[6] Лайтстоун описал расширенную десятичную запись для гиперреальных чисел . Здесь есть цифра в каждом гиперестественном ранге, а не просто цифра для каждого ранга, заданного натуральным числом. Такая гиперреальная десятичная дробь записывается как

${\displaystyle a.a_{1}a_{2}\ldots ;\ldots a_{H-1}a_{H}a_{H+1}\ldots \,.}$

Здесь цифра появляется в ранге , что является типичным бесконечным гипернатуральным числом. Точка с запятой отделяет цифры в конечных рангах от цифр в бесконечных рангах. Таким образом, число 0.000...;...01 с цифрой "1" в бесконечном ранге H соответствует бесконечно малому . ${\displaystyle a_{H}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 10^{-H}}$

Разница 1 - 0,000...;...01 равна 0,999...;...9, с бесконечным гипернатуральным значением цифр 9. Альтернативная запись для последнего числа:

${\displaystyle 0.\underbrace {999\ldots 9} _{H}\,}$

где H — бесконечное гипернатуральное число. Расширенная десятичная запись обеспечивает строгую математическую реализацию студенческих интуиций бесконечно малых в форме 0,000...01. Такие студенческие интуиции и их полезность в изучении исчисления бесконечно малых были проанализированы в исследовании Роберта Эли 2010 года в журнале Journal for Research in Mathematics Education . ^[7]

Другие исследования

Основные исследовательские вклады Лайтстоуна были в нестандартный анализ . Он также написал статьи по трисекции угла , ^[4] обращению матриц , ^[8] и приложениям теории групп к формальной логике . ^[9]

Книги

Лайтстоун был автором или соавтором нескольких книг по математике:

• Аксиоматический метод: введение в математическую логику (Prentice Hall, 1964). Этот вводный учебник разделен на две части: одна из них представляет собой неформальное введение в булеву логику , а вторая использует формальные методы для доказательства непротиворечивости и полноты исчисления предикатов . ^[10] Он предназначен для студентов, которые уже имеют некоторое знакомство с абстрактной алгеброй , и одной из его тем является алгебраический взгляд на математические доказательства в логике. ^[11]
• Concepts of Calculus (Harper and Row, 1965). Это учебник по исчислению действительных функций одной переменной. Рецензент DR Dickinson написал, что он «содержит много нового и интересного материала»; однако он также жаловался на его педантичный отказ от переменных (используя вместо них функции тождества), его ненужное упорство в рассмотрении только функций, производная которых имеет ту же область определения, что и сама функция, и его «скучные и длинные обсуждения элементарных тем». ^[12]
  • Концепции исчисления, т. 2 (Харпер и Роу, 1966)
  • Решения упражнений по разделу «Концепции исчисления» (Harper and Row, 1966)
• Основы линейной алгебры (Appleton-Century-Crofts, 1969, ISBN  0-390-56050-2 )
• Символическая логика и система действительных чисел: введение в основы числовых систем (Harper and Row, 1965). Эта книга представляет собой курс по построению действительных чисел на основе формальной логики . ^[13] Ее цель — показать, как действительные числа могут быть получены из более простых концепций арифметики, и продемонстрировать влияние логики на остальную математику. ^[14] Помимо освещения тем заголовка, она также содержит большой раздел об аксиомах для нескольких алгебраических структур: групп , колец , полей и булевых алгебр . ^[15] Одной из особенностей является то, что вместо аксиоматизации действительных чисел с использованием сечений Дедекинда или последовательностей Коши , она основывает свою аксиоматизацию на последовательностях десятичных чисел. ^{[13] [14] [15]}
• Nonarchimedean Fields and Asymptotic Expansions (совместно с Авраамом Робинсоном, Северная Голландия, 1975). Переиздание PBK 2016 года. Это вводный учебник, который пытается сделать материал из монографии Робинсона 1966 года « Нестандартный анализ» более доступным, ^[16] и продемонстрировать полезность нестандартного анализа при изучении асимптотических разложений . ^[17] Он был основан на первоначальном черновике Робинсона и посмертно завершен Лайтстоуном, который сам вскоре умер. ^{[16] [17]} Он начинается с введения в неархимедовы поля со множеством полезных примеров, вводит необходимые инструменты из математической логики, включая сверхстепени , посвящает две главы описанию того, как выполнять нестандартный анализ с использованием поля Леви-Чивиты , и завершается тремя главами об асимптотических разложениях. ^[16]
• Математическая логика: Введение в теорию моделей (Математические концепции и методы в науке и технике, т. 9, Plenum Press, 1978, ISBN 0-306-30894-0 ). Эта книга была опубликована посмертно под редакцией Герберта Эндертона . Она состоит из трех частей: одна посвящена исчислению высказываний , вторая — формальной семантике , а третья — приложениям теории моделей, включая нестандартный анализ и теорию множеств . ^[18] Однако ее критиковали за медленный темп первой части и за общее отсутствие математической строгости. ^{[18] [19]} 

Награды и почести

Университет Квинс ежегодно присуждает стипендию имени Альберта Гарольда Лайтстоуна, названную в честь Лайтстоуна, студентам-отличникам четвертого года обучения, специализирующимся в области математики или статистики. ^{[20] [21]} Стипендия была учреждена женой Лайтстоуна после его смерти. ^[22]

Ссылки

1. "Математические концепции и методы в науке и технике". www.faqs.org: Plenum . Получено 31 марта 2011 г.
2. Неархимедовы поля и асимптотические разложения . Лайтстоун, А. Х. и Робинсон, Абрахам. North-Holland Pub. Co. (Амстердам и Нью-Йорк), 1975.
3. Альберт Гарольд Лайтстоун в проекте «Генеалогия математики»
4. Lightstone, AH (1962), "Построение для трисекции угла", Mathematics Magazine , 35 (2): 99–102, doi :10.1080/0025570X.1962.11975312, JSTOR  2688331, MR  1571175
5. Академический календарь Университета Квинс, математика и статистика. Архивировано 27 марта 2010 г. на Wayback Machine , получено 31 марта 2011 г.
6. Лайтстоун, AH (март 1972 г.), «Бесконечно малые», American Mathematical Monthly , 79 (3): 242–251, doi :10.2307/2316619, JSTOR  2316619, MR  0300889
7. Эли, Роберт (2010), «Нестандартные представления студентов о бесконечно малых величинах» (PDF) , Журнал исследований в области математического образования , 41 (2): 117–146. Эта статья представляет собой полевое исследование с участием студентки, которая разработала теорию бесконечно малых величин в стиле Лейбница, чтобы помочь себе понять исчисление и, в частности, объяснить, почему «0,999...» отстает от 1 на бесконечно малую величину 0,000...1.
8. Лайтстоун, AH (1968), «Два метода обращения матриц», Delta , 41 (1), Университет Висконсина: 1–7, doi : 10.2307/2687951, JSTOR  2687951, MR  0231832
9. Лайтстоун, AH (1968), «Теория групп и принцип двойственности», Канадский математический вестник , 11 : 43–50, doi : 10.4153/cmb-1968-006-9 , MR  0229507
10. Обзор аксиоматического метода Р. Л. Гудстейна , Mathematical Reviews , MR 0163834.
11. Обзор книги «Аксиоматический метод» Питера Эндрюса (1966), Журнал символической логики 31 (1): 106–108, JSTOR  2270630.
12. Обзор концепций исчисления Д. Р. Дикинсона (1966), Mathematical Gazette 50 (373): 329–330, JSTOR  3614713.
13. Hunt, Burrowes (1969). «Символическая логика и система действительных чисел». The American Mathematical Monthly . 76 (6): 716. doi :10.2307/2316722. JSTOR  2316722..
14. Webber, G. Cuthbert (1966). "Обзор символической логики ". Science . 153 (3735): 519. Bibcode : 1966Sci...153..519L. doi : 10.1126/science.153.3735.519. JSTOR  1719891.
15. Goodstein, RL (1967). "Обзор символической логики ". Mathematical Gazette . 51 (375): 78. doi :10.2307/3613659. JSTOR  3613660.
16. Обзор неархимедовых полей , И. Феньо, Mathematical Reviews , MR 0414354.
17. Loeb, Peter A. (1977). «Обзор неархимедовых полей». Бюллетень Американского математического общества . 83 (2): 231–235. doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14277-8 .
18. Обзор математической логики Дж. М. Плоткина (1980), Mathematical Reviews , MR 0497355)
19. Кроссли, Дж. Н. (1979). «Обзор математической логики». Бюллетень Американского математического общества . 1 (6): 1003–1005. doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14718-9 .
20. "Стипендия Альберта Гарольда Лайтстоуна". www.canadian-universities.net. 2010. Получено 31 марта 2011 г.
21. "Mathematics & Statistics Specific Awards". www.queensu.ca: Университет Квинс. Архивировано из оригинала 29 марта 2012 г. Получено 31 марта 2011 г.
22. "Стипендия Альберта Гарольда Лайтстоуна". www.queensu.ca: Университет Квинс. Архивировано из оригинала 24 декабря 2010 г. Получено 31 марта 2011 г.