Абстракция в математике — это процесс извлечения базовых структур , моделей или свойств математической концепции, устранения любой зависимости от объектов реального мира, с которыми она могла быть изначально связана, и обобщения ее таким образом, чтобы она имела более широкое применение или соответствовала другим абстрактным описаниям эквивалентных явлений . [1] [2] [3] Другими словами, быть абстрактным — значит удалять контекст и применение. [4] Двумя наиболее абстрактными областями современной математики являются теория категорий и теория моделей .
Многие области математики начинались с изучения реальных проблем, до того как основные правила и концепции были идентифицированы и определены как абстрактные структуры . Например, геометрия берет свое начало в вычислении расстояний и площадей в реальном мире, а алгебра начиналась с методов решения задач в арифметике .
Абстракция — это непрерывный процесс в математике, и историческое развитие многих математических тем демонстрирует прогрессию от конкретного к абстрактному. Например, первые шаги в абстракции геометрии исторически были сделаны древними греками, а « Начала» Евклида являются самой ранней сохранившейся документацией аксиом планиметрии , хотя Прокл рассказывает о более ранней аксиоматизации Гиппократом Хиосским . [5] В 17 веке Декарт ввел декартовы координаты , которые позволили развить аналитическую геометрию . Дальнейшие шаги в абстракции были сделаны Лобачевским , Бойяи , Риманом и Гауссом , которые обобщили концепции геометрии для разработки неевклидовых геометрий . Позже, в 19 веке, математики еще больше обобщили геометрию, разработав такие области, как геометрия в n измерениях , проективная геометрия , аффинная геометрия и конечная геометрия . Наконец, « Эрлангенская программа » Феликса Клейна определила основную тему всех этих геометрий, определив каждую из них как изучение свойств, инвариантных относительно данной группы симметрий . Этот уровень абстракции выявил связи между геометрией и абстрактной алгеброй . [ 6]
В математике абстракция может быть полезна следующими способами:
С другой стороны, абстракция может быть и невыгодной, поскольку очень абстрактные концепции могут быть трудны для изучения. [7] Для концептуального усвоения абстракций может потребоваться определенная степень математической зрелости и опыта.
Бертран Рассел в своей книге «Научный взгляд» (1931) пишет, что «обычный язык совершенно не подходит для выражения того, что физика действительно утверждает, поскольку слова повседневной жизни недостаточно абстрактны. Только математика и математическая логика могут сказать так мало, как физик имеет в виду сказать». [8]
