Теорема единственности Александрова — это теорема жесткости в математике, описывающая трехмерные выпуклые многогранники в терминах расстояний между точками на их поверхностях. Она подразумевает, что выпуклые многогранники с различными формами друг от друга также имеют различные метрические пространства поверхностных расстояний, и она характеризует метрические пространства, которые получаются из поверхностных расстояний на многогранниках. Она названа в честь советского математика Александра Даниловича Александрова , который опубликовал ее в 1940-х годах. [1] [2] [3]
Поверхность любого выпуклого многогранника в евклидовом пространстве образует метрическое пространство , в котором расстояние между двумя точками измеряется длиной кратчайшего пути от одной точки до другой вдоль поверхности. В пределах одного кратчайшего пути расстояния между парами точек равны расстояниям между соответствующими точками отрезка прямой той же длины; путь с этим свойством известен как геодезический . Это свойство многогранных поверхностей, что каждая пара точек соединена геодезической, не верно для многих других метрических пространств, и когда оно верно, пространство называется геодезическим пространством. Геодезическое пространство, образованное из поверхности многогранника, называется его разверткой . [3]
Многогранник можно рассматривать как сложенный из листа бумаги (развертка для многогранника), и он наследует ту же геометрию, что и бумага: для каждой точки p внутри грани многогранника достаточно малая открытая окрестность p будет иметь те же расстояния, что и подмножество евклидовой плоскости . То же самое верно даже для точек на ребрах многогранника: их можно локально смоделировать как евклидову плоскость, сложенную вдоль линии и вложенную в трехмерное пространство, но складка не меняет структуру кратчайших путей вдоль поверхности. Однако вершины многогранника имеют другую структуру расстояний: локальная геометрия вершины многогранника такая же, как локальная геометрия в вершине конуса . Любой конус можно сформировать из плоского листа бумаги с удаленным из него клином, склеив вместе обрезанные края, где был удален клин. Угол удаленного клина называется угловым дефектом вершины; это положительное число, меньшее 2π . Дефект вершины многогранника можно измерить, вычитая углы грани в этой вершине из 2π . Например, в правильном тетраэдре каждый угол грани равен π /3, и в каждой вершине их три, поэтому вычитание их из 2π оставляет дефект π в каждой из четырех вершин. Аналогично, куб имеет дефект π /2 в каждой из своих восьми вершин. Теорема Декарта о полном угловом дефекте (форма теоремы Гаусса–Бонне ) утверждает, что сумма угловых дефектов всех вершин всегда равна точно 4π . Подводя итог, можно сказать, что развертка выпуклого многогранника является геодезической, гомеоморфной (топологически эквивалентной) сфере и локально евклидовой, за исключением конечного числа точек конуса, угловой дефект которых в сумме составляет 4π . [3]
Теорема Александрова дает обратное этому описанию. Она утверждает, что если метрическое пространство является геодезическим, гомеоморфным сфере и локально евклидовым, за исключением конечного числа точек конуса с положительным угловым дефектом (обязательно дающим в сумме 4 π ), то существует выпуклый многогранник, развертка которого есть данное пространство. Более того, этот многогранник однозначно определяется из метрики: любые два выпуклых многогранника с одинаковой поверхностной метрикой должны быть конгруэнтны друг другу как трехмерные множества. [3]
Многогранник, представляющий данное метрическое пространство, может быть вырожденным : он может образовывать двумерный выпуклый многоугольник с двойным покрытием ( диэдр ), а не полностью трехмерный многогранник. В этом случае его поверхностная метрика состоит из двух копий многоугольника (двух его сторон), склеенных по соответствующим ребрам. [3] [6]
Хотя теорема Александрова утверждает, что существует единственный выпуклый многогранник, поверхность которого имеет заданную метрику, также могут существовать невыпуклые многогранники с той же метрикой. Примером может служить правильный икосаэдр : если удалить пять его треугольников и заменить их пятью конгруэнтными треугольниками, образующими углубление в многограннике, то результирующая поверхностная метрика останется неизменной. [7] В этом примере используются одни и те же складки для выпуклого и невыпуклого многогранника, но это не всегда так. Например, поверхность правильного октаэдра можно пересложить вдоль разных складок в невыпуклый многогранник с 24 равносторонними треугольными гранями, вершину Клитопа, полученную путем склеивания квадратных пирамид с квадратами куба. Шесть треугольников встречаются в каждой дополнительной вершине, введенной этим перескладыванием, поэтому они имеют нулевой угловой дефект и остаются локально евклидовыми. На иллюстрации октаэдра, сложенного из четырех шестиугольников, эти 24 треугольника получены путем деления каждого шестиугольника на шесть треугольников. [5]
Развертка любого многогранника может быть конкретно описана набором двумерных многоугольников вместе с инструкциями по склеиванию их вдоль ребер для образования метрического пространства, и условия теоремы Александрова для пространств, описанных таким образом, легко проверяются. Однако ребра, где склеиваются два многоугольника, могут стать плоскими и лежать внутри граней полученного многогранника, а не становиться ребрами многогранника. (Пример этого явления см. на иллюстрации четырех шестиугольников, склеенных для образования октаэдра.) Поэтому, даже когда развертка описывается таким образом, может быть неясно, какую форму имеет полученный многогранник, какие формы имеют его грани или даже сколько у него граней. Оригинальное доказательство Александрова не приводит к алгоритму построения многогранника (например, путем задания координат его вершин), реализующему данное метрическое пространство. В 2008 году Бобенко и Изместьев предоставили такой алгоритм. [8] Их алгоритм может аппроксимировать координаты произвольно точно за псевдополиномиальное время . [9]
Одной из первых теорем существования и единственности для выпуклых многогранников является теорема Коши , которая утверждает, что выпуклый многогранник однозначно определяется формой и связностью его граней. Теорема Александрова усиливает это, показывая, что даже если грани могут изгибаться или складываться, не растягиваясь и не сжимаясь, то их связность все равно определяет форму многогранника. В свою очередь, доказательство Александровым части существования его теоремы использует усиление теоремы Коши Максом Деном до бесконечно малой жесткости . [3]
Аналогичный результат Александрова справедлив для гладких выпуклых поверхностей: двумерное риманово многообразие , гауссова кривизна которого всюду положительна и составляет 4π, может быть представлено единственным образом как поверхность гладкого выпуклого тела в трех измерениях. Единственность этого представления является результатом Стефана Кон-Фоссена из 1927 года с некоторыми условиями регулярности на поверхности, которые были сняты в более поздних исследованиях. Его существование было доказано Александровым с использованием аргумента, включающего пределы многогранных метрик. [10] Алексей Погорелов обобщил оба этих результата, охарактеризовав развертки произвольных выпуклых тел в трех измерениях. [3]
Другой результат Погорелова о геодезических метрических пространствах, полученных из выпуклых многогранников, является версией теоремы о трех геодезических : каждый выпуклый многогранник имеет по крайней мере три простые замкнутые квазигеодезические. Это кривые, которые являются локально прямыми линиями, за исключением случаев, когда они проходят через вершину, где они должны иметь углы меньше π по обе стороны от себя. [11]
Развитие идеальных гиперболических многогранников можно охарактеризовать аналогично евклидовым выпуклым многогранникам: каждое двумерное многообразие с однородной гиперболической геометрией и конечной площадью, комбинаторно эквивалентное конечно-проколотой сфере, может быть реализовано как поверхность идеального многогранника. [12]