Аналоговые фильтры являются базовым строительным блоком обработки сигнала , широко используемым в электронике . Среди их многочисленных применений — разделение аудиосигнала перед подачей на басовые , среднечастотные и высокочастотные громкоговорители ; объединение и последующее разделение нескольких телефонных разговоров на одном канале; выбор выбранной радиостанции в радиоприемнике и отбраковка других.
Пассивные линейные электронные аналоговые фильтры — это фильтры, которые можно описать линейными дифференциальными уравнениями (линейные); они состоят из конденсаторов , катушек индуктивности и, иногда, резисторов ( пассивные ) и предназначены для работы с непрерывно изменяющимися аналоговыми сигналами . Существует множество линейных фильтров, которые не являются аналоговыми по своей реализации ( цифровые фильтры ), и существует множество электронных фильтров , которые могут не иметь пассивной топологии — оба из которых могут иметь ту же передаточную функцию , что и фильтры, описанные в этой статье. Аналоговые фильтры чаще всего используются в приложениях фильтрации волн, то есть там, где требуется пропускать определенные частотные компоненты и отклонять другие из аналоговых ( непрерывных во времени ) сигналов.
Аналоговые фильтры сыграли важную роль в развитии электроники. Особенно в области телекоммуникаций фильтры имели решающее значение в ряде технологических прорывов и были источником огромных прибылей для телекоммуникационных компаний. Поэтому неудивительно, что раннее развитие фильтров было тесно связано с линиями передачи . Теория линий передачи породила теорию фильтров, которая изначально имела очень похожую форму, и основное применение фильтров заключалось в использовании на линиях передачи телекоммуникаций. Однако появление методов синтеза сетей значительно повысило степень контроля проектировщика.
Сегодня часто предпочитают выполнять фильтрацию в цифровой области, где сложные алгоритмы гораздо проще реализовать, но аналоговые фильтры все еще находят применение, особенно для простых задач фильтрации низкого порядка и часто остаются нормой на более высоких частотах, где цифровая технология все еще непрактична или, по крайней мере, менее эффективна с точки зрения затрат. Везде, где это возможно, и особенно на низких частотах, аналоговые фильтры теперь реализуются в топологии фильтра , которая является активной, чтобы избежать намотанных компонентов (т. е. индукторов, трансформаторов и т. д.), требуемых пассивной топологией.
Можно спроектировать линейные аналоговые механические фильтры, используя механические компоненты, которые фильтруют механические колебания или акустические волны. Хотя в механике как таковой мало применений для таких устройств, их можно использовать в электронике с добавлением преобразователей для преобразования в электрическую область и из нее. Действительно, некоторые из самых ранних идей для фильтров были акустическими резонаторами, поскольку в то время технология электроники была плохо понята. В принципе, проектирование таких фильтров может быть достигнуто полностью в терминах электронных аналогов механических величин, с кинетической энергией , потенциальной энергией и тепловой энергией, соответствующими энергии в индукторах, конденсаторах и резисторах соответственно.
В истории развития пассивных аналоговых фильтров можно выделить три основных этапа :
В этой статье буквы R, L и C используются в их обычных значениях для обозначения сопротивления , индуктивности и емкости соответственно. В частности, они используются в комбинациях, таких как LC, для обозначения, например, сети, состоящей только из индукторов и конденсаторов. Z используется для электрического импеданса , любой 2-контактной [примечание 1] комбинации RLC-элементов, а в некоторых разделах D используется для редко встречающейся величины эластичности , которая является обратной емкостью.
Ранние фильтры использовали явление резонанса для фильтрации сигналов. Хотя электрический резонанс изучался исследователями с очень ранней стадии, поначалу он не был широко понят инженерами-электриками. Следовательно, гораздо более знакомая концепция акустического резонанса (которая, в свою очередь, может быть объяснена в терминах еще более знакомого механического резонанса ) нашла свое применение в проектировании фильтров раньше, чем электрический резонанс. [1] Резонанс может использоваться для достижения эффекта фильтрации, поскольку резонансное устройство будет реагировать на частоты, равные или близкие к резонансной частоте, но не будет реагировать на частоты, далекие от резонанса. Следовательно, частоты, далекие от резонанса, отфильтровываются с выхода устройства. [2]
Резонанс был замечен на ранних этапах экспериментов с лейденской банкой , изобретенной в 1746 году. Лейденская банка хранит электричество благодаря своей емкости и, по сути, является ранней формой конденсатора. Когда лейденская банка разряжается, позволяя искре проскакивать между электродами, разряд является колебательным. Этого не подозревали до 1826 года, когда Феликс Савари во Франции, а позднее (1842) Джозеф Генри [3] в США заметили, что стальная игла, помещенная близко к разряду, не всегда намагничивается в одном и том же направлении. Они оба независимо пришли к выводу, что существует переходное колебание, затухающее со временем. [4]
Герман фон Гельмгольц в 1847 году опубликовал свою важную работу о сохранении энергии [5], в части которой он использовал эти принципы, чтобы объяснить, почему колебания затухают, что именно сопротивление цепи рассеивает энергию колебания в каждом последующем цикле. Гельмгольц также отметил, что были доказательства колебаний из экспериментов по электролизу Уильяма Хайда Волластона . Волластон пытался разложить воду электрическим током, но обнаружил, что и водород, и кислород присутствуют на обоих электродах. При обычном электролизе они разделялись бы, по одному на каждый электрод. [6]
Гельмгольц объяснил, почему колебания затухали, но он не объяснил, почему они возникали изначально. Это было оставлено сэру Уильяму Томсону (лорду Кельвину), который в 1853 году постулировал, что в цепи присутствует индуктивность, а также емкость банки и сопротивление нагрузки. [7] Это установило физическую основу явления — энергия, подаваемая банкой, частично рассеивалась в нагрузке, но также частично сохранялась в магнитном поле индуктора. [8]
До сих пор исследование касалось собственной частоты переходных колебаний резонансного контура, возникающих в результате внезапного воздействия. Более важным с точки зрения теории фильтров является поведение резонансного контура, возбуждаемого внешним сигналом переменного тока : в отклике контура возникает внезапный пик, когда частота возбуждающего сигнала совпадает с резонансной частотой контура. [примечание 2] Джеймс Клерк Максвелл услышал об этом явлении от сэра Уильяма Гроува в 1868 году в связи с экспериментами с динамо-машинами , [9] а также был знаком с более ранней работой Генри Уайльда в 1866 году. Максвелл объяснил резонанс [примечание 3] математически, с помощью набора дифференциальных уравнений, во многом в тех же терминах, в которых сегодня описывается RLC-контур . [1] [10] [11]
Генрих Герц (1887) экспериментально продемонстрировал явление резонанса [12] , построив два резонансных контура, один из которых приводился в действие генератором, а другой был настраиваемым и соединялся с первым только электромагнитно (т. е. без подключения к контуру). Герц показал, что отклик второго контура был максимальным, когда он был настроен на первый. Диаграммы, представленные Герцем в этой статье, были первыми опубликованными графиками электрического резонансного отклика. [1] [13]
Как упоминалось ранее, именно акустический резонанс вдохновил на фильтрационные приложения, первым из которых была телеграфная система, известная как « гармонический телеграф ». Версии принадлежат Элише Грею , Александру Грэхему Беллу (1870-е годы), [1] Эрнесту Меркадье и другим. Его целью была одновременная передача нескольких телеграфных сообщений по одной и той же линии, и он представляет собой раннюю форму частотного разделения каналов (FDM). FDM требует, чтобы отправляющий конец передавал на разных частотах для каждого отдельного канала связи. Это требует индивидуальных настроенных резонаторов, а также фильтров для разделения сигналов на принимающем конце. Гармонический телеграф достиг этого с помощью электромагнитно-управляемых настроенных язычков на передающем конце, которые будут вибрировать с аналогичными язычками на принимающем конце. Только язычок с той же резонансной частотой, что и у передатчика, будет вибрировать в какой-либо заметной степени на принимающем конце. [14]
Кстати, гармонический телеграф напрямую подсказал Беллу идею телефона. Язычки можно рассматривать как преобразователи, преобразующие звук в электрический сигнал и обратно. От этого взгляда на гармонический телеграф не так уж и много до идеи, что речь может быть преобразована в электрический сигнал и обратно. [1] [14]
К 1890-м годам электрический резонанс был гораздо более широко понят и стал обычной частью инженерного инструментария. В 1891 году Хутин и Леблан запатентовали схему FDM для телефонных цепей, использующих резонансные фильтры. [16] В 1892 году Майкл Пупин и Джон Стоун Стоун подали конкурирующие патенты с похожими идеями, и в конечном итоге приоритет был отдан Пупину. Однако ни одна схема, использующая только простые резонансные фильтры, не может успешно мультиплексировать (т. е. объединять) более широкую полосу пропускания телефонных каналов (в отличие от телеграфных) без неприемлемого ограничения полосы пропускания речевого сигнала или настолько большого расстояния между каналами, что преимущества мультиплексирования становятся неэкономичными. [1] [17]
Основная техническая причина этой трудности заключается в том, что частотная характеристика простого фильтра приближается к падению на 6 дБ/октаву вдали от точки резонанса. Это означает, что если телефонные каналы втиснуты бок о бок в частотный спектр, то в любом данном канале будут перекрестные помехи от соседних каналов. Требуется гораздо более сложный фильтр, который имеет плоскую частотную характеристику в требуемой полосе пропускания , как резонансная схема с низкой добротностью , но который быстро падает в ответе (гораздо быстрее, чем 6 дБ/октаву) при переходе от полосы пропускания к полосе задерживания, как резонансная схема с высокой добротностью. [примечание 5] Очевидно, что это противоречивые требования, которые должны быть выполнены с помощью одной резонансной схемы. Решение этих потребностей было основано на теории линий передачи, и, следовательно, необходимые фильтры не стали доступны, пока эта теория не была полностью разработана. На этом раннем этапе идея полосы пропускания сигнала, а следовательно, и необходимость фильтров для ее соответствия, не были полностью поняты; действительно, только в 1920 году концепция полосы пропускания была полностью установлена. [18] Для раннего радио было достаточно концепций Q-фактора, селективности и настройки. Все это должно было измениться с развитием теории линий передачи , на которой основаны фильтры изображения , как объясняется в следующем разделе. [1]
На рубеже веков, когда телефонные линии стали доступны, стало популярным добавлять телеграф к телефонным линиям с фантомной цепью возврата через землю . [примечание 6] LC -фильтр требовался для предотвращения щелчков телеграфа на телефонной линии. С 1920-х годов телефонные линии или сбалансированные линии, предназначенные для этой цели, использовались для телеграфа FDM на звуковых частотах. Первой из этих систем в Великобритании была установка Siemens и Halske между Лондоном и Манчестером. GEC и AT&T также имели системы FDM. Отдельные пары использовались для отправки и получения сигналов. Системы Siemens и GEC имели шесть каналов телеграфа в каждом направлении, система AT&T имела двенадцать. Все эти системы использовали электронные генераторы для генерации разных несущих для каждого телеграфного сигнала и требовали набора полосовых фильтров для разделения мультиплексированного сигнала на приемном конце. [19]
Самая ранняя модель линии передачи , вероятно, была описана Георгом Омом (1827), который установил, что сопротивление в проводе пропорционально его длине. [20] [примечание 7] Таким образом, модель Ома включала только сопротивление. Латимер Кларк отметил, что сигналы задерживались и удлинялись вдоль кабеля, нежелательная форма искажения, которая сейчас называется дисперсией , но тогда называлась запаздыванием, а Майкл Фарадей (1853) установил, что это было связано с емкостью, присутствующей в линии передачи. [21] [примечание 8] Лорд Кельвин (1854) нашел правильное математическое описание, необходимое в его работе над ранними трансатлантическими кабелями; он пришел к уравнению, идентичному проводимости теплового импульса вдоль металлического стержня. [22] Эта модель включает только сопротивление и емкость, но это все, что было необходимо в подводных кабелях, в которых преобладали эффекты емкости. Модель Кельвина предсказывает ограничение на скорость передачи телеграфных сигналов по кабелю, но Кельвин все еще не использовал концепцию полосы пропускания, ограничение было полностью объяснено в терминах дисперсии телеграфных символов . [1] Математическая модель линии передачи достигла своего полного развития с Оливером Хевисайдом . Хевисайд (1881) ввел в модель последовательную индуктивность и шунтирующую проводимость, создав в общей сложности четыре распределенных элемента . Эта модель теперь известна как уравнение телеграфиста , а параметры распределенных элементов называются константами первичной линии . [23]
Из работы Хевисайда (1887) стало ясно, что производительность телеграфных линий, и особенно телефонных линий, можно улучшить, добавив индуктивность к линии. [24] Джордж Кэмпбелл из AT&T реализовал эту идею (1899), вставив нагрузочные катушки с интервалами вдоль линии. [25] Кэмпбелл обнаружил, что наряду с желаемыми улучшениями характеристик линии в полосе пропускания существует также определенная частота, за пределами которой сигналы не могут передаваться без большого затухания . Это было результатом того, что нагрузочные катушки и емкость линии образуют фильтр нижних частот , эффект, который проявляется только на линиях, включающих сосредоточенные компоненты , такие как нагрузочные катушки. Это, естественно, привело Кэмпбелла (1910) к созданию фильтра с лестничной топологией , взгляда на принципиальную схему этого фильтра достаточно, чтобы увидеть его связь с нагруженной линией передачи. [26] Явление отсечки является нежелательным побочным эффектом, если речь идет о нагруженных линиях, но для телефонных фильтров FDM это именно то, что требуется. Для этого приложения Кэмпбелл создал полосовые фильтры с той же топологией лестницы, заменив индукторы и конденсаторы резонаторами и антирезонаторами соответственно. [примечание 9] Как нагруженная линия, так и FDM принесли большую экономическую выгоду AT&T, и это привело к быстрому развитию фильтрации с этого момента. [27]
Фильтры, разработанные Кэмпбеллом [примечание 10], были названы волновыми фильтрами из-за их свойства пропускать некоторые волны и сильно подавлять другие. Метод, с помощью которого они были разработаны, был назван методом параметров изображения [примечание 11] [29] [30], а фильтры, разработанные по этому методу, называются фильтрами изображения. [примечание 12] Метод изображения по сути состоит из разработки констант передачи бесконечной цепи идентичных секций фильтра и последующего завершения желаемого конечного числа секций фильтра в импедансе изображения . Это в точности соответствует способу, которым свойства конечной длины линии передачи выводятся из теоретических свойств бесконечной линии, причем импеданс изображения соответствует характеристическому импедансу линии. [31]
С 1920 года Джон Карсон , также работавший в AT&T, начал разрабатывать новый способ рассмотрения сигналов с использованием операционного исчисления Хевисайда, которое по сути работает в частотной области . Это дало инженерам AT&T новое представление о том, как работают их фильтры, и привело Отто Цобеля к изобретению многих улучшенных форм. Карсон и Цобель неуклонно разрушали многие старые идеи. Например, старые инженеры телеграфа считали сигнал одной частотой, и эта идея сохранялась в эпоху радио, причем некоторые все еще верили, что передача с частотной модуляцией (FM) может быть достигнута с меньшей полосой пропускания, чем сигнал основной полосы , вплоть до публикации статьи Карсона 1922 года. [32] Другое достижение касалось природы шума, Карсон и Зобель (1923) [33] рассматривали шум как случайный процесс с непрерывной полосой пропускания, идея, которая значительно опередила свое время, и таким образом ограничили количество шума, которое можно было удалить путем фильтрации той частью спектра шума, которая выходила за пределы полосы пропускания. Это также не было общепринятым поначалу, особенно против него выступал Эдвин Армстронг (который, по иронии судьбы, фактически преуспел в снижении шума с помощью широкополосной ЧМ ) и было окончательно урегулировано только с работой Гарри Найквиста, чья формула мощности теплового шума хорошо известна сегодня. [34]
Несколько усовершенствований были сделаны в фильтрах изображений и их теории работы Отто Цобелем . Цобель ввел термин постоянный k-фильтр (или фильтр k-типа), чтобы отличить фильтр Кэмпбелла от более поздних типов, в частности m-производного фильтра Цобеля (или фильтра m-типа). Конкретные проблемы, которые Цобель пытался решить с помощью этих новых форм, были согласование импеданса в конечных нагрузках и улучшенная крутизна спада. Это было достигнуто ценой увеличения сложности схемы фильтра. [35] [36]
Более систематический метод создания фильтров изображения был предложен Хендриком Боде (1930) и далее развит несколькими другими исследователями, включая Пилоти (1937–1939) и Вильгельма Кауэра (1934–1937). Вместо того, чтобы перечислять поведение (передаточную функцию, функцию затухания, функцию задержки и т. д.) конкретной схемы, вместо этого было разработано требование к самому импедансу изображения. Импеданс изображения можно выразить через импедансы разомкнутой и короткозамкнутой цепи [примечание 13] фильтра как . Поскольку импеданс изображения должен быть действительным в полосах пропускания и мнимым в полосах задерживания согласно теории изображений, существует требование, чтобы полюса и нули Z o и Z s сокращались в полосе пропускания и соответствовали в полосе задерживания. Поведение фильтра можно полностью определить в терминах положений в комплексной плоскости этих пар полюсов и нулей. Любая схема, которая имеет требуемые полюса и нули, также будет иметь требуемый ответ. Кауэр преследовал два связанных вопроса, вытекающих из этой техники: какие спецификации полюсов и нулей реализуемы как пассивные фильтры; и какие реализации эквивалентны друг другу. Результаты этой работы привели Кауэра к разработке нового подхода, который теперь называется сетевым синтезом. [36] [37] [38]
Этот взгляд на конструкцию фильтра с точки зрения «полюсов и нулей» был особенно полезен, когда группа фильтров, каждый из которых работает на разных частотах, была подключена к одной и той же линии передачи. Более ранний подход не мог должным образом справиться с этой ситуацией, но подход с точки зрения полюсов и нулей мог охватить ее, указав постоянное сопротивление для объединенного фильтра. Эта проблема изначально была связана с телефонией FDM, но теперь часто возникает в кроссоверных фильтрах громкоговорителей . [37]
Суть синтеза сети заключается в том, чтобы начать с требуемого отклика фильтра и создать сеть, которая обеспечивает этот отклик или приближается к нему в пределах заданной границы. Это обратный анализ сети , который начинается с заданной сети и, применяя различные теоремы электрических цепей, предсказывает отклик сети. [39] Термин был впервые использован в этом значении в докторской диссертации Юк-Винга Ли (1930) и, по-видимому, возник из разговора с Ванневаром Бушем . [40] Преимущество синтеза сети по сравнению с предыдущими методами заключается в том, что он предоставляет решение, которое точно соответствует спецификации проекта. Это не относится к фильтрам изображений, для их проектирования требуется определенная степень опыта, поскольку фильтр изображения соответствует спецификации проекта только в нереалистичном случае, когда он заканчивается своим собственным импедансом изображения, для создания которого потребовалась бы точная искомая схема. С другой стороны, синтез сети заботится о сопротивлениях завершения, просто включая их в проектируемую сеть. [41]
Развитие сетевого анализа должно было произойти до того, как стал возможен сетевой синтез. Теоремы Густава Кирхгофа и других, а также идеи Чарльза Штейнмеца ( фазоры ) и Артура Кеннелли ( комплексное сопротивление ) [42] заложили основу. [43] Концепция порта также сыграла свою роль в развитии теории и оказалась более полезной идеей, чем сетевые терминалы. [примечание 1] [36] Первой вехой на пути к сетевому синтезу стала важная статья Рональда М. Фостера (1924), [44] Теорема о реактивном сопротивлении , в которой Фостер вводит идею импеданса управляющей точки , то есть импеданса, подключенного к генератору. Выражение для этого импеданса определяет реакцию фильтра и наоборот, и реализация фильтра может быть получена путем расширения этого выражения. Невозможно реализовать любое произвольное выражение импеданса как сеть. Теорема Фостера о реактивном сопротивлении устанавливает необходимые и достаточные условия для реализуемости: реактивное сопротивление должно алгебраически возрастать с частотой, а полюса и нули должны чередоваться. [45] [46]
Вильгельм Кауэр расширил работу Фостера (1926) [47] и был первым, кто заговорил о реализации однопортового импеданса с заданной частотной функцией. Работа Фостера рассматривала только реактивные сопротивления (т. е. только цепи типа LC). Кауэр обобщил это на любую двухэлементную однопортовую сеть, обнаружив, что между ними существует изоморфизм. Он также нашел лестничные реализации [примечание 14] сети, используя разложение цепной дроби Томаса Стилтьеса . Эта работа стала основой, на которой был построен синтез сети, хотя работа Кауэра поначалу не очень использовалась инженерами, отчасти из-за вмешательства Второй мировой войны, отчасти по причинам, объясненным в следующем разделе, и отчасти потому, что Кауэр представил свои результаты, используя топологии, которые требовали взаимно связанных индукторов и идеальных трансформаторов. Разработчики стремятся избегать усложнения взаимной индуктивности и трансформаторов, где это возможно, хотя трансформаторно-связанные двухнастраиваемые усилители являются распространенным способом расширения полосы пропускания без ущерба для селективности. [48] [49] [50]
Фильтры изображений продолжали использоваться проектировщиками еще долгое время после того, как стали доступны превосходные методы сетевого синтеза. Частично это могло быть обусловлено просто инерцией, но в значительной степени это было связано с большими вычислениями, необходимыми для фильтров сетевого синтеза, часто требующими математического итерационного процесса. Фильтры изображений в своей простейшей форме состоят из цепочки повторяющихся идентичных секций. Проект можно улучшить, просто добавив больше секций, а вычисления, необходимые для создания начальной секции, находятся на уровне проектирования «на обороте конверта». В случае фильтров сетевого синтеза, с другой стороны, фильтр проектируется как единое целое, и для добавления дополнительных секций (т. е. увеличения порядка) [примечание 15] у проектировщика не будет иного выбора, кроме как вернуться к началу и начать все заново. Преимущества синтезированных конструкций реальны, но они не подавляющие по сравнению с тем, чего мог бы достичь опытный проектировщик изображений, и во многих случаях было более экономически выгодно обойтись без трудоемких вычислений. [51] Это просто не проблема с современной доступностью вычислительной мощности, но в 1950-х годах ее не было, в 1960-х и 1970-х годах она была доступна только по себестоимости, и не стала, наконец, широко доступной для всех дизайнеров до 1980-х годов с появлением настольного персонального компьютера. Фильтры изображений продолжали разрабатываться вплоть до этого момента, и многие из них оставались в эксплуатации в 21 веке. [52]
Вычислительная сложность метода сетевого синтеза была решена путем табулирования значений компонентов прототипа фильтра , а затем масштабирования частоты и импеданса и преобразования формы полосы в те, которые действительно требуются. Этот тип подхода или подобный ему уже использовался с фильтрами изображений, например, Зобелем [35], но концепция «референтного фильтра» принадлежит Сиднею Дарлингтону . [53] Дарлингтон (1939), [30] также был первым, кто табулировал значения для прототипов фильтров сетевого синтеза, [54] тем не менее, ему пришлось ждать до 1950-х годов, прежде чем эллиптический фильтр Кауэра-Дарлингтона впервые начал использоваться. [55]
Как только вычислительная мощность стала легкодоступной, стало возможным легко проектировать фильтры для минимизации любого произвольного параметра, например, задержки по времени или толерантности к вариации компонентов. Трудности метода изображений были прочно ушли в прошлое, и даже необходимость в прототипах стала в значительной степени излишней. [56] [57] Более того, появление активных фильтров облегчило вычислительную сложность, поскольку секции могли быть изолированы, и итерационные процессы тогда, как правило, не были необходимы. [51]
Реализуемость (то есть, какие функции реализуемы как реальные сети импеданса) и эквивалентность (какие сети эквивалентно имеют ту же функцию) являются двумя важными вопросами в синтезе сетей. Следуя аналогии с механикой Лагранжа , Кауэр сформировал матричное уравнение,
где [ Z ],[ R ],[ L ] и [ D ] - матрицы n x n , соответственно, импеданса , сопротивления , индуктивности и упругости n - сетчатой сети , а s - оператор комплексной частоты . Здесь [ R ],[ L ] и [ D ] имеют связанные энергии, соответствующие кинетической, потенциальной и диссипативной тепловой энергии, соответственно, в механической системе, и уже известные результаты из механики могут быть здесь применены. Кауэр определил импеданс движущей точки методом множителей Лагранжа ;
где a 11 является дополнением элемента A 11 , к которому должен быть подключен однопорт. Из теории устойчивости Кауэр обнаружил, что [ R ], [ L ] и [ D ] должны быть положительно определенными матрицами для Z p ( s ), чтобы быть реализуемым, если не исключаются идеальные трансформаторы. Реализуемость в противном случае ограничивается только практическими ограничениями топологии. [39] Эта работа также частично принадлежит Отто Бруну (1931), который работал с Кауэром в США до возвращения Кауэра в Германию. [49] Хорошо известное условие реализуемости однопортового рационального [примечание 16] импеданса, предложенное Кауэром (1929), состоит в том, что он должен быть функцией s , которая является аналитической в правой полуплоскости (σ>0), иметь положительную действительную часть в правой полуплоскости и принимать действительные значения на действительной оси. Это следует из интегрального представления Пуассона этих функций. Брюн ввел термин положительно-действительный для этого класса функций и доказал, что это необходимое и достаточное условие (Кауэр доказал только, что это необходимо), и они распространили работу на многополюсники LC. Теорема Сиднея Дарлингтона гласит, что любая положительно-действительная функция Z ( s ) может быть реализована как двухполюсник без потерь , нагруженный на положительный резистор R. Для реализации указанного отклика не требуется никаких резисторов в сети. [49] [58] [59]
Что касается эквивалентности, Кауэр обнаружил, что группа действительных аффинных преобразований ,
инвариантна относительно Z p ( s ), то есть все преобразованные сети эквивалентны исходным. [39]
Задача аппроксимации в синтезе сетей заключается в поиске функций, которые будут создавать реализуемые сети, приближающиеся к заданной функции частоты в произвольно установленных пределах. Задача аппроксимации является важной проблемой, поскольку идеальная функция требуемой частоты обычно будет недостижима с рациональными сетями. Например, идеальная предписанная функция часто принимается за недостижимую передачу без потерь в полосе пропускания, бесконечное затухание в полосе задерживания и вертикальный переход между ними. Однако идеальная функция может быть аппроксимирована рациональной функцией , становясь все ближе к идеалу с более высоким порядком полинома. Первым, кто обратился к этой проблеме, был Стивен Баттерворт (1930), использовавший свои полиномы Баттерворта . Независимо от этого, Кауэр (1931) использовал полиномы Чебышева , первоначально примененные к фильтрам изображений, а не к ныне известной лестничной реализации этого фильтра. [49] [60]
Фильтры Баттерворта являются важным классом [примечание 15] фильтров, созданных Стивеном Баттервортом (1930) [61] , которые теперь признаются особым случаем эллиптических фильтров Кауэра . Баттерворт открыл этот фильтр независимо от работы Кауэра и реализовал его в своей версии, в которой каждая секция была изолирована от следующей с помощью лампового усилителя , что упростило вычисление значений компонентов, поскольку секции фильтра не могли взаимодействовать друг с другом, а каждая секция представляла один член в полиномах Баттерворта . Это дает Баттерворту честь быть как первым, кто отклонился от теории параметров изображения, так и первым, кто разработал активные фильтры. Позднее было показано, что фильтры Баттерворта можно реализовать в лестничной топологии без необходимости в усилителях. Возможно, первым, кто сделал это, был Уильям Беннетт (1932) [62] в патенте, в котором представлены формулы для значений компонентов, идентичные современным. Однако на данном этапе Беннетт все еще обсуждает проект как искусственную линию передачи и поэтому принимает подход с параметрами изображения, несмотря на то, что создал то, что сейчас можно было бы считать проектом сетевого синтеза. Он также, по-видимому, не знает о работе Баттерворта или о связи между ними. [29] [63]
Метод вносимых потерь при проектировании фильтров заключается, по сути, в назначении желаемой функции частоты для фильтра как затухания сигнала, когда фильтр вставлен между окончаниями относительно уровня, который был бы получен, если бы окончания были соединены друг с другом через идеальный трансформатор, идеально их согласующий. Версии этой теории принадлежат Сиднею Дарлингтону , Вильгельму Кауэру и другим, которые работали более или менее независимо и часто воспринимаются как синоним сетевого синтеза. Реализация фильтра Баттерворта, в этих терминах, является фильтром вносимых потерь, но математически она относительно тривиальна, поскольку активные усилители, используемые Баттервортом, гарантировали, что каждый каскад индивидуально работает на резистивную нагрузку. Фильтр Баттерворта становится нетривиальным примером, когда он реализован полностью с пассивными компонентами. Еще более ранним фильтром, повлиявшим на метод вносимых потерь, был двухполосный фильтр Нортона, в котором входы двух фильтров соединены параллельно и спроектированы таким образом, что объединенный вход представляет постоянное сопротивление. Метод проектирования Нортона вместе с каноническими сетями LC Кауэра и теоремой Дарлингтона о том, что в теле фильтра требуются только компоненты LC, привели к методу вставки-потери. Однако топология лестничного типа оказалась более практичной, чем канонические формы Кауэра. [64]
Метод вставки-потери Дарлингтона является обобщением процедуры, используемой Нортоном. В фильтре Нортона можно показать, что каждый фильтр эквивалентен отдельному фильтру, не нагруженному на общем конце. Метод Дарлингтона применяется к более простому и общему случаю двухпортовой LC-сети, нагруженной на обоих концах. Процедура состоит из следующих шагов:
Дарлингтон дополнительно использовал преобразование, найденное Хендриком Боде , которое предсказывало отклик фильтра, использующего неидеальные компоненты, но все с одинаковым Q. Дарлингтон использовал это преобразование в обратном порядке для создания фильтров с заданными вносимыми потерями с неидеальными компонентами. Такие фильтры имеют идеальный отклик вносимых потерь плюс плоское затухание на всех частотах. [51] [65]
Эллиптические фильтры — это фильтры, созданные методом вставки-потери, которые используют эллиптические рациональные функции в своей передаточной функции в качестве приближения к идеальному отклику фильтра, и результат называется приближением Чебышева. Это тот же метод приближения Чебышева, который Кауэр использовал в фильтрах изображений, но он следует методу проектирования вставки-потери Дарлингтона и использует немного другие эллиптические функции. Кауэр имел некоторые контакты с Дарлингтоном и Bell Labs до Второй мировой войны (некоторое время он работал в США), но во время войны они работали независимо, в некоторых случаях делая одни и те же открытия. Кауэр раскрыл приближение Чебышева в Bell Labs, но не оставил им доказательства. Сергей Щелкунов предоставил его и обобщение для всех задач с равными пульсациями. Эллиптические фильтры представляют собой общий класс фильтров, который включает в себя несколько других важных классов как частные случаи: фильтр Кауэра (равная пульсация в полосе пропускания и полосе задерживания ), фильтр Чебышева (пульсация только в полосе пропускания), обратный фильтр Чебышева (пульсация только в полосе задерживания) и фильтр Баттерворта (пульсация отсутствует в обеих полосах). [64] [66]
Как правило, для фильтров вносимых потерь, где нули передачи и бесконечные потери находятся на действительной оси комплексной частотной плоскости (как это обычно бывает для минимального количества компонентов), функция вносимых потерь может быть записана как:
где F является либо четной (что приводит к антиметрическому фильтру), либо нечетной (что приводит к симметричному фильтру) функцией частоты. Нули F соответствуют нулевым потерям, а полюса F соответствуют нулям передачи. J задает высоту пульсации полосы пропускания и потери в полосе задерживания, и эти два требования к конструкции могут быть взаимозаменяемы. Нули и полюса F и J могут быть установлены произвольно. Природа F определяет класс фильтра;
Возможен отклик Чебышева одновременно в полосе пропускания и полосе задерживания, например, эллиптический фильтр с равной пульсацией Кауэра. [64]
Дарлингтон рассказывает, что он нашел в библиотеке Нью-Йорка оригинальную статью Карла Якоби об эллиптических функциях, опубликованную на латыни в 1829 году. В этой статье Дарлингтон был удивлен, обнаружив раскладные таблицы точных преобразований эллиптических функций, необходимых для чебышевских аппроксимаций как параметра изображения Кауэра, так и фильтров вносимых потерь Дарлингтона. [51]
Дарлингтон считает, что топология связанных настроенных схем включает в себя отдельный метод аппроксимации к методу вносимых потерь, но также производит номинально плоские полосы пропускания и полосы задерживания с высоким затуханием. Наиболее распространенной топологией для них являются шунтирующие антирезонаторы, соединенные последовательными конденсаторами, реже — индукторами или, в случае двухсекционного фильтра, взаимной индуктивностью. Они наиболее полезны, когда требования к конструкции не слишком строгие, то есть умеренная полоса пропускания, спад и пульсация полосы пропускания. [57]
Эдвард Нортон , около 1930 года, разработал механический фильтр для использования в граммофонах и проигрывателях. Нортон разработал фильтр в электрической области, а затем использовал соответствие механических величин электрическим величинам , чтобы реализовать фильтр с использованием механических компонентов. Масса соответствует индуктивности , жесткость - упругости , а затухание - сопротивлению . Фильтр был разработан так, чтобы иметь максимально плоскую частотную характеристику. [59]
В современных конструкциях обычно используют кварцевые кристаллические фильтры , особенно для узкополосных фильтрующих приложений. Сигнал существует как механическая акустическая волна, пока он находится в кристалле, и преобразуется преобразователями между электрическими и механическими доменами на клеммах кристалла. [68]
Фильтры с распределенными элементами состоят из отрезков линии передачи, которые составляют по крайней мере значительную часть длины волны. Самые ранние неэлектрические фильтры были все этого типа. Уильям Гершель (1738–1822), например, сконструировал аппарат с двумя трубками разной длины, которые ослабляли некоторые частоты, но не другие. Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813) изучал волны на струне, периодически нагруженной грузами. Устройство никогда не изучалось и не использовалось в качестве фильтра ни Лагранжем, ни более поздними исследователями, такими как Чарльз Годфри. Однако Кэмпбелл использовал результаты Годфри по аналогии для расчета количества нагрузочных катушек, необходимых на его нагруженных линиях, устройства, которое привело к разработке его электрического фильтра. Лагранж, Годфри и Кэмпбелл сделали упрощающие предположения в своих расчетах, которые игнорировали распределенную природу их аппарата. Следовательно, их модели не показывали множественные полосы пропускания, которые являются характеристикой всех фильтров с распределенными элементами. [69] Первые электрические фильтры, которые были действительно разработаны по принципу распределенных элементов, были созданы Уорреном П. Мейсоном в 1927 году. [70]
Поперечные фильтры обычно не ассоциируются с пассивными реализациями, но эту концепцию можно найти в патенте Винера и Ли от 1935 года, в котором описывается фильтр, состоящий из каскада всепроходных секций . [71] Выходы различных секций суммируются в пропорциях, необходимых для получения требуемой частотной функции. Это работает по принципу, что определенные частоты будут в противофазе или близки к ней на разных секциях и будут стремиться к отмене при добавлении. Это частоты, отбрасываемые фильтром, и они могут создавать фильтры с очень резкими срезами. Этот подход не нашел немедленного применения и не является обычным для пассивных фильтров. Однако этот принцип находит множество применений в качестве активной реализации линии задержки для широкополосных дискретных временных фильтров, таких как телевидение, радар и высокоскоростная передача данных. [72] [73]
Целью согласованных фильтров является максимизация отношения сигнал/шум (S/N) за счет формы импульса. Форма импульса, в отличие от многих других приложений, не важна для радаров, в то время как S/N является основным ограничением производительности. Фильтры были введены во время Второй мировой войны (описано в 1943 году) [74] Дуайтом Нортом и часто именуются как « фильтры Норта ». [72] [75]
Системы управления нуждаются в сглаживающих фильтрах в своих контурах обратной связи с критериями, чтобы максимизировать скорость движения механической системы к заданной отметке и в то же время минимизировать перерегулирование и вызванные шумом движения. Ключевой проблемой здесь является извлечение гауссовых сигналов из шумного фона. Ранняя статья по этому вопросу была опубликована во время Второй мировой войны Норбертом Винером с конкретным применением к аналоговым компьютерам управления зенитным огнем. Руди Калман ( фильтр Калмана ) позже переформулировал это в терминах сглаживания и прогнозирования в пространстве состояний , где это известно как проблема линейно-квадратично-гауссового управления . Калман начал интересоваться решениями в пространстве состояний, но, по словам Дарлингтона, этот подход также можно найти в работах Хевисайда и более ранних работах. [72]
Фильтры LC на низких частотах становятся неудобными; компоненты, особенно индукторы, становятся дорогими, громоздкими, тяжелыми и неидеальными. Практические индукторы 1 H требуют много витков на сердечнике с высокой проницаемостью; этот материал будет иметь высокие потери и проблемы со стабильностью (например, большой температурный коэффициент). Для таких приложений, как сетевые фильтры, громоздкость должна быть терпима. Для низкоуровневых, низкочастотных приложений возможны RC-фильтры, но они не могут реализовать фильтры со сложными полюсами или нулями. Если приложение может использовать мощность, то усилители могут использоваться для создания активных RC-фильтров , которые могут иметь сложные полюса и нули. В 1950-х годах активные RC-фильтры Саллена–Ки были сделаны с помощью усилителей на электронных лампах ; эти фильтры заменили громоздкие индукторы громоздкими и горячими электронными лампами. Транзисторы предложили более энергоэффективные конструкции активных фильтров. Позже недорогие операционные усилители позволили использовать другие топологии конструкций активных RC-фильтров. Хотя активные фильтры были обычным явлением на низких частотах, они были непрактичны на высоких частотах, где усилители были неидеальны; LC-фильтры (и фильтры линии передачи) по-прежнему использовались на радиочастотах.
Постепенно низкочастотный активный RC-фильтр был вытеснен фильтром с переключаемыми конденсаторами , который работал в дискретной, а не в непрерывной временной области. Все эти технологии фильтров требуют прецизионных компонентов для высокопроизводительной фильтрации, и это часто требует настройки фильтров. Регулируемые компоненты дороги, а трудозатраты на настройку могут быть значительными. Настройка полюсов и нулей эллиптического фильтра 7-го порядка — непростая задача. Интегральные схемы сделали цифровые вычисления недорогими, поэтому теперь низкочастотная фильтрация выполняется с помощью цифровых сигнальных процессоров. Такие цифровые фильтры не имеют проблем с реализацией сверхточных (и стабильных) значений, поэтому настройка или регулировка не требуются. Цифровым фильтрам также не нужно беспокоиться о паразитных связях и экранировании отдельных секций фильтра друг от друга. Одним из недостатков является то, что цифровая обработка сигнала может потреблять гораздо больше энергии, чем эквивалентный LC-фильтр. Недорогая цифровая технология в значительной степени вытеснила аналоговые реализации фильтров. Однако для них все еще есть время от времени место в более простых приложениях, таких как связь, где не нужны сложные функции частоты. [76] [77] Пассивные фильтры по-прежнему являются технологией выбора на микроволновых частотах. [78]
![{\displaystyle \mathbf {[A]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} =s\mathbf {[Z]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d1e8662886952ad6ecea5cb3927e4b2bbdd368)
![{\displaystyle Z_{\mathrm {p} }(s)={\frac {\det \mathbf {[A]} }{s\,a_{11}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c744631cb7628de021c21e7cbad60509309b42b)
![{\displaystyle \mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[A]} \mathbf {[T]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59e3a0eb1cdb85270ed2580debff880baa0bd94)
![{\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5843c3ee96f594963075b4131cc46dbf79ad3593)
