Поток Арнольда–Бельтрами–Чайлдресса

Поток Арнольда–Бельтрами–Чайлдресса ( ABC ) или поток Громеки– Арнольда –Бельтрами–Чайлдресса ( GABC ) представляет собой трехмерное несжимаемое поле скоростей , которое является точным решением уравнения Эйлера . Его представление в декартовых координатах следующее: ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\dot {x}}=A\sin z+C\cos y,}$

${\displaystyle {\dot {y}}=B\sin x+A\cos z,}$

${\displaystyle {\dot {z}}=C\sin y+B\cos x,}$

где - материальная производная лагранжева движения пакета жидкости, расположенного в точке ${\displaystyle ({\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})}$ ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t)).}$

Этот поток ABС был проанализирован Домбре и др. в 1986 году, которые дали ему название ABC, потому что этот пример был независимо представлен Арнольдом (1965) и Чайлдрессом (1970) как интересный класс потоков Бельтрами. Для некоторых значений параметров, например, A=B=0, этот поток очень прост, потому что траектории частиц представляют собой винтовые линии. Однако для некоторых других значений параметров эти потоки являются эргодическими, а траектории частиц всюду плотны. Последний результат является контрпримером к некоторым утверждениям в традиционных учебниках по механике жидкости о том, что вихревые линии либо замкнуты, либо не могут заканчиваться в жидкости. То есть, поскольку для потоков ABC мы имеем , вихревые линии совпадают с траекториями частиц, и они также всюду плотны для некоторых значений параметров A, B и C. ^[3] ${\displaystyle \omega =\lambda v}$

Он примечателен как простой пример потока жидкости, который может иметь хаотические траектории. ^[4]

Он назван в честь Владимира Арнольда , Эудженио Бельтрами и Стивена Чайлдресса . Имя Ипполита С. Громеки (1881) ^[5] исторически забыто, хотя большая часть обсуждения была сделана им первым. ^[6]

Смотрите также

• поток Бельтрами

Ссылки

1. Сяо-Хуа Чжао, Кенг-Хуат Квек, Цзи-Бин Ли и Ке-Лей Хуан. «Хаотические и резонансные линии потока в потоке ABC». Журнал SIAM по прикладной математике . Т. 53, № 1 (февраль, 1993), стр. 71–77. Опубликовано: Обществом промышленной и прикладной математики.
2. T. Dombre, U. Frisch , JM Greene, M. Hénon, A. Mehr и AM Soward (1986). «Хаотические линии тока в потоках ABC». Журнал механики жидкости , 167, стр. 353–391 doi:10.1017/S0022112086002859
3. Эндрю Дж. Майда, Андреа Л. Бертоцци (2002). Вихревость и несжимаемый поток. Cambridge University Press. стр. 60. ISBN 978-0-521-63948-4.
4. Y. Yamakoshi, K. Muto и Z. Yoshida (1994). «Численный анализ квазипериодических возмущений для волны Альвена». Physical Review E. 50 ( 2): 1437–1443. doi :10.1103/PhysRevE.50.1437. PMID  9962112.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
5. Громека, И. «Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости». Ученые записки Казанского университета (1881): 76-148.
6. Цермело, Эрнст. Эрнст Цермело – Собрание сочинений/Gesammelte Werke: Том I/Теория множеств I-диапазона, Разное/Mengenlehre, Varia. Том. 21. Springer Science & Business Media, 2010.

• VI Арнольд . «Sur la topologie des Ecoulements Stationnaires de Fludes Parfaits». ЧР акад. наук. Париж , 261 : 17–20, 1965.
• Bouya, Ismaël; Dormy, Emmanuel (март 2013 г.). «Возвращаясь к динамо-машине потока ABC». Physics of Fluids . 25 (3): 037103–037103–10. arXiv : 1206.5186 . Bibcode :2013PhFl...25c7103B. CiteSeerX  10.1.1.759.9218 . doi :10.1063/1.4795546. ISSN  1070-6631. S2CID  118722952.