Азиатский вариант

Азиатский опцион ( или опцион средней стоимости ) — это особый тип опционного контракта . Для азиатских опционов выплата определяется средней ценой базового актива за определенный заранее установленный период времени. Это отличается от случая обычного европейского опциона и американского опциона , где выплата по опционному контракту зависит от цены базового инструмента при исполнении; Таким образом, азиатские опционы являются одной из основных форм экзотических опционов .

Существует два типа азиатских опционов: опцион средней цены (фиксированный страйк), где цена исполнения заранее определена, а усредненная цена базового актива используется для расчета выплаты; и вариант среднего страйка (плавающий страйк), при котором усредненная цена базового актива за период действия становится ценой исполнения.

Одним из преимуществ азиатских опционов является то, что они снижают риск рыночных манипуляций базовым инструментом при наступлении срока погашения. ^[1] Еще одним преимуществом азиатских опционов является их относительная стоимость по сравнению с европейскими или американскими опционами. Благодаря функции усреднения азиатские опционы снижают волатильность, присущую опциону; поэтому азиатские опционы обычно дешевле европейских или американских опционов. Это может быть преимуществом для корпораций, на которые распространяется пересмотренное Положение № 123 Совета по стандартам финансового учета , которое требует, чтобы корпорации учитывали опционы на акции для сотрудников. ^[2]

Этимология

В 1980-х годах Марк Стэндиш работал в лондонском Bankers Trust, занимаясь деривативами с фиксированным доходом и собственной арбитражной торговлей. Дэвид Спотон работал системным аналитиком на финансовых рынках в Bankers Trust с 1984 года, когда Банк Англии впервые выдал банкам лицензии на операции с иностранной валютой на лондонском рынке. В 1987 году Стэндиш и Спотон были в Токио по делам, когда «разработали первую коммерчески используемую формулу ценообразования для опционов, привязанных к средней цене сырой нефти». Они назвали этот экзотический вариант азиатским, потому что находились в Азии. ^{[3] [4] [5] [6]}

Варианты азиатского варианта

Существует множество вариантов азиатского варианта; самые основные перечислены ниже:

• Выплата по азиатским коллам с фиксированным страйком (или средней ставкой)

${\displaystyle C(T)={\text{max}}\left(A(0,T)-K,0\right),}$

где A обозначает среднюю цену за период [0, T], а K — цену исполнения.
Эквивалентный опцион пут определяется выражением

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(K-A(0,T),0\right).}$

• Плавающий страйк (или плавающая ставка) Выплата по азиатскому опциону колл

${\displaystyle C(T)={\text{max}}\left(S(T)-kA(0,T),0\right),}$

где S(T) — цена при погашении, а k — весовой коэффициент, обычно равный 1, поэтому его часто опускают в описаниях.
Эквивалентный выигрыш по опциону пут определяется выражением

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(kA(0,T)-S(T),0\right).}$

Виды усреднения

Среднее значение можно получить разными способами. Условно это означает среднее арифметическое . В непрерывном случае это получается следующим образом: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}S(t)dt.}$

Для случая дискретного мониторинга (с контролем в моменты времени и ) имеем среднее значение, определяемое выражением ${\displaystyle 0=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=T}$ ${\displaystyle t_{i}=i\cdot {\frac {T}{n}}}$

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S(t_{i}).}$

Также существуют азиатские опционы со средним геометрическим ; в непрерывном случае это определяется выражением

${\displaystyle A(0,T)=\exp \left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\ln(S(t))dt\right).}$

Цены на азиатские опционы

Обсуждение проблемы ценообразования азиатских опционов с помощью методов Монте-Карло представлено в статье Кемны и Ворста. ^[7]

В подходе с интегралом по путям к ценообразованию опционов ^[8] проблема среднего геометрического может быть решена с помощью эффективного классического потенциала ^[9] Фейнмана и Кляйнерта . ^[10]

Роджерс и Ши решают проблему ценообразования с помощью подхода PDE. ^[11]

Модель дисперсионной гаммы может быть эффективно реализована при ценообразовании опционов в азиатском стиле. Затем использование представления ряда Бондессона для создания гамма-процесса дисперсии может повысить вычислительную производительность азиатского оценщика опционов. ^[12]

В рамках моделей скачкообразной диффузии и стохастической волатильности проблема ценообразования для геометрических азиатских опционов все еще может быть решена. ^[13] Для арифметического азиатского варианта в моделях Леви можно полагаться на численные методы ^[13] или на аналитические оценки. ^[14]

Европейские азиатские опционы колл и пут с геометрическим усреднением

Мы можем получить решение в замкнутой форме для геометрического азиатского варианта; При использовании в сочетании с контрольными переменными в моделировании Монте-Карло эта формула полезна для определения справедливой стоимости для арифметического азиатского опциона.

Определите среднее геометрическое в непрерывном времени как: где основа следует стандартному геометрическому броуновскому движению . Отсюда легко вычислить следующее: Чтобы вывести стохастический интеграл, который первоначально был равен , обратите внимание на то, что: Это может быть подтверждено леммой Ито . Интегрируя это выражение и используя тот факт, что , находим эквивалентность интегралов – это пригодится в дальнейшем при выводе. Используя мартингейл ценообразование , стоимость европейско-азиатского колла с геометрическим усреднением определяется следующим образом: Чтобы найти , мы должны найти такое, что: После некоторой алгебры мы находим, что: В этот момент стохастический интеграл является камнем преткновения для нахождения решение этой проблемы. Однако с помощью изометрии Ито легко проверить , что интеграл обычно распределяется как: Это эквивалентно тому, что с . Таким образом, мы имеем следующее: Теперь можно рассчитать стоимость европейского азиатского колла с помощью геометрического усреднения! На этом этапе полезно определить: Пройдя тот же процесс, что и с моделью Блэка-Шоулза , мы можем обнаружить, что: Фактически, проводя те же аргументы для европейско-азиатского предложения с геометрическим усреднением , мы найдите следующее: Это подразумевает, что существует версия паритета пут-колл для европейских и азиатских опционов с геометрическим усреднением: ${\displaystyle G_{T}}$ $${\displaystyle G_{T}=\exp \left[{1 \over {T}}\int _{0}^{T}\log S(t)dt\right]}$$ ${\displaystyle S(t)}$ $${\displaystyle G_{T}=S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}}$$ ${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}$ $${\displaystyle d[(T-t)W_{t}]=(T-t)dW_{t}-W_{t}dt}$$ ${\displaystyle W_{0}=0}$ ${\displaystyle C_{G}}$ $${\displaystyle C_{G}=e^{-rT}\mathbb {E} \left[(G_{T}-K)_{+}\right]={e^{-rT} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\ell }^{\infty }\left(G_{T}-K\right)e^{-x^{2}/2}dx}$$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle G_{T}\geq K\implies S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}\geq K}$$ $${\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\geq \log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}$$ $${\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}{T \over {3}}\right)}$$ ${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}$ ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ $${\displaystyle x\geq {\log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T \over {\sigma {\sqrt {T/3}}}}\equiv \ell }$$ $${\displaystyle b={1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right),\;\sigma _{G}={\sigma \over {\sqrt {3}}},\;d_{1}={\log {S_{0} \over {K}}+\left(b+{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right)T \over {\sigma _{G}{\sqrt {T}}}},\;d_{2}=d_{1}-\sigma _{G}{\sqrt {T}}}$$ $${\displaystyle C_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (d_{1})-Ke^{-rT}\Phi (d_{2})}$$ ${\textstyle P_{G}}$ $${\displaystyle P_{G}=Ke^{-rT}\Phi (-d_{2})-S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (-d_{1})}$$ $${\displaystyle C_{G}-P_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}-Ke^{-rT}}$$

Вариации азиатского варианта

Есть некоторые варианты, которые продаются на безрецептурном рынке. Например, BNP Paribas представил вариант, названный условным азиатским опционом, где средняя базовая цена основана на наблюдениях за ценами, превышающими заранее установленный порог. Условный азиатский пут-опцион принесет выгоду.

${\displaystyle \max \left(K-{\frac {\int _{0}^{T}S(t)I_{\{S(t)>b\}}dt}{\int _{0}^{T}I_{\{S(t)>b\}}dt}},0\right),}$

где – пороговое значение, а – индикаторная функция, которая равна, если истинно, и равна нулю в противном случае. Такой опцион предлагает более дешевую альтернативу, чем классический азиатский опцион пут, поскольку ограничение диапазона наблюдений снижает волатильность средней цены. Обычно он продается за деньги и прослужит до пяти лет. Цену условного азиатского опциона обсуждают Фэн и Фолькмер. ^[15] ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle I_{A}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$

Рекомендации

1. Кемна и Ворст 1990, с. 1077
2. FASB (2004). Долевая выплата (Отчет). Совет по стандартам финансового учета. Архивировано из оригинала 5 декабря 2018 г. Проверено 7 апреля 2010 г.
3. Уильям Фаллун; Дэвид Тернер, ред. (1999). «Эволюция рынка». Управление риском цен на энергоносители . Лондон: Книги о рисках.
4. Уилмотт, Пол (2006). «25». Пол Уилмотт о количественных финансах . Джон Уайли и сыновья. п. 427. ИСБН 9780470060773.
5. Палмер, Брайан (14 июля 2010 г.), Почему мы называем финансовые инструменты «экзотическими»? Потому что некоторые из них из Японии., Slate
6. Глин А. Холтон (2013). «Азиатский вариант (Средний вариант)». Энциклопедия рисков. Архивировано из оригинала 6 декабря 2013 г. Проверено 10 августа 2013 г. Азиатский опцион (также называемый средним опционом) — это опцион, выплата которого связана со средней стоимостью базового актива в определенный набор дат в течение срока действия опциона». «[В] ситуациях, когда базовый опцион торгуется вяло. или существует вероятность манипулирования его ценой, азиатский опцион предлагает некоторую защиту. Манипулировать средней стоимостью базового актива в течение длительного периода времени труднее, чем манипулировать ею непосредственно по истечении срока действия опциона.
7. Кемна, AGZ; Ворст, ACF (1990), «Метод ценообразования для опционов, основанный на средней стоимости активов», Journal of Banking & Finance , 14 (1): 113–129, doi : 10.1016/0378-4266(90)90039-5
8. Кляйнерт , Х. (2009), Интегралы по траектории в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках, заархивировано из оригинала 24 апреля 2009 г. , получено 10 января 2010 г.
9. Фейнман Р.П. , Кляйнерт Х. (1986), «Эффективные классические статистические суммы» (PDF) , Physical Review A , 34 (6): 5080–5084, Бибкод : 1986PhRvA..34.5080F, doi : 10.1103/PhysRevA.34.5080, ПМИД  9897894
10. Девриз JPA; Лемменс Д.; Темпере Дж. (2010), «Интегральный подход к азиатским опциям в модели Блэка-Шоулза», Physica A , 389 (4): 780–788, arXiv : 0906.4456 , Bibcode : 2010PhyA..389..780D, doi : 10.1016 /j.physa.2009.10.020, S2CID  122748812
11. Роджерс, LCG; Ши, З. (1995), «Ценность азиатского опциона» (PDF) , Journal of Applied Probability , 32 (4): 1077–1088, doi : 10.2307/3215221, JSTOR  3215221, S2CID  120793076, заархивировано из оригинала. (PDF) от 20 марта 2009 г. , получено 28 ноября 2008 г.
12. Маттиас Сандер. Представление Бондессона модели дисперсионной гаммы и ценообразования опционов Монте-Карло. Лундс Текниска Хёгскола 2008
13. Киркби, Дж. Л.; Нгуен, Дуй (2020), «Эффективное ценообразование азиатских опционов в условиях скачкообразной диффузии переключения режимов и моделей стохастической волатильности», Annals of Finance , 16 (3): 307–351, doi : 10.1007/s10436-020-00366-0, S2CID  8038376
14. Лемменс, Дамиан; Лян, Лин Чжи; Темпере, Жак; Де Шеппер, Энн (2010), «Ограничения цен для дискретной арифметики азиатских опционов в рамках моделей Леви», Physica A: Statistical Mechanics and Her Applications , 389 (22): 5193–5207, Bibcode : 2010PhyA..389.5193L, doi : 10.1016 /j.physa.2010.07.026
15. Фэн, Р.; Волкмер, HW (2015), «Условные азиатские опционы», Международный журнал теоретических и прикладных финансов , 18 (6): 1550040, arXiv : 1505.06946 , doi : 10.1142/S0219024915500405, S2CID  3245552