BPST инстантон

Тип инстантона Янга – Миллса

Коэффициент dx ¹ ⊗σ ₃ инстантона BPST на (x ¹ ,x ² ) -срезе R ⁴ , где σ ₃ - третья матрица Паули (вверху слева). Коэффициент dx ² ⊗σ ₃ (вверху справа). Эти коэффициенты A ₁ ³ и A ₂ ³ определяют ограничение инстантона BPST A с g=2,ρ=1,z=0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля с центром вокруг z =0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля инстантона BPST с центром z на компактификации S ⁴ R ⁴ (внизу справа).

В теоретической физике инстантон BPST — это инстантон с числом намотки 1, найденный Александром Белавиным , Александром Поляковым , Альбертом Шварцем и Ю. С. Тюпкиным. ^[1] Это классическое решение уравнений движения теории Янга–Миллса SU(2) в евклидовом пространстве-времени (т. е. после поворота Вика ), то есть оно описывает переход между двумя различными топологическими вакуумами теории. Первоначально надеялись открыть путь к решению проблемы конфайнмента , особенно с тех пор, как в 1975 году Поляков доказал, что инстантоны являются причиной конфайнмента в трехмерной компактной КЭД. ^[2] Однако эта надежда не оправдалась.

Описание

Инстантон

Инстантон BPST имеет нетривиальное число витков , которое можно визуализировать как нетривиальное отображение окружности на себя.

Инстантон BPST является по существу непертурбативным классическим решением уравнений поля Янга–Миллса. Он находится при минимизации плотности лагранжиана Янга–Миллса SU(2) :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{\mu \nu }^{a}}$

с F _μν ^a = ∂ _μ A _ν ^a – ∂ _ν A _μ ^a + g ε ^abc A _μ ^b A _ν ^c напряженностью поля . Инстантон является решением с конечным действием, так что F _μν должно стремиться к нулю на бесконечности пространства-времени, что означает, что A _μ переходит в чистую калибровочную конфигурацию. Бесконечность пространства-времени нашего четырехмерного мира — это S ³ . Калибровочная группа SU(2) имеет точно такую ​​же структуру, поэтому решения с A _μ чистой калибровкой на бесконечности являются отображениями из S ³ на себя. ^[1] Эти отображения можно пометить целым числом q , индексом Понтрягина (или числом намотки ). Инстантоны имеют q = 1 и, таким образом, соответствуют (на бесконечности) калибровочным преобразованиям, которые не могут быть непрерывно деформированы до единицы. ^[3] Таким образом, решение BPST топологически устойчиво.

Можно показать, что самодуальные конфигурации, подчиняющиеся соотношению F _μν ^a = ± ⁠1/2⁠ ε ^μναβ F _αβ ^a минимизируют действие. ^[4] Решения со знаком плюс называются инстантонами, со знаком минус — антиинстантонами.

Можно показать, что инстантоны и антиинстантоны минимизируют действие локально следующим образом:

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$, где . ${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu }^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$

${\displaystyle S=\int dx^{4}{\frac {1}{4}}F^{2}=\int dx^{4}{\frac {1}{8}}(F\pm {\tilde {F}})^{2}\mp \int dx^{4}{\frac {1}{4}}F{\tilde {F}}}$

Первый член минимизируется самодуальными или антисамодуальными конфигурациями, тогда как последний член является полной производной и, следовательно, зависит только от границы (т.е. ) решения; следовательно, он является топологическим инвариантом и может быть показан как целое число, умноженное на некоторую константу (здесь константа равна ). Целое число называется инстантонным числом (см. Гомотопическая группа ). ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}}$

В явном виде инстантонное решение задается формулой ^[5]

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\eta _{\mu \nu }^{a}(x-z)_{\nu }}{(x-z)^{2}+\rho ^{2}}}}$

где z _{μ —} центр, а ρ — масштаб инстантона. η ^a _μν — символ 'т Хоофта :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }^{a}={\begin{cases}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\-\delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{cases}}.}$

При больших x ² ρ ​​становится пренебрежимо малым и калибровочное поле приближается к полю чистого калибровочного преобразования: . Действительно, напряженность поля равна: ${\displaystyle {\frac {x^{0}+i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\sigma } }{\sqrt {x^{2}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{F^{a}}_{jk}={F^{a}}_{0i}={\frac {4{\rho }^{2}\delta _{ai}}{g(x^{2}+\rho ^{2})^{2}}}}$

и стремится к нулю с такой же скоростью, как r ⁻⁴ на бесконечности.

Антиинстантон описывается аналогичным выражением, но в нем символ 'т Хоофта заменен на символ анти-'т Хоофта , который равен обычному символу 'т Хоофта, за исключением того, что компоненты с одним из индексов Лоренца, равным четырем, имеют противоположный знак. ${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}}$

Решение BPST имеет много симметрий. ^[6] Трансляции и дилатации преобразуют решение в другие решения. Инверсия координат ( x ^μ → x ^μ / x ² ) преобразует инстантон размера ρ в антиинстантон размера 1/ρ и наоборот. Вращения в евклидовом четырехмерном пространстве и специальные конформные преобразования оставляют решение инвариантным (с точностью до калибровочного преобразования).

Классическое действие инстантона равно ^[4]

${\displaystyle S={\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}.}$

Поскольку эта величина входит в экспоненциальную функцию в формализме интеграла по траекториям, это по сути непертурбативный эффект, поскольку функция e ^{−1/ x^2} имеет исчезающий ряд Тейлора в начале координат, несмотря на то, что в других местах она отлична от нуля.

Другие датчики

Выражение для инстантона BPST, приведенное выше, находится в так называемой регулярной калибровке Ландау . Существует другая форма, которая калибровочно эквивалентна выражению, приведенному выше, в сингулярной калибровке Ландау . В обеих этих калибровках выражение удовлетворяет ∂ _μ A ^μ = 0. В сингулярной калибровке инстантон равен

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\rho ^{2}}{(x-z)^{2}}}{\frac {{\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}(x-z)_{\nu }}{(x-z)^{2}+\rho ^{2}}}.}$

В сингулярной калибровке выражение имеет сингулярность в центре инстантона, но стремится к нулю быстрее при x, стремящемся к бесконечности.

При работе с другими калибрами, отличными от калибра Ландау, в литературе можно найти похожие выражения.

Обобщение и внедрение в другие теории

При конечной температуре инстантон BPST обобщается до так называемого калорона .

Вышеизложенное справедливо для теории Янга–Миллса с SU(2) в качестве калибровочной группы. Его можно легко обобщить на произвольную неабелеву группу. Тогда инстантоны задаются инстантоном BPST для некоторых направлений в групповом пространстве и нулем в других направлениях.

При переходе к теории Янга–Миллса со спонтанным нарушением симметрии из-за механизма Хиггса обнаруживается, что инстантоны BPST больше не являются точными решениями уравнений поля. Для нахождения приближенных решений можно использовать формализм ограниченных инстантонов. ^[7]

Газ и жидкость Instanton

В КХД

Ожидается, что инстантоны, подобные BPST, играют важную роль в вакуумной структуре КХД . Инстантоны действительно обнаружены в решеточных расчетах. Первые расчеты, выполненные с инстантонами, использовали приближение разреженного газа. Полученные результаты не решили инфракрасную проблему КХД, заставив многих физиков отказаться от физики инстантонов. Однако позже была предложена модель инстантонной жидкости , которая оказалась более многообещающим подходом. ^[8]

Модель разбавленного инстантонного газа исходит из предположения, что вакуум КХД состоит из газа инстантонов BPST. Хотя точно известны только решения с одним или несколькими инстантонами (или антиинстантонами), разбавленный газ инстантонов и антиинстантонов можно аппроксимировать, рассматривая суперпозицию одноинстантонных решений на больших расстояниях друг от друга. 'т Хоофт вычислил эффективное действие для такого ансамбля ^[5] и обнаружил инфракрасную расходимость для больших инстантонов, что означает, что бесконечное количество бесконечно больших инстантонов будет заполнять вакуум.

Позже была изучена модель инстантонной жидкости . Эта модель начинается с предположения, что ансамбль инстантонов не может быть описан простой суммой отдельных инстантонов. Были предложены различные модели, вводящие взаимодействия между инстантонами или использующие вариационные методы (например, «приближение долины»), пытаясь приблизиться к точному многоинстантонному решению как можно ближе. Было достигнуто множество феноменологических успехов. ^[8] Конфиденциальность, по-видимому, является самой большой проблемой в теории Янга–Миллса, на которую у инстантонов нет никакого ответа.

В электрослабой теории

Слабое взаимодействие описывается SU(2), так что можно ожидать, что инстантоны также будут играть роль. Если это так, то они вызовут нарушение барионного числа . Из-за механизма Хиггса инстантоны больше не являются точными решениями, но вместо этого можно использовать приближения. Один из выводов заключается в том, что наличие массы калибровочного бозона подавляет большие инстантоны, так что приближение инстантонного газа является последовательным.

Ввиду непертурбативной природы инстантонов все их эффекты подавляются множителем e ^{−16π 2 / g 2} , который в электрослабой теории имеет порядок ¹⁰⁻¹⁷⁹ .

Другие решения уравнений поля

Инстантон и антиинстантоны — не единственные решения уравнений поля Янга–Миллса, повернутых по Вику. Многоинстантонные решения были найдены для q, равных двум и трем, и существуют также частичные решения для более высоких q . Общие многоинстантонные решения могут быть аппроксимированы только с помощью приближения долины — человек начинает с определенного анзаца (обычно суммы требуемого числа инстантонов) и численно минимизирует действие при заданном ограничении (сохраняя постоянными число инстантонов и размеры инстантонов).

Решения, которые не являются самодвойственными, также существуют. ^[9] Они не являются локальными минимумами действия, а вместо этого соответствуют седловым точкам.

Инстантоны также тесно связаны с меронами , ^[10] сингулярными недуальными решениями евклидовых уравнений поля Янга–Миллса топологического заряда 1/2. Считается, что инстантоны состоят из двух меронов.

Смотрите также

• Инстантон
• Мерон
• Монополь У–Яна

Ссылки

1. А. А. Белавин; А. М. Поляков; А. С. Шварц; Ю. С. Тюпкин (1975). "Псевдочастичные решения уравнений Янга-Миллса". Phys. Lett. B . 59 (1): 85–87. Bibcode :1975PhLB...59...85B. doi :10.1016/0370-2693(75)90163-X.
2. Поляков, Александр (1975). «Компактные калибровочные поля и инфракрасная катастрофа». Phys. Lett. B. 59 ( 1): 82–84. Bibcode :1975PhLB...59...82P. doi :10.1016/0370-2693(75)90162-8.
3. S. Coleman, The uses of instantons , Int. School of Subnuclear Physics, (Erice, 1977)
4. Инстантоны в калибровочных теориях, М.Шифман, World Scientific, ISBN 981-02-1681-5 
5. 't Hooft, Gerard (1976). «Вычисление квантовых эффектов, вызванных четырехмерной псевдочастицей». Phys. Rev. D. 14 ( 12): 3432–3450. Bibcode : 1976PhRvD..14.3432T. doi : 10.1103/PhysRevD.14.3432.
6. Р. Джекив и К. Ребби, Конформные свойства псевдочастицы Янга-Миллса , Phys. Rev. D14 (1976) 517
7. Аффлек, Ян (1981). «О связанных инстантонах». Nucl. Phys. B . 191 (2): 429–444. Bibcode :1981NuPhB.191..429A. doi :10.1016/0550-3213(81)90307-2.
8. Hutter, Marcus (1995). "Инстантоны в КХД: теория и применение модели инстантонной жидкости". arXiv : hep-ph/0107098 .
9. Стефан Вандорен; Питер ван Ньювенхейзен (2008). «Лекции об инстантонах». arXiv : 0802.1862 [геп-й].
10. Актор, Альфред (1979). «Классические решения теорий Янга-Миллса SU(2)». Rev. Mod. Phys . 51 (3): 461–525. Bibcode :1979RvMP...51..461A. doi :10.1103/RevModPhys.51.461.