Баллистический маятник

Маятник, используемый для измерения импульса пули.

Зеленый баллистический маятник

Анимация баллистического маятника

Баллистический маятник — прибор для измерения импульса пули , с помощью которого можно рассчитать скорость и кинетическую энергию . Баллистические маятники в значительной степени устарели благодаря современным хронографам , которые позволяют напрямую измерять скорость снаряда.

Хотя баллистический маятник считается устаревшим, он использовался в течение значительного периода времени и привел к большому прогрессу в науке о баллистике . Баллистический маятник до сих пор используется в классах физики из-за его простоты и полезности для демонстрации свойств импульса и энергии. В отличие от других методов измерения скорости пули, основные расчеты баллистического маятника не требуют измерения времени, а опираются только на меры массы и расстояния. ^[1]

Помимо измерения скорости снаряда или отдачи оружия, баллистический маятник можно использовать для измерения любой передачи импульса. Например, баллистический маятник использовался физиком К.В. Бойсом для измерения упругости мячей для гольфа ^[2] и физиком Питером Гатри Тейтом для измерения влияния вращения на расстояние, пройденное мячом для гольфа. ^{[3] [4]}

История

Баллистический маятник (1911 г.)

Баллистический маятник был изобретен в 1742 году английским математиком Бенджамином Робинсом (1707–1751) и опубликован в его книге « Новые принципы артиллерийского дела» , которая произвела революцию в науке о баллистике, поскольку предоставила первый способ точного измерения скорости пули. ^{[2] [5]}

Робинс использовал баллистический маятник для измерения скорости снаряда двумя способами. Первым делом нужно было прикрепить пистолет к маятнику и измерить отдачу . Поскольку импульс пистолета равен импульсу выброса и поскольку снаряд составлял (в этих экспериментах) большую часть массы выброса, скорость пули можно было приблизительно определить. Второй, более точный метод, заключался в непосредственном измерении импульса пули, выстрелив ею в маятник. Робинс экспериментировал с мушкетными ядрами массой около одной унции (28 г), в то время как другие современники использовали его методы с пушечными выстрелами от одного до трех фунтов (от 0,5 до 1,4 кг). ^[6]

В оригинальной работе Робинса для ловли пули использовался тяжелый железный маятник, облицованный деревом. В современных репродукциях, используемых в качестве демонстраций на уроках физики, обычно используется тяжелый груз, подвешенный на очень тонкой и легкой руке, и игнорируется масса руки маятника. Тяжелый железный маятник Робинса не позволял этого сделать, а математический подход Робинса был немного более сложным. Он использовал период колебаний и массу маятника (оба измеренные вместе с пулей) для расчета инерции вращения маятника, которая затем использовалась в расчетах . Робинс также использовал отрезок ленты , свободно зажатый в зажиме, для измерения хода маятника. Маятник вытянет ленту длиной, равной хорде хода маятника. ^[7]

Первая система, заменяющая баллистические маятники прямыми измерениями скорости снаряда, была изобретена в 1808 году, во время наполеоновских войн , и использовала быстро вращающийся вал с известной скоростью с двумя бумажными дисками на нем; пуля выпускалась через диски параллельно валу, а угловая разница в точках попадания обеспечивала пройденное время по расстоянию между дисками. В 1848 году появился прямой электромеханический часовой механизм: часы с пружинным приводом запускались и останавливались с помощью электромагнитов, ток которых прерывался пулей, проходящей через две сетки тонких проволок, снова обеспечивая время для прохождения заданного расстояния. ^[2]

Математические выводы

В большинстве учебников по физике представлен упрощенный метод расчета скорости пули, который использует массу пули и маятника, а также высоту перемещения маятника для расчета количества энергии и импульса в системе маятник и пуля. Расчеты Робинса были значительно более сложными и использовали меру периода колебаний для определения инерции вращения системы.

Простой вывод

Начнем с движения системы пуля-маятник с момента удара пули по маятнику.

Учитывая , ускорение свободного падения и , конечную высоту маятника, можно рассчитать начальную скорость системы пуля-маятник, используя закон сохранения механической энергии (кинетическая энергия + потенциальная энергия). Обозначим эту начальную скорость через . Предположим, что массы пули и маятника равны и соответственно. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle m_{b}}$ ${\displaystyle m_{p}}$

Начальная кинетическая энергия системы ${\displaystyle K_{initial}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}}$

Принимая начальную высоту маятника в качестве эталона потенциальной энергии , конечная потенциальная энергия, когда система пуля-маятник останавливается, определяется выражением ${\displaystyle (U_{initial}=0)}$ ${\displaystyle (K_{final}=0)}$ ${\displaystyle U_{final}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Итак, в силу сохранения механической энергии имеем: ^[8]

${\displaystyle K_{initial}=U_{final}\,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Решите скорость, чтобы получить: ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Теперь мы можем использовать закон сохранения импульса для системы «пуля-маятник», чтобы получить скорость пули , до того, как она ударилась о маятник. Приравнивая импульс пули до удара о маятник импульсу системы пуля-маятник сразу после удара пули о маятник (и используя сверху), получаем: ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

${\displaystyle m_{\textrm {b}}\cdot v_{0}=(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Решение для : ${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle v_{0}={\frac {(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}{m_{\textrm {b}}}}=\left(1+{\frac {m_{\textrm {p}}}{m_{\textrm {b}}}}\right)\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

• Тестовый пример с пневматическим пистолетом и пневматической винтовкой
• Кросман 1377, кал. .177, масса дроби 0,5 грамм, масса колодки 45 грамм.
• 
  Crosman 1377, энергия 10,6 джоулей (10 задано), начальная скорость 206 метров в секунду.
• Экол Алтимейт, кал. .25, масса дроби 1,15 грамм, масса блока 80 грамм.
• 
  Ekol Ultimate: энергия 26,6 джоулей (заданная 30), начальная скорость 215 метров в секунду.

Формула Робинса

В оригинальной книге Робинса в формуле были опущены некоторые предположения; например, он не включал поправку для учета попадания пули, которая не совпадала с центром масс маятника. Обновленная формула с исправленным этим упущением была опубликована в следующем году в «Философских трудах Королевского общества» . Швейцарский математик Леонхард Эйлер , не подозревая об этой поправке, самостоятельно исправил это упущение в своем аннотированном немецком переводе книги. ^[6] Исправленная формула, появившаяся в издании книги 1786 года, была:

${\displaystyle v=614.58gc\cdot {\frac {p+b}{birn}}}$

где:

• ${\displaystyle v}$скорость мяча в единицах в секунду
• ${\displaystyle b}$это масса шара
• ${\displaystyle p}$это масса маятника
• ${\displaystyle g}$расстояние от оси вращения до центра тяжести
• ${\displaystyle i}$расстояние от точки опоры до точки удара мяча
• ${\displaystyle c}$- это хорда, измеренная лентой, описанной в аппарате Робинса.
• ${\displaystyle r}$это радиус или расстояние от оси крепления ленты
• ${\displaystyle n}$- число колебаний, совершаемых маятником за одну минуту

Робинс использовал футы для длины и унции для массы, хотя другие единицы, такие как дюймы или фунты, могут быть заменены, если сохраняется последовательность. ^[7]

Формула Пуассона

Формула, основанная на инерции вращения, аналогичная формуле Робинса, была выведена французским математиком Симеоном Дени Пуассоном и опубликована в The Mécanique Physique для измерения скорости пули с использованием отдачи пистолета:

${\displaystyle mvcf=Mbk'{\sqrt {gh}}}$

где:

• ${\displaystyle m}$это масса пули
• ${\displaystyle v}$это скорость пули
• ${\displaystyle c}$расстояние от оси до ленты
• ${\displaystyle f}$расстояние от оси отверстия до точки поворота
• ${\displaystyle M}$это совокупная масса пистолета и маятника
• ${\displaystyle b}$хорда измеряется лентой
• ${\displaystyle k'}$- радиус от оси вращения до центра масс пистолета и маятника (измеряется по колебанию по Робинсу)
• ${\displaystyle g}$это гравитационное ускорение
• ${\displaystyle h}$расстояние от центра масс маятника до оси вращения

${\displaystyle k'}$можно рассчитать по уравнению:

${\displaystyle T=\pi {\sqrt {\frac {k'^{2}}{gh}}}}$

Где половина периода колебаний. ^[6] ${\displaystyle T}$

Баллистический маятник Экли

П.О. Экли описал, как сконструировать и использовать баллистический маятник в 1962 году. В маятнике Экли использовалась параллелограммная связь со стандартным размером, что позволяло упростить расчет скорости. ^[9]

В маятнике Экли использовались маятниковые рычаги длиной ровно 66,25 дюйма (168,3 см) от опорной поверхности до опорной поверхности, а также использовались талрепы , расположенные в середине рычагов, чтобы обеспечить возможность точной установки длины рычага. Экли также рекомендует использовать массы для тела маятника различных калибров; 50 фунтов (22,7 кг) для винтовок кольцевого воспламенения вплоть до .22 Hornet , 90 фунтов (40,9 кг) для калибров от .222 Remington до .35 Whelen и 150 фунтов (68,2 кг) для калибров винтовки Magnum. Маятник сделан из тяжелой металлической трубы, заварен с одного конца и набит бумагой и песком, чтобы остановить пулю. Открытый конец маятника был покрыт листом резины, чтобы позволить пуле войти и предотвратить утечку материала. ^[9]

Чтобы использовать маятник, его снабжают устройством для измерения горизонтального расстояния качания маятника, например легким стержнем, который при движении толкается назад задней частью маятника. Стрелок сидит на расстоянии не менее 15 футов (5 м) от маятника (что снижает воздействие дульного взрыва на маятник) и пуля выстреливает в маятник. Для расчета скорости пули с учетом горизонтального поворота используется следующая формула: ^[9]

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}0.2018D}$

где:

• ${\displaystyle V}$скорость пули в футах в секунду
• ${\displaystyle Mp}$- масса маятника, в гранах
• ${\displaystyle Mb}$— масса пули, в гранах
• ${\displaystyle D}$горизонтальное перемещение маятника в дюймах

Для более точных расчетов внесен ряд изменений, как в конструкцию, так и в применение маятника. Конструктивные изменения включают добавление небольшой коробки наверху маятника. Перед взвешиванием маятника ящик наполняют определенным количеством пуль измеряемого типа. При каждом произведенном выстреле пулю можно вынимать из коробки, сохраняя при этом массу маятника постоянной. Изменение измерения включает в себя измерение периода маятника. Маятник раскачивают и измеряют число полных колебаний за длительный период времени, от пяти до десяти минут. Время делят на количество колебаний, чтобы получить период. Как только это будет сделано, формула сгенерирует более точную константу для замены значения 0,2018 в приведенном выше уравнении. Как и выше, скорость пули рассчитывается по формуле: ^[9] ${\displaystyle C={\frac {pi}{T12}}}$

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}CD}$

Рекомендации

1. «Баллистический маятник». Британская энциклопедия .
2. Джервис-Смит, Фредерик Джон (1911). «Хронограф»  . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 6 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 302.
3. Густав Ялмар Энестрём (1903). Библиотека Математика. Б. Г. Тойбнер.
4. Научные статьи Питера Гатри Тейта, Vol. 2. Издательство Кембриджского университета. 1900. с. 374.
5. Бенджамин Робинс (1742). Новые принципы артиллерийской стрельбы. п. 25.
6. Эдвард Джон Рут (1905). Элементарная часть «Трактата о динамике системы твердых тел» . Макмиллан.
7. Бенджамин Робинс; Джеймс Уилсон; Чарльз Хаттон (1805 г.). Новые принципы артиллерийской стрельбы. Ф. Вингрейв.
8. "Баллистический маятник". Государственный университет Джорджии .
9. ПО Экли (1962). Справочник для стрелков и перезарядчиков, том I. Издательство Плаза., стр. 191-195

Библиография

• Бенджамин Робинс, Джеймс Уилсон, Чарльз Хаттон (1805). Новые принципы артиллерийской стрельбы . Ф. Вингрейв.
• «Баллистический маятник». Британская энциклопедия

Внешние ссылки

• Калькулятор баллистического маятника
• Баллистический маятник, продемонстрированный Уолтером Левином