Модель диффузии басов

Математическая модель маркетинга

Модель Басса или модель диффузии Басса была разработана Фрэнком Бассом . Он состоит из простого дифференциального уравнения , описывающего процесс внедрения новых продуктов в население. Модель представляет собой объяснение того, как взаимодействуют нынешние и потенциальные пользователи нового продукта. Основная предпосылка модели заключается в том, что усыновителей можно классифицировать как новаторов или имитаторов, а скорость и сроки внедрения зависят от степени их инновационности и степени подражания среди усыновителей. Модель Басса широко используется в прогнозировании , особенно в прогнозировании продаж новых продуктов и прогнозировании технологий . Математически основная диффузия Басса представляет собой уравнение Риккати с постоянными коэффициентами, эквивалентное логистическому росту Ферхюльста-Перла .

В 1969 году Фрэнк Басс опубликовал свою статью о новой модели роста потребительских товаров длительного пользования . ^{[1] : 1833 г.  [2]} До этого Эверетт Роджерс опубликовал «Распространение инноваций» , весьма влиятельную работу, в которой описывались различные этапы внедрения продукта. Басс внес в эту концепцию некоторые математические идеи. ^[3] В то время как модель Роджерса описывает все четыре стадии жизненного цикла продукта (Внедрение, Рост, Зрелость, Упадок), модель Басса фокусируется на первых двух (Внедрение и Рост). Некоторые расширения Bass-Model представляют математические модели для последних двух (зрелости и упадка).

Формулировка модели

${\displaystyle {\frac {f(t)}{1-F(t)}}=p+qF(t)}$ ^[2]

Где:

• ${\displaystyle \ F(t)}$установленная базовая доля
• ${\displaystyle \ f(t)}$- скорость изменения установленной базовой доли, т.е. ${\displaystyle \ f(t)=F'(t)}$
• ${\displaystyle \ p}$коэффициент инновационности
• ${\displaystyle \ q}$коэффициент имитации

Выраженный в виде обыкновенного дифференциального уравнения,

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=p(1-F)+q(1-F)F=(1-F)(p+qF).}$

Продажи (или новые пользователи) в определенный момент времени представляют собой скорость изменения установленной базы, т. е. умноженную на конечный рыночный потенциал . При условии мы имеем это ${\displaystyle \ s(t)}$ ${\displaystyle \ t}$ ${\displaystyle \ f(t)}$ ${\displaystyle \ m}$ ${\displaystyle \ F(0)=0}$

${\displaystyle \ s(t)=mf(t)}$

${\displaystyle \ s(t)=m{\frac {(p+q)^{2}}{p}}{\frac {e^{-(p+q)t}}{(1+{\frac {q}{p}}e^{-(p+q)t})^{2}}}}$ ^[2]

Имеем разложение где – количество новаторов в определенный момент времени , – количество подражателей в определенный момент времени . ${\displaystyle \ s(t)=s_{n}(t)+s_{i}(t)}$ ${\displaystyle \ s_{n}(t):=mp(1-F(t))}$ ${\displaystyle \ t}$ ${\displaystyle \ s_{i}(t):=mq(1-F(t))F(t)}$ ${\displaystyle \ t}$

Время пиковых продаж : ${\displaystyle \ t^{*}}$

${\displaystyle \ t^{*}={\frac {\ln q-\ln p}{p+q}}}$ ^[2]

Время точек перегиба на кривой новых потребителей : ${\displaystyle \ t^{**}}$

${\displaystyle \ t^{**}={\frac {\ln(q/p)-\ln(2\pm {\sqrt {3}}))}{p+q}}}$ ^[4]

или в другой форме (связанной с пиковыми продажами):

${\displaystyle \ t^{**}=t^{*}\pm {\frac {\ln(2+{\sqrt {3}}))}{p+q}}}$ ^[4]

Время пика и время точек перегиба должны быть положительными. Когда значение отрицательное, продажи не имеют пика (и снижаются с момента введения). Бывают случаи (в зависимости от значений и ), когда кривая новых адептов (начинающаяся с 0) имеет только одну или нулевую точку перегиба. ${\displaystyle \ t^{*}}$ ${\displaystyle \ p}$ ${\displaystyle \ q}$

Объяснение

Коэффициент называется коэффициентом инновационности, внешнего влияния или рекламного эффекта. Коэффициент называется коэффициентом подражания, внутреннего влияния или эффекта сарафанного радио. ${\displaystyle \ p}$ ${\displaystyle \ q}$

Типичные значения и при измерении времени в годах: ^[5] ${\displaystyle \ p}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ t}$

• Было обнаружено, что среднее значение составляет 0,03 с типичным диапазоном от 0,01 до 0,03. ${\displaystyle \ p}$
• Было обнаружено, что среднее значение составляет 0,38 с типичным диапазоном от 0,3 до 0,5. ${\displaystyle \ q}$

Вывод

Модель диффузии Басса выведена на основе предположения, что уровень опасности для потребления продукта или услуги может быть определен как: где – функция плотности вероятности , – функция выживания , где – кумулятивная функция распределения . Из этих основных определений анализа выживания мы знаем, что: Следовательно, дифференциальное уравнение для функции выживания эквивалентно: Интеграция и перестановка членов дает нам следующее: Для любой функции выживания мы должны иметь это , а это означает, что . При этом условии функция выживания равна: Наконец, используя тот факт, что , мы находим, что модель диффузии Басса для потребления продукта имеет вид: ${\displaystyle \lambda (t)}$ $${\displaystyle \lambda (t)={f(t) \over {S(t)}}=p+q[1-S(t)]}$$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle S(t)=1-F(t)}$ ${\displaystyle F(t)}$ $${\displaystyle f(t)=-{dS \over {dt}}\implies \lambda (t)=-{1 \over {S}}{dS \over {dt}}}$$ $${\displaystyle {dS \over {S[p+q(1-S)]}}=-dt}$$ $${\displaystyle {S \over {p+q(1-S)}}=Ae^{-(p+q)t}}$$ ${\displaystyle S(0)=1}$ ${\displaystyle A=p^{-1}}$ $${\displaystyle S(t)={e^{-(p+q)t}+{q \over {p}}e^{-(p+q)t} \over {1+{q \over {p}}e^{-(p+q)t}}}}$$ ${\displaystyle F(t)=1-S(t)}$ $${\displaystyle F(t)={1-e^{-(p+q)t} \over {1+{q \over {p}}e^{-(p+q)t}}}}$$

Расширения модели

Обобщенная модель Bass (с ценами)

Басс обнаружил, что его модель соответствует данным почти для всех представленных на рынке продуктов, несмотря на широкий спектр переменных управленческих решений, например ценообразование и рекламу. Это означает, что переменные решения могут смещать кривую Басса во времени, но форма кривой всегда одинакова.

Хотя было предложено множество расширений модели, только одно из них при обычных обстоятельствах сводится к модели Басса. ^[6]

Эта модель была разработана в 1994 году Фрэнком Бассом, Тричи Кришнаном и Дипаком Джайном:

${\displaystyle {\frac {f(t)}{1-F(t)}}=(p+{q}F(t))x(t)}$

где - функция процентного изменения цены и других переменных ${\displaystyle \ x(t)}$

В отличие от модели Басса, которая имеет аналитическое решение, но также может быть решена численно, обобщенные модели Басса обычно не имеют аналитических решений и должны решаться численно. Орбах (2016) ^[7] отмечает, что значения p,q не совсем идентичны для форм с непрерывным и дискретным временем. Для обычных случаев (когда p находится в диапазоне 0,01–0,03, а q — в диапазоне 0,2–0,4) прогнозы в дискретном и непрерывном времени очень близки. Для других значений p,q прогнозы могут существенно отклоняться.  

Последующие поколения

Пример прогноза с 8 поколениями

Технологические продукты сменяют друг друга в поколениях. В 1987 году Нортон и Басс расширили эту модель продаж продуктов с непрерывными повторными покупками. Формулировка для трех поколений следующая: ^[8]

${\displaystyle \ S_{1,t}=F(t_{1})m_{1}(1-F(t_{2}))}$

${\displaystyle \ S_{2,t}=F(t_{2})(m_{2}+F(t_{1})m_{1})(1-F(t_{3}))}$

${\displaystyle \ S_{3,t}=F(t_{3})(m_{3}+F(t_{2})(m_{2}+F(t_{1})m_{1}))}$

где

• ${\displaystyle \ m_{i}=a_{i}M_{i}}$
• ${\displaystyle \ M_{i}}$— это возрастающее число конечных пользователей продукта i -го поколения.
• ${\displaystyle \ a_{i}}$— средний (непрерывный) уровень повторных покупок среди потребителей продукта i -го поколения.
• ${\displaystyle \ t_{i}}$время, прошедшее с момента появления продукта i -го поколения
• ${\displaystyle \ F(t_{i})={\frac {1-e^{-(p+q)t_{i}}}{1+{\frac {q}{p}}e^{-(p+q)t_{i}}}}}$

Было обнаружено, что члены p и q обычно одинаковы в разных поколениях.

Связь с другими S-образными кривыми

Есть два особых случая модели диффузии Басса.

• Первый частный случай возникает при q=0, когда модель сводится к экспоненциальному распределению .
• Второй частный случай сводится к логистическому распределению , когда p=0.

Модель Басса представляет собой частный случай гамма- сдвинутого распределения Гомпертца (G/SG): Bemmaor ^[9] (1994).

Использование в социальных сетях

Быстрый недавний (по состоянию на начало 2007 года) рост онлайн-социальных сетей (и других виртуальных сообществ ) привел к более широкому использованию модели диффузии Басса. Модель диффузии Басса используется для оценки размера и темпов роста этих социальных сетей. Работа Кристиана Бакхаге и соавторов ^[10] показывает, что модель Басса дает более пессимистическую картину будущего, чем альтернативные модели, такие как распределение Вейбулла и смещенное распределение Гомпертца.

Диапазоны параметров p, q

Басс (1969) ^[2] различал случай p < q , когда периодические продажи растут, а затем падают (у успешного продукта наблюдается периодический пик продаж); и случай p>q , при котором периодические продажи снижаются с момента запуска (без пика).

Джайн и др. (1995) ^[11] исследовали влияние посева. При использовании посева диффузия может начаться, когда p + qF(0) > 0, даже если значение p отрицательное, но маркетолог использует стратегию посева с размером начального числа F(0) > -p/q. Интерпретация отрицательного значения p не обязательно означает, что продукт бесполезен: могут быть случаи, когда существуют ценовые барьеры или препятствия для внедрения, когда очень немногие другие уже внедрили его. Когда другие внедряют его, выгоды от продукта увеличиваются из-за внешних эффектов или уменьшения неопределенности, и продукт становится все более и более привлекательным для многих потенциальных клиентов.

Молдован и Гольденберг (2004) ^[12] включили влияние негативного сарафанного радио (WOM) на распространение, что подразумевает возможность отрицательного q. Отрицательное значение q не обязательно означает, что покупатели разочарованы и недовольны своей покупкой. Это может подойти для случая, когда польза от продукта снижается по мере того, как его принимает все больше людей. Например, при определенном уровне спроса на поездки на поезде зарезервированные билеты могут быть проданы тем, кто хочет гарантировать место. Тем, кто не резервирует места, возможно, придется добираться до работы стоя. По мере того как продается больше зарезервированных мест, скученность в незарезервированных вагонах уменьшается, а вероятность найти место в незарезервированном вагоне увеличивается, что снижает стимул покупать зарезервированные места. В то время как кривая некумулятивных продаж с отрицательным q аналогична кривым с q = 0, кривая кумулятивных продаж представляет собой более интересную ситуацию: когда p > -q, рынок в конечном итоге достигнет 100% своего потенциала, как и для регулярное положительное значение q . Однако если p < -q, в долгосрочной перспективе рынок насытится на равновесном уровне –p/q своего потенциала.

Орбах (2022) ^[13] суммировал поведение диффузии в каждой части пространства p,q и сопоставил расширенные ( p , q ) области за пределами положительного правого квадранта (где диффузия является спонтанной) в другие области, где диффузия сталкивается с барьерами (отрицательный p ), где для начала диффузии требуются «стимулы» или возникает сопротивление усыновителей новым членам (отрицательное q ), что может стабилизировать рынок ниже уровня полного внедрения.

Отображение расширенного Бассового p - q- пространства ^[13]

Принятие этой модели

Эта модель является одним из наиболее цитируемых эмпирических обобщений в маркетинге; По состоянию на август 2023 года статья «Рост новых продуктов для моделей потребительских товаров длительного пользования», опубликованная в журнале Management Science, имела (приблизительно) 11352 цитирования в Google Scholar. ^[14]

Эта модель оказала широкое влияние на науку о маркетинге и менеджменте. В 2004 году она была выбрана в качестве одной из десяти наиболее часто цитируемых статей за 50-летнюю историю науки управления . ^[3] Она заняла пятое место и стала единственной маркетинговой газетой в списке. Впоследствии он был переиздан в декабрьском номере журнала Management Science за 2004 год . ^[3]

Модель Басса была разработана для потребительских товаров длительного пользования. Однако он также использовался для прогнозирования принятия рынком многочисленных потребительских и промышленных товаров и услуг, включая материальные, нематериальные, медицинские, ^{[15] [16]} и финансовые ^[17] продукты. Султан ^[18] и др. (1990) применили модель Басса к 213 категориям товаров, в основном потребительским товарам длительного пользования (в широком диапазоне цен), а также к услугам, таким как мотели, и промышленным/сельскохозяйственным товарам, таким как гибридные семена кукурузы.

Смотрите также

• Распространение инноваций
• Прогнозирование
• Модель ленивого пользователя
• Сдвинутое распределение Гомпертца

Рекомендации

1. Басс, Фрэнк М. (2004). «Комментарии к статье «Рост новых продуктов для моделей потребительских товаров длительного пользования»: модель Басса». Наука управления . 50 (12): 1833–1840. CiteSeerX  10.1.1.460.1976 . дои : 10.1287/mnsc.1040.0300. Пожалуй, первое, на что следует обратить внимание в статье, получившей название «Модель Басса» (Bass 1969), — это название. Содержит опечатку. Статья была опубликована под заголовком: «Рост новых продуктов для моделей потребительских товаров длительного пользования». Правильным названием должно быть: «Новая модель развития потребительских товаров длительного пользования».
2. Басс, Фрэнк (1969). «Рост новых продуктов для моделей потребительских товаров длительного пользования». Наука управления . 15 (5): 215–227. дои : 10.1287/mnsc.15.5.215.
3. Management Science 50, приложение № 12, декабрь 2004 г., ISSN  0025-1909, стр. 1833-1840.
4. Махаджан, Виджай; Мюллер, Эйтан; Шривастава, Раджендра К. (1990). «Определение категорий потребителей с помощью моделей распространения инноваций». Журнал маркетинговых исследований . 27 (1): 37. дои : 10.2307/3172549. ISSN  0022-2437. JSTOR  3172549.
5. Махаджан, Виджай; Эйтан Мюллер ; Басс, Фрэнк (1995). «Распространение новых продуктов: эмпирические обобщения и управленческое использование». Маркетинговая наука . 14 (3): G79–G88. дои : 10.1287/mksc.14.3.G79.
6. Басс, Фрэнк М.; Тричи В. Кришнан; Дипак К. Джайн (1994). «Почему модель Басса подходит без переменных решения». Маркетинговая наука . 13 (2): 203–223. дои : 10.1287/mksc.13.3.203.
7. Орбах, Яир (27 апреля 2016 г.). «Параметрический анализ модели Басса». Инновационный маркетинг . 12 (1): 29–40. дои : 10.21511/im.12(1).2016.03 . ISSN  1814-2427.
8. Нортон, Джон А.; Фрэнк М. Басс (1987). «Теория диффузии. Модель внедрения и замещения последовательных поколений высокотехнологичной продукции». Наука управления . 33 (9): 1069–1086. CiteSeerX 10.1.1.565.4068 . дои : 10.1287/mnsc.33.9.1069. 
9. Беммаор, Альберт К. (1994). «Моделирование распространения новых товаров длительного пользования: эффект сарафанного радио и потребительская неоднородность». В Ж. Лоране, Г.Л. Лилиене и Б. Прасе (ред.). Исследовательские традиции в маркетинге . Бостон: Академическое издательство Kluwer. стр. 201–223. ISBN 978-0-7923-9388-7.
10. Баукхаге, Кристиан; Керстинг, Кристиан (2014). «Явные закономерности роста и снижения популярности социальных сетей». arXiv : 1406.6529 [cs.SI].
11. Джайн, округ Колумбия, Махаджан, В. Мюллер, Э. (1995). «Подход к определению оптимальной выборки для распространения нового продукта». Журнал управления инновациями в продуктах . 12 (2): 124–135. дои : 10.1111/1540-5885.1220124.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. Молдован и Гольденберг (2004). «Моделирование клеточно-автоматного сопротивления инновациям: эффекты и решения». Технологическое прогнозирование и социальные изменения . 71 (5): 425–442. дои : 10.1016/S0040-1625(03)00026-X.
13. Орбах, Яир (2022). Прогнозирование динамики рынка и технологий . Израиль: Издательство Ариэльского университета. стр. 153–155. ISBN 978-965-7632-40-6.
14. "Ученый Google".
15. Харрази, Хади; Гонсалес, Клаудия П; Лоу, Кевин Б; Уэрта, Тимоти Р.; Форд, Эрик В. (07 августа 2018 г.). «Прогнозирование развития функций электронных медицинских карт в больницах США: ретроспективный анализ и прогностическая модель». Журнал медицинских интернет-исследований . 20 (8): е10458. дои : 10.2196/10458 . ISSN  1438-8871. ПМК 6104443 . ПМИД  30087090. 
16. Данн, Адам Дж; Брейтуэйт, Джеффри; Гальего, Бланка; Дэй, Ричард О; Рансимен, Уильям; Койера, Энрико (10 августа 2012 г.). «Внедрение новых лекарств врачами в национальном масштабе: применение модели диффузии Басса». Исследование услуг здравоохранения BMC . 12 (1): 248. дои : 10.1186/1472-6963-12-248 . ISSN  1472-6963. ПМЦ 3441328 . ПМИД  22876867. 
17. «Добровольные профессиональные пенсии», Краткий обзор пенсий ОЭСР, 2005 г. , Краткий обзор пенсий ОЭСР, ОЭСР, стр. 191–192, 03 мая 2006 г., doi : 10.1787/pension_glance-2005-44-en, ISBN 978-92-64-01871-6, получено 4 сентября 2023 г.
18. Султан, Фарина; Фарли, Джон У.; Леманн, Дональд Р. (февраль 1990 г.). «Метаанализ применения моделей диффузии». Журнал маркетинговых исследований . 27 (1): 70–77. дои : 10.1177/002224379002700107. ISSN  0022-2437. S2CID  167853623.