потенциал Бесселя

Математический потенциал

В математике потенциал Бесселя — потенциал (названный в честь Фридриха Вильгельма Бесселя ), похожий на потенциал Рисса , но с лучшими свойствами затухания на бесконечности.

Если s — комплексное число с положительной действительной частью, то потенциал Бесселя порядка s — это оператор

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}}$

где Δ — оператор Лапласа , а дробная степень определяется с помощью преобразований Фурье.

Потенциалы Юкавы являются частными случаями потенциалов Бесселя в трехмерном пространстве. ${\displaystyle s=2}$

Представление в пространстве Фурье

Потенциал Бесселя действует путем умножения на преобразования Фурье : для каждого ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}((I-\Delta )^{-s/2}u)(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}u(\xi )}{(1+4\pi ^{2}\vert \xi \vert ^{2})^{s/2}}}.}$

Интегральные представления

Когда , потенциал Бесселя на может быть представлен как ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,}$

где ядро ​​Бесселя определяется по интегральной формуле ^[1] ${\displaystyle G_{s}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{y}}-{\frac {y}{4\pi }}}}{y^{1+{\frac {d-s}{2}}}}}\,\mathrm {d} y.}$

Здесь обозначает Гамма-функцию . Ядро Бесселя также может быть представлено для [ ^2] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{(2\pi )^{\frac {d-1}{2}}2^{\frac {s}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\Gamma ({\frac {d-s+1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }e^{-\vert x\vert t}{\Big (}t+{\frac {t^{2}}{2}}{\Big )}^{\frac {d-s-1}{2}}\,\mathrm {d} t.}$

Последнее выражение можно более кратко записать в терминах модифицированной функции Бесселя ^[3] , по которой потенциал и получил свое название:

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{2^{(s-2)/2}(2\pi )^{d/2}\Gamma ({\frac {s}{2}})}}K_{(d-s)/2}(\vert x\vert )\vert x\vert ^{(s-d)/2}.}$

Асимптотика

В начале координат имеем , ^[4] ${\displaystyle \vert x\vert \to 0}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {d-s}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{d-s}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}0<s<d,}$

${\displaystyle G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}}\ln {\frac {1}{\vert x\vert }}(1+o(1)),}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}s>d.}$

В частности, когда потенциал Бесселя ведет себя асимптотически как потенциал Рисса . ${\displaystyle 0<s<d}$

На бесконечности, как и , ^[5] ${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac {d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1)).}$

Смотрите также

• потенциал Рисса
• Дробное интегрирование
• пространство Соболева
• Дробное уравнение Шредингера
• потенциал Юкавы

Ссылки

1. Стайн, Элиас (1970). Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций . Princeton University Press. Глава V eq. (26). ISBN 0-691-08079-8.
2. Н. Ароншайн; К. Т. Смит (1961). «Теория потенциалов Бесселя I». Ann. Inst. Fourier . 11. 385–475, (4,2). doi : 10.5802/aif.116 .
3. Н. Ароншайн; К. Т. Смит (1961). «Теория потенциалов Бесселя I». Ann. Inst. Fourier . 11. 385–475. doi : 10.5802/aif.116 .
4. Н. Ароншайн; К. Т. Смит (1961). «Теория потенциалов Бесселя I». Ann. Inst. Fourier . 11. 385–475, (4,3). doi : 10.5802/aif.116 .
5. Н. Ароншайн; К. Т. Смит (1961). «Теория потенциалов Бесселя I». Ann. Inst. Fourier . 11 : 385–475. doi : 10.5802/aif.116 .

• Дудучава, Р. (2001) [1994], "Оператор потенциала Бесселя", Энциклопедия математики , EMS Press
• Графакос, Лукас (2009), Современный анализ Фурье , Graduate Texts in Mathematics , т. 250 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5, MR  2463316, S2CID  117771953
• Хедберг, ЛИ (2001) [1994], "Потенциальное пространство Бесселя", Энциклопедия математики , EMS Press
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Потенциал Бесселя", Энциклопедия математики , EMS Press
• Стайн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-08079-8