Теорема Де Бранжа

Утверждение в комплексном анализе; ранее гипотеза Бибербаха

В комплексном анализе теорема де Бранжа , или гипотеза Бибербаха , — это теорема, которая дает необходимое условие для голоморфной функции , чтобы она отображала открытый единичный круг комплексной плоскости инъективно в комплексную плоскость. Она была предложена Людвигом Бибербахом  (1916) и окончательно доказана Луи де Бранжем  (1985).

Утверждение касается коэффициентов Тейлора однолистной функции , то есть голоморфной функции, которая отображает единичный круг в комплексную плоскость, нормализованной как всегда возможно так, что и . То есть, мы рассматриваем функцию, определенную на открытом единичном круге, которая является голоморфной и инъективной ( однолистной ) с рядом Тейлора вида ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=1}$

${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n}.}$

Такие функции называются однолистными . Теорема утверждает, что

${\displaystyle |a_{n}|\leq n\quad {\text{for all }}n\geq 2.}$

Функция Кёбе (см. ниже) — это функция, для которой для всех , и она однолистна, поэтому мы не можем найти более строгого ограничения на абсолютное значение коэффициента -го типа. ${\displaystyle a_{n}=n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Функции Шлихта

Нормализации

${\displaystyle a_{0}=0\ {\text{and}}\ a_{1}=1}$

означает, что

${\displaystyle f(0)=0\ {\text{and}}\ f'(0)=1.}$

Это всегда можно получить с помощью аффинного преобразования : начиная с произвольной инъективной голоморфной функции, определенной на открытом единичном круге, и устанавливая ${\displaystyle g}$

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)-g(0)}{g'(0)}}.}$

Такие функции представляют интерес, поскольку они появляются в теореме Римана об отображении . ${\displaystyle g}$

Однолистная функция определяется как аналитическая функция , которая является взаимно однозначной и удовлетворяет и . Семейство однолистных функций — это повернутые функции Кёбе ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$

${\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}$

с комплексным числом абсолютной величины . Если — однолистная функция и для некоторого , то — повернутая функция Кёбе. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |a_{n}|=n}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle f}$

Условие теоремы де Бранжа недостаточно для доказательства однолистности функции, поскольку функция

${\displaystyle f(z)=z+z^{2}=(z+1/2)^{2}-1/4}$

показывает: он голоморфен на единичном круге и удовлетворяет для всех , но он не инъективен, поскольку . ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(-1/2+z)=f(-1/2-z)}$

История

Обзор истории дан Кёпфом (2007).

Бибербах (1916) доказал , и высказал гипотезу, что . Лёвнер (1917) и Неванлинна (1921) независимо доказали гипотезу для звездообразных функций . Затем Чарльз Лёвнер (Löwner (1923)) доказал , используя уравнение Лёвнера . Его работа использовалась в большинстве более поздних попыток, а также применяется в теории эволюции Шрамма–Лёвнера . ${\displaystyle |a_{2}|\leq 2}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$ ${\displaystyle |a_{3}|\leq 3}$

Литтлвуд (1925, теорема 20) доказал, что для всех , показав, что гипотеза Бибербаха верна с точностью до множителя Несколько авторов позднее уменьшили константу в неравенстве ниже . ${\displaystyle |a_{n}|\leq en}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e=2.718\ldots }$ ${\displaystyle e}$

Если — однолистная функция, то — нечётная однолистная функция. Пейли и Литтлвуд  (1932) показали, что её коэффициенты Тейлора удовлетворяют для всех . Они предположили, что можно заменить на как естественное обобщение гипотезы Бибербаха. Гипотеза Литтлвуда–Пейли легко влечет гипотезу Бибербаха с помощью неравенства Коши, но вскоре она была опровергнута Фекете и Сегё (1933), которые показали, что существует нечётная однолистная функция с , и что это максимально возможное значение . Позднее Исаак Милин показал, что можно заменить на , а Хейман показал, что числа имеют предел, меньший , если не является функцией Кёбе (для которой все являются ). Таким образом, предел всегда меньше или равен , что означает, что гипотеза Литтлвуда и Пейли верна для всех коэффициентов, кроме конечного числа. Более слабая форма гипотезы Литтлвуда и Пейли была найдена Робертсоном (1936). ${\displaystyle f(z)=z+\cdots }$ ${\displaystyle \varphi (z)=z(f(z^{2})/z^{2})^{1/2}}$ ${\displaystyle b_{k}\leq 14}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle b_{5}=1/2+\exp(-2/3)=1.013\ldots }$ ${\displaystyle b_{5}}$ ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle 1.14}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b_{2k+1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$

Гипотеза Робертсона утверждает, что если

${\displaystyle \phi (z)=b_{1}z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+\cdots }$

является нечетной однолистной функцией в единичном круге с тогда для всех положительных целых чисел , ${\displaystyle b_{1}=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|b_{2k+1}|^{2}\leq n.}$

Робертсон заметил, что его гипотеза все еще достаточно сильна, чтобы подразумевать гипотезу Бибербаха, и доказал ее для . Эта гипотеза ввела ключевую идею ограничения различных квадратичных функций коэффициентов, а не самих коэффициентов, что эквивалентно ограничению норм элементов в некоторых гильбертовых пространствах однолистных функций. ${\displaystyle n=3}$

Существовало несколько доказательств гипотезы Бибербаха для некоторых более высоких значений , в частности, Гарабедян и Шиффер (1955) доказали , Одзава (1969) и Педерсон (1968) доказали , а Педерсон и Шиффер (1972) доказали . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |a_{4}|\leq 4}$ ${\displaystyle |a_{6}|\leq 6}$ ${\displaystyle |a_{5}|\leq 5}$

Хейман (1955) доказал, что предел существует и имеет абсолютное значение меньше, чем если только не является функцией Кёбе. В частности, это показало, что для любого может быть не более конечного числа исключений из гипотезы Бибербаха. ${\displaystyle a_{n}/n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Гипотеза Милина утверждает, что для каждой однолистной функции на единичном круге и для всех положительных целых чисел ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(n-k+1)(k|\gamma _{k}|^{2}-1/k)\leq 0}$

где логарифмические коэффициенты определяются как ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \log(f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}z^{n}.}$

Милин (1977) показал, используя неравенство Лебедева–Милина , что гипотеза Милина (позже доказанная де Бранжем) влечет гипотезу Робертсона и, следовательно, гипотезу Бибербаха.

Наконец, де Бранж (1987) доказал для всех . ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$ ${\displaystyle n}$

Доказательство Де Бранжа

Доказательство использует тип гильбертова пространства целых функций . Изучение этих пространств переросло в подраздел комплексного анализа, и пространства стали называться пространствами де Бранжа . Де Бранж доказал более сильную гипотезу Милина (Milin 1977) о логарифмических коэффициентах. Уже было известно, что это влечет гипотезу Робертсона (Robertson 1936) о нечетных однолистных функциях, которая, в свою очередь, как было известно, влечет гипотезу Бибербаха о однолистных функциях (Bieberbach 1916). Его доказательство использует уравнение Лёвнера , неравенство Аски–Гаспера о многочленах Якоби и неравенство Лебедева–Милина о степенных рядах, возведенных в степень.

Де Бранж свел гипотезу к нескольким неравенствам для многочленов Якоби и проверил первые несколько вручную. Вальтер Гаучи проверил больше этих неравенств на компьютере для де Бранжа (доказав гипотезу Бибербаха для первых 30 или около того коэффициентов), а затем спросил Ричарда Аски, знает ли он о каких-либо подобных неравенствах. Аски указал, что Аски и Гаспер (1976) доказали необходимые неравенства восемь лет назад, что позволило де Бранжу завершить свое доказательство. Первая версия была очень длинной и имела несколько незначительных ошибок, которые вызвали некоторый скептицизм по отношению к ней, но они были исправлены с помощью членов Ленинградского семинара по геометрической теории функций ( Ленинградское отделение Математического института им. Стеклова ), когда де Бранж посетил его в 1984 году.

Де Бранж доказал следующий результат, который для влечет гипотезу Милина (и, следовательно, гипотезу Бибербаха). Предположим, что и являются действительными числами для положительных целых чисел с пределом и такими, что ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \nu >-3/2}$ ${\displaystyle \sigma _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \rho _{n}={\frac {\Gamma (2\nu +n+1)}{\Gamma (n+1)}}(\sigma _{n}-\sigma _{n+1})}$

неотрицательна, невозрастает и имеет предел . Тогда для всех функций отображения Римана, однолистных в единичном круге с ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F(z)=z+\cdots }$

${\displaystyle {\frac {F(z)^{\nu }-z^{\nu }}{\nu }}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{\nu +n}}$

максимальное значение

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\nu +n)\sigma _{n}|a_{n}|^{2}}$

достигается функцией Кёбе . ${\displaystyle z/(1-z)^{2}}$

Упрощенная версия доказательства была опубликована в 1985 году Карлом Фицджеральдом и Кристианом Поммеренке (FitzGerald & Pommerenke (1985)), а еще более краткое описание — Якобом Коревааром (Korevaar (1986)).

Смотрите также

• Матрица Грунского
• Неравенство Фекете–Сегё
• лемма Шварца

Ссылки

• Аски, Ричард ; Гаспер, Джордж (1976), «Положительные суммы полиномов Якоби. II», American Journal of Mathematics , 98 (3): 709–737, doi :10.2307/2373813, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373813, MR  0430358
• Baernstein, Albert; Drasin, David; Duren, Peter; et al., ред. (1986), Гипотеза Бибербаха , Математические обзоры и монографии, т. 21, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. xvi+218, doi : 10.1090/surv/021 , ISBN 978-0-8218-1521-2, МР  0875226
• Бибербах, Л. (1916), «Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln», Sitzungsber. Пройсс. Акад. Висс. Физ-матем. кл. : 940–955
• Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94460-9
• де Бранж, Луи (1985), «Доказательство гипотезы Бибербаха», Acta Mathematica , 154 (1): 137–152, doi : 10.1007/BF02392821 , MR  0772434
• де Бранж, Луи (1987), «Основные концепции доказательства гипотезы Бибербаха», Труды Международного конгресса математиков, т. 1, 2 (Беркли, Калифорния, 1986) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 25–42, MR  0934213
• Drasin, David; Duren, Peter; Marden, Albert, ред. (1986), "Гипотеза Бибербаха", Труды симпозиума по случаю доказательства гипотезы Бибербаха, состоявшегося в Университете Пердью, Западный Лафайет, штат Индиана, 11—14 марта 1985 г. , Математические обзоры и монографии, т. 21, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xvi+218, doi : 10.1090/surv/021 , ISBN 0-8218-1521-0, МР  0875226
• Фекете, М.; Сегё, Г. (1933), «Eine Bemerkung Über Ungerade Schlichte Funktionen», J. London Math. Соц. , с1-8 (2): 85–89, дои :10.1112/jlms/s1-8.2.85
• Фицджеральд, Карл; Поммеренке, Кристиан (1985), "Теорема де Бранжа об однолистных функциях", Trans. Amer. Math. Soc. , 290 (2): 683, doi : 10.2307/2000306 , JSTOR  2000306
• Гарабедян, П. Р.; Шиффер, М. (1955). «Доказательство гипотезы Бибербаха для четвертого коэффициента». Журнал рациональной механики и анализа . 4 : 427–465. ISSN  1943-5282. JSTOR  24900366.
• Голузина, Е.Г. (2001) [1994], "Гипотеза Бибербаха", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Гриншпан, Аркадий З. (1999), «Гипотеза Бибербаха и функционалы Милина», The American Mathematical Monthly , 106 (3): 203–214, doi :10.2307/2589676, JSTOR  2589676, MR  1682341
• Гриншпан, Аркадий З. (2002), «Логарифмическая геометрия, возведение в степень и границы коэффициентов в теории однолистных функций и неперекрывающихся областей», в Kuhnau, Reiner (ред.), Геометрическая теория функций , Справочник по комплексному анализу, т. 1, Амстердам : Северная Голландия , стр. 273–332, doi :10.1016/S1874-5709(02)80012-9, ISBN 0-444-82845-1, MR  1966197, Zbl  1083.30017.
• Хейман, В. К. (1955), «Асимптотическое поведение p-валентных функций», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 5 (3): 257–284, doi :10.1112/plms/s3-5.3.257, MR  0071536
• Хейман, В. К. (1994), «Теорема де Бранжа», Многозначные функции , Cambridge Tracts in Mathematics, т. 110 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0521460263
• Кёпф, Вольфрам (2007), Гипотеза Бибербаха, функции де Бранжа и Вайнштейна и неравенство Аски-Гаспера
• Кореваар, Якоб (1986), «Гипотеза Людвига Бибербаха и ее доказательство Луи де Бранжем», The American Mathematical Monthly , 93 (7): 505–514, doi :10.2307/2323021, ISSN  0002-9890, JSTOR  2323021, MR  0856290
• Литтлвуд, Дж. Э. (1925), «О неравенствах в теории функций», Труды Лондонского мат. общества , с. 2-23: 481–519, doi : 10.1112/plms/s2-23.1.481
• Литтлвуд, Дж. Э.; Пейли, Э. А. Ц. (1932), «Доказательство того, что нечетная Шлихтова функция имеет ограниченные коэффициенты», J. London Math. Soc. , s1-7 (3): 167–169, doi :10.1112/jlms/s1-7.3.167
• Лёвнер, К. (1917), «Untersurchungen über die Verzerrung bei konformen Abbildungen des Einheitskreises /z/ <1, die durch Funktionen mit nicht verschwindender Ableitung geliefert werden», Ber. Верх. Сакс. Гес. Висс. Лейпциг , 69 : 89–106.
• Лёвнер, К. (1923), "Untersuruchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I", Math. Энн. , 89 : 103–121, doi : 10.1007/BF01448091, hdl : 10338.dmlcz/125927 , JFM  49.0714.01
• Милин, И.М. (1977), Однозначные функции и ортонормированные системы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0369684(Перевод русского издания 1971 года)
• Неванлинна, Р. (1921), «Über die konforme Abbildung von Sterngebieten», Ofvers. Финский ветеринар. Соц. Форх. , 53 : 1–21
• Озава, Мицуру (1 января 1969 г.). «О гипотезе Бибербаха для шестого коэффициента». Kodai Mathematical Journal . 21 (1): 97–128. doi : 10.2996/kmj/1138845834 .
• Педерсон, Роджер Н. (декабрь 1968 г.). «Доказательство гипотезы Бибербаха для шестого коэффициента». Архив для Rational Mechanics and Analysis . 31 (5): 331–351. doi :10.1007/BF00251415.
• Педерсон, Р.; Шиффер, М. (1972). «Доказательство гипотезы Бибербаха для пятого коэффициента». Архив для Rational Mechanics and Analysis . 45 (3): 161–193. doi :10.1007/BF00281531.
• Робертсон, М.С. (1936), «Замечание о нечетных однолистных функциях», Бюллетень Американского математического общества , 42 (6): 366–370, doi : 10.1090/S0002-9904-1936-06300-7
• Цорн, П. (1986). «Гипотеза Бибербаха» (PDF) . Mathematics Magazine . 59 (3): 131–148. doi :10.1080/0025570X.1986.11977236. «Гипотеза Бибербаха Пола Цорна; Премия: Карл Б. Аллендорфер; Год премии: 1987». Писательские премии, Математическая ассоциация Америки (maa.org) .

Дальнейшее чтение

• Лю, Сяосун; Лю, Тайшунь; Сюй, Цинхуа (2015). «Доказательство слабой версии гипотезы Бибербаха в нескольких комплексных переменных». Science China Mathematics . 58 (12): 2531–2540. doi :10.1007/s11425-015-5016-2. S2CID  122080390.