пластик Бингама

Материал, который является твердым при низком напряжении, но становится вязким при высоком напряжении

Майонез — это пластик Бингама. Поверхность имеет выступы и пики, поскольку пластик Бингама имитирует твердые тела при низких напряжениях сдвига .

В материаловедении пластик Бингама — вязкопластичный материал, который ведет себя как твердое тело при низких напряжениях , но течет как вязкая жидкость при высоких напряжениях. Он назван в честь Юджина К. Бингама , который предложил его математическую форму. ^[1]

Она используется как общая математическая модель потока бурового раствора в буровой технике и при работе со шламами . Обычным примером является зубная паста , ^[2] которая не будет выдавливаться, пока к трубке не будет приложено определенное давление . Затем она выталкивается как относительно целостная пробка.

Объяснение

Рисунок 1. Течение пластического течения Бингама, описанное Бингамом

На рисунке 1 красным цветом показан график поведения обычной вязкой (или ньютоновской) жидкости, например, в трубе. Если давление на одном конце трубы увеличивается, это создает напряжение в жидкости, стремящееся заставить ее двигаться (называемое напряжением сдвига ), и объемный расход увеличивается пропорционально. Однако для жидкости Бингама (синего цвета) напряжение может быть приложено, но она не будет течь, пока не будет достигнуто определенное значение, предел текучести . После этой точки расход неуклонно увеличивается с увеличением напряжения сдвига. Примерно так Бингам представил свое наблюдение в экспериментальном исследовании красок. ^[3] Эти свойства позволяют пластику Бингама иметь текстурированную поверхность с пиками и гребнями вместо безликой поверхности, как у ньютоновской жидкости .

Рисунок 2. Текущее описание течения пластика Бингама

Рисунок 2 показывает, как это обычно представляется в настоящее время. ^[2] График показывает напряжение сдвига на вертикальной оси и скорость сдвига на горизонтальной. (Объемная скорость потока зависит от размера трубы, скорость сдвига является мерой того, как скорость изменяется с расстоянием. Она пропорциональна скорости потока, но не зависит от размера трубы.) Как и прежде, ньютоновская жидкость течет и дает скорость сдвига для любого конечного значения напряжения сдвига. Однако пластик Бингама снова не показывает никакой скорости сдвига (нет потока и, следовательно, нет скорости) до тех пор, пока не будет достигнуто определенное напряжение. Для ньютоновской жидкости наклон этой линии является вязкостью , которая является единственным параметром, необходимым для описания ее потока. Напротив, пластик Бингама требует двух параметров, предела текучести и наклона линии, известного как пластическая вязкость .

Физическая причина такого поведения заключается в том, что жидкость содержит частицы (например, глину) или крупные молекулы (например, полимеры ), которые имеют некое взаимодействие, создавая слабую твердую структуру, ранее известную как ложное тело , и требуется определенное напряжение, чтобы разрушить эту структуру. После того, как структура разрушена, частицы движутся вместе с жидкостью под действием вязких сил. Если напряжение снимается, частицы снова ассоциируются.

Определение

Материал является упругим твердым телом для напряжения сдвига , меньшего критического значения . Как только критическое напряжение сдвига (или « предел текучести ») превышено, материал течет таким образом, что скорость сдвига , ∂ u /∂ y (как определено в статье о вязкости ), прямо пропорциональна величине, на которую приложенное напряжение сдвига превышает предел текучести: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\{\frac {\tau -\tau _{0}}{\mu _{\infty }}},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}}$

Формулы коэффициента трения

В потоке жидкости частой проблемой является расчет падения давления в установленной трубопроводной сети. ^[4] Как только коэффициент трения, f , известен, становится легче решать различные проблемы потока в трубах, а именно, расчет падения давления для оценки затрат на перекачку или нахождение расхода в трубопроводной сети для заданного падения давления. Обычно чрезвычайно сложно прийти к точному аналитическому решению для расчета коэффициента трения, связанного с потоком неньютоновских жидкостей, и поэтому для его расчета используются явные приближения. После расчета коэффициента трения падение давления можно легко определить для заданного потока с помощью уравнения Дарси–Вейсбаха :

${\displaystyle f={2h_{\text{f}}gD \over LV^{2}}}$

где:

• ${\displaystyle f}$коэффициент трения Дарси (единицы СИ: безразмерные)
• ${\displaystyle h_{\text{f}}}$потеря напора на трение ( единицы СИ : м)
• ${\displaystyle g}$— ускорение свободного падения (единицы СИ: м/с²)
• ${\displaystyle D}$диаметр трубы (единицы СИ: м)
• ${\displaystyle L}$длина трубы (единицы СИ: м)
• ${\displaystyle V}$средняя скорость жидкости (единицы СИ: м/с)

Ламинарный поток

Точное описание потерь на трение для пластиков Бингама в полностью развитом ламинарном потоке в трубе было впервые опубликовано Бакингемом. ^[5] Его выражение, уравнение Бакингема-Рейнера , можно записать в безразмерной форме следующим образом:

${\displaystyle f_{\text{L}}={64 \over \operatorname {Re} }\left[1+{\operatorname {He} \over 6\operatorname {Re} }-{64 \over 3}\left({\operatorname {He} ^{4} \over f^{3}\operatorname {Re} ^{7}}\right)\right]}$

где:

• ${\displaystyle f_{\text{L}}}$коэффициент трения Дарси ламинарного потока (единицы СИ: безразмерные)
• ${\displaystyle \operatorname {Re} }$число Рейнольдса (единицы СИ: безразмерные)
• ${\displaystyle \operatorname {He} }$число Хедстрема (единицы СИ: безразмерные)

Число Рейнольдса и число Хедстрема соответственно определяются как:

${\displaystyle \operatorname {Re} ={\rho VD \over \mu },}$и

${\displaystyle \operatorname {He} ={\rho D^{2}\tau _{o} \over \mu ^{2}}}$

где:

• ${\displaystyle \rho }$массовая плотность жидкости (единицы СИ: кг/м ³ )
• ${\displaystyle \mu }$динамическая вязкость жидкости (единицы СИ: кг/мс)
• ${\displaystyle \tau _{o}}$предел текучести (предел текучести) жидкости (единицы СИ: Па)

Турбулентный поток

Дарби и Мелсон разработали эмпирическое выражение ^[6] , которое затем было уточнено и теперь имеет вид: ^[7]

${\displaystyle f_{\text{T}}=4\times 10^{a}\operatorname {Re} ^{-0.193}}$

где:

• ${\displaystyle f_{\text{T}}}$коэффициент трения турбулентного потока (единицы СИ: безразмерные)
• ${\displaystyle a=-1.47\left[1+0.146e^{-2.9\times {10^{-5}}\operatorname {He} }\right]}$

Примечание: выражение Дарби и Мелсона относится к коэффициенту трения Фэннинга и его необходимо умножить на 4, чтобы использовать в уравнениях потерь на трение, приведенных в другом месте на этой странице.

Приближения уравнения Бекингема–Рейнера

Хотя точное аналитическое решение уравнения Бекингема–Рейнера может быть получено, поскольку это полиномиальное уравнение четвертого порядка относительно f , из-за сложности решения оно редко используется. Поэтому исследователи пытались разработать явные приближения для уравнения Бекингема–Рейнера.

Уравнение Свами–Аггарвала

Уравнение Свами–Аггарвала используется для прямого решения коэффициента трения Дарси–Вайсбаха f для ламинарного течения пластичных жидкостей Бингама. ^[8] Это приближение неявного уравнения Букингема–Рейнера , но расхождение с экспериментальными данными находится в пределах точности данных. Уравнение Свами–Аггарвала задается следующим образом:

${\displaystyle f_{L}={64 \over \mathrm {Re} }+{64 \over \mathrm {Re} }\left({\mathrm {He} \over 6.2218\mathrm {Re} }\right)^{0.958}}$

Решение Даниша-Кумара

Дэниш и др. предоставили явную процедуру для расчета коэффициента трения f с использованием метода разложения Адомиана. ^[9] Коэффициент трения, содержащий два члена, с помощью этого метода определяется как:

${\displaystyle f_{L}={\frac {K_{1}+{\dfrac {4K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{3}}}}{1+{\dfrac {3K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{4}}}}}}$

где

${\displaystyle K_{1}={16 \over \mathrm {Re} }+{16\mathrm {He} \over 6\mathrm {Re} ^{2}},}$

и

${\displaystyle K_{2}=-{16\mathrm {He} ^{4} \over 3\mathrm {Re} ^{8}}.}$

Объединенное уравнение для коэффициента трения для всех режимов течения

Уравнение Дарби–Мелсона

В 1981 году Дарби и Мелсон, используя подход Черчилля ^[10] и Черчилля и Усаги ^[11] , разработали выражение, позволяющее получить единое уравнение коэффициента трения, действительное для всех режимов течения: ^[6]

${\displaystyle f=\left[{f_{\text{L}}}^{m}+{f_{\text{T}}}^{m}\right]^{\frac {1}{m}}}$

где:

${\displaystyle m=1.7+{40000 \over \operatorname {Re} }}$

Оба уравнения, Swamee–Aggarwal и Darby–Melson, можно объединить, чтобы получить явное уравнение для определения коэффициента трения пластичных жидкостей Бингама в любом режиме. Относительная шероховатость не является параметром ни в одном из уравнений, поскольку коэффициент трения пластичных жидкостей Бингама не чувствителен к шероховатости трубы.

Смотрите также

• число Бэгнолда
• принцип Бернулли
• Модель Бингама-Папанастасиу
• Реология
• Истончение при сдвиге

Ссылки

1. Бингем, EC (1916). «Исследование законов пластического течения». Бюллетень Бюро стандартов . 13 (2): 309–353. doi :10.6028/bulletin.304. hdl : 2027/mdp.39015086559054 .
2. Steffe, JF (1996). Реологические методы в технологии пищевых процессов (2-е изд.). Freeman Press. ISBN 0-9632036-1-4.
3. Бингем, EC (1922). Текучесть и пластичность. Нью-Йорк: McGraw-Hill . стр. 219.
4. Дарби, Рон (1996). "Глава 6". Химическая инженерия Механика жидкостей . Марсель Деккер . ISBN 0-8247-0444-4.
5. Бакингем, Э. (1921). «О течении пластмассы через капиллярные трубки». Труды ASTM . 21 : 1154–1156.
6. Darby, R. и Melson J. (1981). «Как предсказать коэффициент трения для течения пластиков Бингама». Chemical Engineering 28 : 59–61.
7. Дарби, Р. и др. (сентябрь 1992 г.). «Прогнозирование потерь на трение в шламовых трубах». Химическая инженерия .
8. Свами, ПК и Аггарвал, Н. (2011). «Явные уравнения для ламинарного течения пластичных жидкостей Бингама». Журнал нефтяной науки и техники . doi : 10.1016/j.petrol.2011.01.015.
9. Даниш, М. и др. (1981). «Приближенные явные аналитические выражения коэффициента трения для потока жидкостей Бингама в гладких трубах с использованием метода разложения Адомиана». Сообщения по нелинейной науке и численному моделированию 16 : 239–251.
10. Черчилль, SW (7 ноября 1977 г.). «Уравнение коэффициента трения охватывает все режимы течения жидкости». Химическая инженерия : 91–92.
11. Черчилль, SW; Усаги, RA (1972). «Общее выражение для корреляции скоростей переноса и других явлений». Журнал AIChE . 18 (6): 1121–1128. Bibcode : 1972AIChE..18.1121C. doi : 10.1002/aic.690180606.