Биортогональный почти койфлетный базис

В прикладной математике биортогональные почти койфлетные базисы — это вейвлетные базисы, предложенные Лоуэллом Л. Уингером. Вейвлет основан на биортогональных койфлетных вейвлетных базисах, но жертвует своей регулярностью ради увеличения полосы пропускания фильтра , что может привести к лучшей производительности сжатия изображений .

Мотивация

В настоящее время большой объем информации хранится, обрабатывается и доставляется, поэтому метод сжатия данных — особенно для изображений — становится все более значимым. Поскольку вейвлет-преобразования могут иметь дело с сигналами как в пространственной, так и в частотной области, они компенсируют недостаток преобразований Фурье и появились как потенциальный метод обработки изображений. ^[1]

Традиционная конструкция вейвлет -фильтра предпочитает фильтры с высокой регулярностью и гладкостью для выполнения сжатия изображений . ^[2] Койфлеты — это такой тип фильтра, который подчеркивает исчезающие моменты как вейвлета, так и масштабирующей функции , и может быть достигнут путем максимизации общего числа исчезающих моментов и распределения их между анализирующими и синтезирующими фильтрами нижних частот . Свойство исчезающих моментов позволяет вейвлет-ряду сигнала быть разреженным представлением, что является причиной того, что вейвлеты могут применяться для сжатия изображений . ^[3] Помимо ортогональных банков фильтров, также были предложены биортогональные вейвлеты с максимизированными исчезающими моментами. ^[4] Однако регулярность и гладкость недостаточны для превосходного сжатия изображений. ^[5] Обычные банки фильтров предпочитают фильтры с высокой регулярностью, плоскими полосами пропускания и полосами задерживания и узкой переходной зоной, в то время как Pixstream Incorporated предложила фильтры с более широкой полосой пропускания, жертвуя их регулярностью и плоскостностью полосы пропускания. ^[5]

Теория

Биортогональная вейвлет-база содержит две вейвлет-функции и их пару вейвлет , в то время как относится к фильтру анализа нижних частот и фильтру анализа верхних частот . Аналогично, относится к фильтру синтеза нижних частот и фильтру синтеза верхних частот . Для биортогональной вейвлет-базы и являются ортогональными; Аналогично, и также являются ортогональными. $\psi (t)$ ${\tilde {\psi }}(t)$ $\psi (t)$ $H0$ $G0$ ${\tilde {\psi }}(t)$ ${\tilde {H}}0$ ${\тильда {G0}}$ $H0$ ${\тильда {G0}}$ $G0$ ${\тильда {H0}}$

Для построения биортогональной почти койфлетной базы Pixstream Incorporated начинает с (максимально плоской) биортогональной койфлетной базы. ^[5] Разложение и реконструкция фильтров нижних частот, выраженных полиномами Бернштейна, гарантирует, что коэффициенты фильтров будут симметричными, что способствует обработке изображений: если фаза действительной функции симметрична, то функция имеет обобщенную линейную фазу, и поскольку человеческие глаза чувствительны к симметричной ошибке, вейвлетная база с линейной фазой лучше подходит для приложений обработки изображений. ^[1]

Напомним, что полиномы Бернштейна определяются следующим образом:

B_{k}^{n}(x)=(_{k}^{n})x^{k}(1-x)^{nk}{\text{ для }}k=1,2,\ldots ,n,

который можно рассматривать как полином f(x) на интервале . ^[6] Кроме того, форма Бернштейна общего полинома выражается формулой $x\in [0,1]$

H1(x)=\sum _{k=0}^{n}d(k)(_{k}^{n})x^{k}(1-x)^{nk},

где d ( i ) — коэффициенты Бернштейна. Обратите внимание, что количество нулей в коэффициентах Бернштейна определяет исчезающие моменты вейвлет-функций. ^[7] При жертвовании нулем фильтра на основе Бернштейна в точке (что жертвует его регулярностью и плоскостностью) фильтр больше не является койфлетом , а почти койфлетом . ^[5] Затем величина ненулевого коэффициента на основе Бернштейна наивысшего порядка увеличивается, что приводит к более широкой полосе пропускания . С другой стороны, для выполнения сжатия и реконструкции изображений фильтры анализа определяются фильтрами синтеза. Поскольку разработанный фильтр имеет более низкую регулярность, худшую плоскостность и более широкую полосу пропускания, полученный двойной фильтр нижних частот имеет более высокую регулярность, лучшую плоскостность и более узкую полосу пропускания. Кроме того, если полоса пропускания исходного биортогонального койфлета уже целевого фильтра синтеза G0, то его полоса пропускания расширяется только настолько, чтобы соответствовать G0, чтобы минимизировать влияние на гладкость (т. е. фильтр анализа H0 не всегда является проектным фильтром). Аналогично, если исходный койфлет шире целевого G0, то полоса пропускания исходного фильтра настраивается так, чтобы соответствовать фильтру анализа H0. Таким образом, фильтры анализа и синтеза имеют одинаковую полосу пропускания. $\омега =\пи$

Эффект звона ( перерегулирование и недорегулирование) и сдвиг-дисперсия сжатия изображения могут быть смягчены путем балансировки полосы пропускания фильтров анализа и синтеза. Другими словами, самые гладкие или самые регулярные фильтры не всегда являются лучшим выбором для синтезированных фильтров нижних частот.

Недостаток

Идея этого метода заключается в том, чтобы получить больше свободных параметров, отбросив некоторые исчезающие элементы. Однако этот метод не может объединить банки биортогональных вейвлет-фильтров с различными отводами в выражение замкнутой формы, основанное на одной степени свободы . ^[8]

Ссылки

^ ab Ke, Li. «Корреляция между свойствами вейвлет-базы и сжатием изображений». Международная конференция по вычислительному интеллекту и безопасности, 2007 г. Семинары .
^ Вилласенор, Джон (август 1995 г.). «Оценка вейвлет-фильтра для сжатия изображений». Труды IEEE по обработке изображений . 4 (8): 1053–60. Bibcode : 1995ITIP....4.1053V. CiteSeerX 10.1.1.467.5894 . doi : 10.1109/83.403412. PMID 18291999.
^ Вэй, Донг (1998). Вейвлеты типа койфлет: теория, проектирование и применение (PDF) (диссертация). Техасский университет в Остине. MR 2698147.
^ Tian, J (1997). «Системы вейвлетов Койфмана: аппроксимация, гладкость и вычислительные алгоритмы». В M. Bristeau (ред.). Computational Science for the 21st Century . Нью-Йорк: Wiley. С. 831–840.
^ abcd L. Winger, Lowell (2001). "Биортогональные почти койфлетные вейвлеты для сжатия изображений". Обработка сигналов: передача изображений . 16 (9): 859–869. doi :10.1016/S0923-5965(00)00047-3.
^ "The Bernstein Basis" (PDF) . Кривые Пифагора-Годографа: Алгебра и Геометрия Неразделимы . Геометрия и Вычисления. Том 1. 2008. С. 249–260. doi :10.1007/978-3-540-73398-0_11. ISBN 978-3-540-73397-3.
^ Yang, X (январь 2011 г.). «Общая структура построения биортогональных вейвлетов на основе базисов Бернштейна: анализ теории и применение в сжатии изображений». IET Computer Vision . 5 (1): 50–67. doi :10.1049/iet-cvi.2009.0083.
^ Лю, Заиде (2007). «Параметризация банков биортогональных вейвлет-фильтров для кодирования изображений». Обработка сигналов, изображений и видео . 1 : 63–76. doi :10.1007/s11760-007-0001-z. S2CID 46301605.