В математических финансах уравнение Блэка -Шоулза , также называемое уравнением Блэка-Шоулза-Мертона , представляет собой уравнение в частных производных (PDE), управляющее эволюцией цен на деривативы в соответствии с моделью Блэка-Шоулза . [1] В широком смысле этот термин может относиться к аналогичному PDE, который может быть получен для множества вариантов или, в более общем смысле, к производным .
Рассмотрим акции, не приносящие дивидендов. Теперь создайте любой производный инструмент, который имеет фиксированное время погашения в будущем и при наступлении срока погашения имеет выигрыш , который зависит от стоимости акций в данный момент (например, европейские опционы колл или пут). Тогда цена дериватива удовлетворяет
где – цена опциона как функция цены акции S и времени t , r – безрисковая процентная ставка и – волатильность акции.
Ключевая финансовая идея, лежащая в основе уравнения, заключается в том, что в соответствии с модельным предположением о свободном рынке можно идеально хеджировать опцион, покупая и продавая базовый актив правильным способом и, следовательно, «устраняя риск». Это хеджирование, в свою очередь, подразумевает, что для опциона существует только одна правильная цена, определяемая формулой Блэка-Шоулза .
Уравнение имеет конкретную интерпретацию, которая часто используется практиками и является основой для общего вывода, приведенного в следующем подразделе. Уравнение можно переписать в виде:
Левая часть состоит из термина «затухание во времени», изменения значения производной по отношению ко времени, называемого тета , и термина, включающего вторую пространственную производную гамму , выпуклость значения производной по отношению к основному значению. Правая часть представляет собой безрисковый доход от длинной позиции по производному инструменту и короткой позиции, состоящей из акций базового актива.
Идея Блэка и Скоулза заключалась в том, что портфель, представленный правой частью, безрисков: таким образом, уравнение говорит, что безрисковая доходность за любой бесконечно малый интервал времени может быть выражена как сумма теты и члена, включающего гамму. Для опциона тета обычно имеет отрицательное значение, отражая потерю стоимости из-за меньшего количества времени для исполнения опциона (для европейского опциона колл на базовый актив без дивидендов оно всегда отрицательное). Гамма обычно положительна, поэтому гамма-член отражает прибыль от владения опционом. Уравнение утверждает, что в течение любого бесконечно малого интервала времени потери от теты и выигрыш от гамма-члена должны компенсировать друг друга, чтобы результатом была прибыль по безрисковой ставке.
С точки зрения эмитента опциона, например, инвестиционного банка, гамма-терм — это стоимость хеджирования опциона. (Поскольку гамма является максимальной, когда спотовая цена базового актива близка к цене исполнения опциона, затраты продавца на хеджирование в этом случае являются наибольшими.)
Следующий вывод приведен в разделе « Опционы, фьючерсы и другие деривативы» Халла . [2] : 287–288 Это, в свою очередь, основано на классическом аргументе из оригинальной статьи Блэка–Шоулза.
Согласно приведенным выше предположениям модели, цена базового актива (обычно акции) следует геометрическому броуновскому движению . То есть
где W — стохастическая переменная ( броуновское движение ). Обратите внимание, что W и, следовательно, его бесконечно малое приращение dW представляет собой единственный источник неопределенности в истории цен на акции. Интуитивно, W ( t ) — это процесс , который «колеблется вверх и вниз» таким случайным образом, что его ожидаемое изменение за любой интервал времени равно 0. (Кроме того, его дисперсия во времени T равна T ; см. Винеровский процесс § Основные свойства ); Хороший дискретный аналог W — простое случайное блуждание . Таким образом, приведенное выше уравнение утверждает, что бесконечно малая норма прибыли на акции имеет ожидаемое значение µ dt и дисперсию .
Выплата по опциону (или любому производному инструменту, зависящему от акций S ) при наступлении срока известна. Чтобы найти его значение в более ранний момент времени, нам нужно знать, как развивается в зависимости от и . По лемме Ито для двух переменных имеем
Теперь рассмотрим некий портфель, называемый портфелем дельта-хеджирования , состоящий из коротких позиций по одному опциону и одновременно длинных акций . Стоимость этих активов составляет
За период времени общая прибыль или убыток от изменений стоимости активов составляет (но см. примечание ниже):
Теперь дискретизируем уравнения для dS / S и dV , заменив дифференциалы дельтами:
и соответствующим образом подставим их в выражение для :
Обратите внимание, что этот термин исчез. Таким образом, неопределенность устранена, и портфель фактически безрисков. Норма доходности этого портфеля должна быть равна доходности любого другого безрискового инструмента; в противном случае возникнут возможности для арбитража. Теперь, предположив, что безрисковая норма прибыли равна, мы должны иметь за этот период времени
Если теперь подставить наши формулы на и получим:
Упрощая, мы приходим к знаменитому уравнению Блэка-Шоулза в частных производных:
С учетом предположений модели Блэка-Шоулза это уравнение в частных производных второго порядка справедливо для любого типа опциона, если его ценовая функция дважды дифференцируема по и один раз по . Различные формулы ценообразования для различных опционов будут возникать в результате выбора функции выигрыша при истечении срока действия и соответствующих граничных условий.
Техническое примечание: Тонкость, скрытая вышеприведенным подходом дискретизации, заключается в том, что бесконечно малое изменение стоимости портфеля произошло только из-за бесконечно малых изменений стоимости удерживаемых активов, а не изменений в позициях в активах. Другими словами, предполагалось, что портфель будет самофинансируемым . [ нужна цитата ]
Вот альтернативный вывод, который можно использовать в ситуациях, когда изначально неясно, каким должен быть портфель хеджирования. (Для справки см. 6.4 Шриве, том II). [3]
В модели Блэка-Шоулза, предполагая, что мы выбрали нейтральную к риску вероятностную меру, предполагается, что базовая цена акций S ( t ) развивается как геометрическое броуновское движение:
Поскольку это стохастическое дифференциальное уравнение (SDE) показывает, что эволюция цены акций является марковской , любая производная от этого базового актива является функцией времени t и цены акции в текущий момент S ( t ). Тогда применение леммы Ито дает СДУ для процесса дисконтированной производной , который должен быть мартингалом. Для того чтобы это выполнялось, член дрейфа должен быть равен нулю, что подразумевает УЧП Блэка-Шоулза.
Этот вывод, по сути, представляет собой применение формулы Фейнмана-Каца , и его можно попытаться выполнить всякий раз, когда базовый актив(ы) развивается в соответствии с заданными SDE(ами).
После того, как для производной получено УЧП Блэка-Шоулза с граничными и терминальными условиями, УЧП можно решить численно, используя стандартные методы численного анализа, такие как метод конечных разностей . [4] В некоторых случаях можно найти точную формулу, например, в случае европейского звонка, который был сделан Блэком и Скоулзом.
Решение концептуально простое. Поскольку в модели Блэка-Шоулза цена базовой акции следует геометрическому броуновскому движению, распределение , зависящее от ее цены в момент времени , является логарифмически нормальным распределением. Тогда цена дериватива представляет собой просто дисконтированный ожидаемый выигрыш , который можно вычислить аналитически, если функция выигрыша аналитически поддается обработке, или численно, если нет.
Чтобы сделать это для опциона колл, вспомните, что в приведенном выше УЧП есть граничные условия [5]
Последнее условие дает стоимость опциона на момент наступления срока его погашения. Возможны и другие условия, когда S стремится к 0 или бесконечности. Например, общие условия, используемые в других ситуациях, заключаются в том, чтобы выбрать дельту для исчезновения при стремлении S к 0 и гамму для исчезновения при стремлении S к бесконечности; они дадут ту же формулу, что и приведенные выше условия (как правило, разные граничные условия дают разные решения, поэтому следует использовать некоторую финансовую информацию, чтобы выбрать подходящие условия для конкретной ситуации).
Решение PDE дает стоимость опциона в любой более ранний момент времени . Чтобы решить УЧП, мы понимаем, что это уравнение Коши – Эйлера , которое можно преобразовать в уравнение диффузии , введя преобразование замены переменной.
Тогда УЧП Блэка – Шоулза становится уравнением диффузии
Терминальное состояние теперь становится начальным состоянием.
где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда . Функция Хевисайда соответствует обеспечению граничных данных в системе координат S , t , что требует, чтобы при t = T ,
предполагая, что оба S , K > 0. При этом предположении это эквивалентно функции max по всем x в действительных числах, за исключением x = 0. Вышеупомянутое равенство между функцией max и функцией Хевисайда находится в том смысле, что распределений, потому что оно не выполняется для x = 0. Хотя это и тонко, но важно, потому что функция Хевисайда не обязательно должна быть конечной при x = 0 или даже определяться, если уж на то пошло. Подробнее о значении функции Хевисайда при x = 0 см. раздел «Нулевой аргумент» в статье Ступенчатая функция Хевисайда .
Используя стандартный метод свертки для решения уравнения диффузии с заданной функцией начального значения u ( x , 0), мы имеем
что после некоторых манипуляций дает
где – стандартная нормальная кумулятивная функция распределения и
Это те же решения (с точностью до перевода времени), которые были получены Фишером Блэком в 1976 году. [6]
Возврат к исходному набору переменных дает указанное выше решение уравнения Блэка – Шоулза.
что дает просто S при возврате к исходным координатам.